L-代數上的賦值

高小燕

(榆林學院 數學與統計學院，陜西 榆林 719000)

Rump在2008年提出L-代數[1],它具有多值邏輯，直覺邏輯和量子邏輯的特點，因此L-代數是值得研究的非經典邏輯代數。隨后，Yang等人討論了格效應代數和L-代數的關系[2]，該團隊還證明了正交模格也是L-代數[3]。Ciungu 證明了交換的KL-代數是BCI-代數[4]。在[5]中，Rump從代數、幾何和拓撲的角度給出了L-代數的一些例子。

Busneag首先在希爾伯特代數上定義了賦值，并借助賦值給出了一種度量,證明了蘊含運算在該度量下是一致連續的[6]。在此基礎上，Lee在BE-代數引入了偽賦值，利用偽賦值給出了偽度量，并證明了其上的二元運算是一致連續的[7]。近些年，Mehrshad等人在BCK-代數上定義了偽賦值，證明了在由偽賦值誘導的拓撲下,L-代數上的運算是連續的[8]。

本文在L-代數中引入強偽賦值和偽賦值的概念，討論他們之間的關系。接著給出強偽賦值和偽賦值的構造，最后給出了強偽賦值與態可以相互誘導的公式。

1 預備知識

定義1[1]設L非空集合，稱(L，→，1)為L-代數，若它滿足以下條件：對于?x,y,z∈L,

(L1)x→x=1,x→1=1,1→x=x；

(L2)(x→y)→(x→z)=(y→x)→(y→z) ；

(L3) 若x→y=y→x=1，則x=y 。

在L上定義關系為 x≤y?x→y=1，對于?x,y∈L；可以證明它是偏序關系。若L有最小元0，則稱L是有界L-代數。

例1設L={0,a,b,c,1}，→運算定義如下：

→0abc1011111ab1b11baa111c0ab1110abc1

則(L,→,1)是一個有界L-代數。

定義2 設(L,→,1)是一個L-代數，R是一個實數集，φ∶L→R，給出以下條件，對于?x,y∈L：

(pv1)φ(1)=0 ；

(pv2) 若φ(x)=0,則x=1

(pv3) φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)；

(pv4)φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)。

若φ滿足(pv1)和(pv3),則稱φ是偽賦值；若φ滿足(pv1)和(pv4),則稱φ是強偽賦值；若φ滿足(pv1),(pv2)和(pv3),則稱φ是賦值；若φ滿足(pv1)-(pv4)則稱φ是強賦值。

例2 設(L,→,1)是L-代數(見例1)，在L上定義實值函數φ如下

可以驗證φ滿足(pv1),(pv3) (pv4),從而φ是偽賦值和強偽賦值。但這個L-代數無強賦值。這是因為，假設φ是強賦值，則它滿足(pv4)，令y=c,x=0,則由φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)得φ(c)+φ(0)=φ(1)+φ(0)，由于φ(1)=0，因此φ(c)=0，這與(pv2)矛盾。

定義3 設L是一個L-代數，L上Bosbach態是一個函數s∶L→[0,1],滿足以下條件：

(s1) s(1)=1 ；

(s2) s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x)。

例3 設(L,→,1)是L-代數(見例1)，在L上定義實值函數s如下

可以驗證s是(L,→,1)上的Bosbach態。

2 主要結論

命題1 設φ是L上的一個偽賦值，則以下命題成立：

(1)φ是反序的，即x≤y?φ(x)≥φ(y)；

(2)φ(x)≥0。

證明(1)x≤y設，則x→y=1，可得φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)=φ(1)+φ(x)=φ(x)即φ(y)≤φ(x)。

(2) 因為x≤1，φ(1)=0且φ是反序的，所以φ(x)≥φ(1)=0。

推論1 強偽賦值是是偽賦值。

證明設φ是L上的一個強偽賦值，則它滿足φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)，由命題1的(2)知φ(y→x)≥0，因此φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)。

