一類非線性分數階微分方程正解的存在性*

陳 艷， 張克梅

(曲阜師范大學數學科學學院,273165，山東省曲阜市)

0 引 言

最近幾十年來,分數階微分方程已經被應用于各種領域,各國的學者把他們的研究方向轉向分數階微分方程,具體可參考文獻 [1-3]. 近年來,有關分數階微分方程邊值問題的研究已經取得了很多成果,具體可參考文獻[4-7].

帶有奇異項的分數階微分方程邊值問題的研究是分數階微分方程的一個重要領域.

文獻[8]研究了邊值問題

(1)

文獻[9]研究了下列帶有多點邊界條件的微分方程邊值問題

(2)

文獻[10]研究了帶有積分邊界條件的微分方程邊值問題

(3)

其中Dδ和Dτ是標準的Riemann-Liouville分數導數,1<δ≤2,0<τ<δ,f,g:[0,1]×[0,1]→[0,+∞)是給定的連續函數,對任意t∈[0,1],g(t,x)關于x是非負的,并且f不需要任何單調性假設. 其作者將Schauder不動點定理和上下解方法相結合得到了邊值問題(3)正解的存在性,用Banach壓縮映射原理得到了該問題解的唯一性.

受上述文獻的啟發,本文研究了下列帶有積分邊界條件的兩項分數階微分方程

(4)

本文的創新之處在于:與文獻[11]相比,本文加入了積分邊界條件; 與文獻[12-14]相比,本文研究的分數階微分方程包含兩個項; 與文獻[10] 相比,本文研究的非線性項可以是奇異的.

全文安排如下:第1部分介紹了一些后續證明用到的定義定理; 第2部分用錐上的不動點定理證明了邊值問題方程(4)正解的存在性; 第3部分介紹了一個例子驗證所得結果.

1 性質和引理

該部分介紹了一些分數階理論的定義,并給出了一些相關引理.

定義1.1[15]設f:(0,+∞)→是可測函數,則f的α(α>0)階Riemann-Liouville分數積分定義為

這里Γ是Euler-Gamma函數,等號右邊在(0,+∞)是逐點定義的.

定義1.2[15]設f:(0,+∞)→是可測函數,則f的α(α>0)階Riemann-Liouville分數導數定義為

等號右邊在(0,+∞)是逐點定義的, 這里n=[α]+1,其中[α]是實數α的整數部分.

定義1.3[15]一個雙參數的Mittag-Leffler函數Eα,β(x)定義為

當β=1時,Eα,1是通常的Mittag-Leffler函數Eα.

定理1.4[15]令n-1≤α≤n(n∈),λ∈,h是(0,+∞)上的實函數, 則方程

-Dαu(t)+au(t)=h(t),t>0,

是可解的,其通解可由下列式子表示

其中cj∈,j=1,…,n.

為了方便,介紹以下符號

g(t)=tα-1Eα,α(atα),

(5)

本文從始至終要求以下3個條件成立:

(H1)a∈(0,a*]是一個常數;

(H3)f(t,0)?0,t∈[0,1].

引理1.5令h∈L1[0,1]∩C(0,1),假設(H2)成立,則線性兩項分數階邊值問題

(6)

證明由定理1.4和(5)式,問題(6)的解可以表示成

由邊界條件u(0)=u′(0)=0,得c3=c2=0.因此

引理1.6[11]假設(H1)成立,s*∈(0,1)滿足s*=(1-s*)α-2,則G1(t,s)滿足:

(P1)G1(t,s)>0,?t,s∈(0,1);

(P2)G1(t,s)=G1(1-s,1-t),?t,s∈[0,1];

證明由引理1.5和引理1.6得

ρ2[1+M(t)]s(1-s)α-1≤ρ2[1+M(1)]s(1-s)α-1=W2s(1-s)α-1.

設J=[0,1],從J到n的所有連續泛函組成的空間E=C(J,n)是Banach空間.任意u(t)∈n,定義范數令P={u∈E:u(t)≥0,t∈[0,1]}是E中的一個錐.建立P的一個子錐對任意R>0,令

定義一個線性算子L:E→E如下

(7)

引理1.8[16]設L:E→E是一個連續線性算子,P是一個全錐,且L(P)?P.如果存在ψ∈E(-P)和一個常數c使得cL(ψ)≥ψ,則L的譜半徑r(L)≠0并且有一個屬于它的第一特征值λ=r(L)-1的特征函數.

引理1.9(7)式定義的算子L:P→K是一個全連續線性算子,并且譜半徑r(L)≠0,L有一個屬于它的第一特征值λ=r(L)-1的正的特征函數φ*.

證明對任意u∈K,由引理1.7得

所以L:K→K.由G(t,s)在t,s∈[0,1]×[0,1]一致連續,得L:K→K是全連續線性算子.

接下來,用引理1.8證明L的第一特征值λ>0.

事實上,對任意t∈[0,1],選取u(t)=tα-1.顯然u∈K,則有

根據引理1.8,譜半徑r(L)≠0,并且L有一個屬于它的第一特征值λ=r(L)-1的特征函數φ*使得λLφ*=φ*.

為了處理奇異性,采取如下假設:

(H4)f∈C((0,1)×(0,+∞),[0,+∞))對任意0

(ⅰ) 任意u∈?KR,‖Au‖≤‖u‖;

(ⅱ) 任意u∈?Kr,σ>0,存在u0∈K{θ},使得u≠Au+σu0成立;

2 主要結果

比較上述式子,得

(8)

因此,由延拓定理得T:K{θ}→P是良定義的.

成立. 由勒貝格控制收斂定理得:當n→∞時,

另外,當n>N時,

下一步,證明T(D)等度連續. 事實上,由(H4)得,任意>0,存在自然數k使得

這說明T(D)等度連續.

定理2.2假設條件(H1),(H2),(H3),(H4)成立,并且

(9)

其中λ1是L的第一特征值, 則邊值問題(4)至少有一個正解.

證明首先證明任意u∈?KR,有‖Tu‖≤‖u‖.事實上,任意u∈?KR,由引理1.7得

接下來,驗證引理1.10(ⅱ)成立. 由(9)式得,任意t∈[0,1],存在r1>0,當0

設φ*是L的屬于λ1的正特征函數,則φ*=λ1Lφ*.假設T在?Kr1上沒有不動點(否則證明結束).

3 例 子

考慮微分方程邊值問題

(10)

所以(H2)成立. 另外(H3)顯然成立.

根據定理2.2,問題(10)至少有一個正解.