下面給出例子，說明偽賦值不是強偽賦值。

例4 設L={0,a,b,c,d,1}，→運算定義如下：

→0abcd10111111ad1d1d1bcc1111cbcd1d1daacc1110abcd1

則(L,→,1)是一個L-代數。在L上定義實值函數φ如下

可以驗證而φ是L上的偽賦值，但它并不是L上的強偽賦值，因為2=φ(0→a)+φ(0)≠φ(a→0)+φ(a)=3。

定理1 (1) φ是L上的偽賦值，則φ1和φ2也是偽賦值；

(2) φ是L上的賦值，則φ1和φ2也是賦值；

(3) φ是L上的強偽賦值，則φ1也是強偽賦值；

(4) φ是L上的強賦值，則φ1也是強賦值。

證明(1) 因為φ是L-代數上的偽賦值，所以φ滿足以下條件：

(pv1)φ(1)=0 和(pv3) φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)。

由于φ1(x)=wφ(x),(w>0)我們有φ(1)=wφ(1)=0，即(pv1)成立；φ1(x→y)+φ1(x)=wφ(x→y)+wφ(x)≥wφ(y)=φ1(y)，從而可得(pv3)成立，這就證明了φ1為L-代數上的偽賦值。

下面驗證φ2滿足(pv3)，從而φ2是偽賦值。當x=y=1時，結論顯然成立。

當x≤y且x≠1時，此時分兩種情況，情況1，y=1，結論顯然成立；情況2，y≠1，我們有φ2(x→y)+φ2(x)=φ2(1)+φ2(x)=φ2(x)=wφ(x)+b≥wφ(y)+b=φ2(y)。

這是因為φ是偽賦值，由命題1知φ是反序的。

當x≤y不成立時, 此時分兩種情況, 情況1，x=1，

φ2(x→y)+φ2(x)=φ2(1→y)+φ2(1)=φ2(y)。

情況2，x嚴格小于1，此時y嚴格小于1，因此φ2(x→y)+φ2(x)=wφ(x→y)+b+wφ(x)+b≥wφ(y)+b=φ2(y)。

(2) 設φ是L-代數上的賦值，則φ(x)=0,一定有x=1。若φ(x)=0則0=φ1(x)=wφ(x),又因為w>0,從而φ(x)=0，因此有x=1。由(1)知φ1是L-代數上的賦值。

若φ2(x)=0則必有x=1。否則φ2(x)=wφ(x)+b≥b>0矛盾。由(1)知φ2是L-代數上的賦值。

(3) 由(1)知，φ1滿足(pv1),下面證明φ1滿足(pv4)，從而φ1也是強偽賦值。

φ1(y)+φ1(y→x)=wφ(y)+wφ(y→x)=wφ(x→y)+wφ(x)=φ1(x→y)+φ1(x)。

(4) 由(2)和(3)知(4)是成立的。

下面的例子說明：φ是L上的強偽賦值，但φ2不是L上的強偽賦值。

例5 設L={0,a,b,c,d,1}，→運算定義見例4，在L上定義實值函數φ如下

但φ2并不是L上的強偽賦值，這是因為

4=φ2(0→b)+φ2(0)≠φ2(b→0)+φ2(b)=5。

定理2 設L是一個L-代數，s是L上的Bosbach態。定義一個實值函數φt(x)=t-ts(x)，?x∈L,t∈R且t≥0，則φt是L上的一個強偽賦值。

證明首先證明φt滿足(pv1)， φt(1)=t-ts(1)=t-t=0。

其次證明φt滿足(pv4)，

φt(x→y)+φt(x)=t-ts(x→y)+t-ts(x)=2t-t(s(x→y)+s(x))，由(s2)得s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x)，從而2t-t(s(x→y)+s(x))=2t-t(s(y)+s(y→x)=(t-ts(y))+(t-ts(y→x))=φt(y→x)+φt(y)，因此φt是L上的強偽賦值。

定理3 設L是一個L-代數，φ是L上的強偽賦值。令s(x)=1-φ(x)，則s是L上的一個Bosbach態。

證明顯然s(1)=1-φ(1)=1-0=1,從而滿足(s1)。 下面證明 (s2)成立。由s(x)定義知

s(x)+s(x→y)=1-φ(x)+1-φ(x→y)，因為φ滿足(pv4)，即φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)，從而有s(x)+s(x→y)=1-φ(x)+1-φ(x→y)=1-φ(y)+1-φ(y→x)=s(y)+s(y→x)，因此s是L上的一個Bosbach態。

3 結語

L-代數既有模糊邏輯的特性，又有量子邏輯的特點，是一類重要的非經典邏輯代數。本文在L-代數上引入了強偽賦值的概念，給出一些構造方法，也討論強偽賦值與態的關系。關于強偽賦值的存在性和度量的誘導還有待研究。