有限群的弱τσ-嵌入子群

王大山, 吳珍鳳, 孔祥智, 楊南迎

(江南大學 理學院, 江蘇 無錫 214122)

1 引言與預備知識

本文所有的群均為有限群,G總表示一個有限群, |G|表示G的階, P表示全體素數的集合,π(n)為n的素因子集合,π(G)=π(|G|), |G|π表示整除|G|且素因子全在π中的最大整數.

如果群G的子群H與G的任意Sylow子群P可置換, 則H稱為在G中是S-置換的[3].如果子群H與G的任意滿足(p,|H|)=1的Sylowp-子群P可置換, 則H稱為在G中是S-半置換的[4]; 如果子群H與G的任意滿足(p,|H|)=1且(|H|,|PG|)≠1的Sylowp-子群P可置換, 則H稱為在G中是τ-擬正規的[5]; 如果存在群G的正規子群T, 使得HT在G中是S-置換的, 且H∩T≤HsG, 則群G的子群H稱為在G中是S-嵌入的[6], 其中HsG是由所有含于H且在G中是S-置換的子群生成的群.如果存在G的正規子群T, 使得HT在G中是S-置換的, 且H∩T≤HτG, 則群G的子群H稱為在G中是τ-嵌入的[7], 其中HτG是由所有含于H且在G中是τ-擬正規的子群生成的群.由定義知,S-置換子群、S-半置換子群、τ-擬正規子群和S-嵌入子群都是弱τ-嵌入子群, 但文獻[7]中例1.3和例1.4表明反之不成立.

如果群G有一個完全Hallσ-集H, 使得對所有H∈H和所有x∈G, 均有AHx=HxA, 則群G的子群A稱為在G中是σ-置換的[1].如果群G有一個完全Hallσ-集H, 使得對所有x∈G和所有滿足σ(A)∩σ(H)=?的H∈H均有AHx=HxA, 則子群A稱為在G中是半置換的[8].設H是群G的某個完全Hallσ-集, 令

τH(A)={σi∈σ(G)σ(A)|σ(A)∩σ(HG)≠?, 其中H是G的一個Hallσi-子群, 且H∈H }.

如果對H中滿足σ(H)?τH(A)的子群H和所有x∈G, 均有AHx=HxA, 則子群A稱為在G中關于H是τσ-擬正規的； 如果A關于G的某個完全Hallσ-集H是τσ-擬正規的, 則稱子群A在G中是τσ-擬正規的[9].易見σ-置換子群和σ-半置換子群都是τσ-擬正規子群, 但文獻[9]中例1.2表明反之不成立.

文獻[1-10]利用上述概念和方法得到了一系列有限群結構的重要結果.通過分析上述已有的結果與方法, 再結合σ-置換子群和τσ-擬正規子群的概念, 本文引入如下概念.

定義1對于群G的子群H, 如果存在G的正規子群T, 使得HT在G中是σ-置換的, 且H∩T≤HτσG, 則H稱為在G中是弱τσ-嵌入的, 其中HτσG是由所有含于H且在G中τσ-擬正規子群生成的子群.

注1如果σ是所有素數集合P的一個最小劃分, 即σ={{2},{3},…}, 則弱τσ-嵌入子群即為弱τ-嵌入子群； 另一方面, 由定義1知τσ-擬正規子群也是τσ-弱嵌入的.但下列實例分別表明反之不成立.

例2令G=S4, 其中S4是4次對稱群.設H=〈(14)〉,Q=〈(123)〉, 則H和Q分別是G的一個2階子群和Sylow 3-子群, 設P是G的一個Sylow 2-子群.取σ={σ1,σ2,σ3}, 其中σ1={2},σ2={3},σ3={2,3}′, 則H={P,Q}是G的一個完全Hallσ-集.因為存在G的正規子群A4, 使得HA4=G且H∩A4=1, 所以H是G的弱τσ-嵌入子群.但H不是G的τσ-擬正規子群.事實上, 若H是G的τσ-擬正規子群, 則由σ2∈τH(H)知HQ=QH, 但經計算知顯然HQ≠QH, 矛盾.

本文通過研究子群的弱τσ-嵌入性, 給出有限群是σ-可解和超可解的一些新的充分條件, 其中未說明的概念和符號可參見文獻[11-12].

引理1[1]所有σ-可解群的子群和商群都是σ-可解的, 任意兩個σ-可解群的直積也是σ-可解的, 并且任意σ-可解群被σ-可解群的擴張還是σ-可解群.

引理2[13]令H,R,K是群G的子群, 其中R≤K,H在G中是σ-置換的且R是G的正規子群, 則有:

1)HR/R在G/R中是σ-置換的；

2) 如果G是具有Sylow型的σ-完全群, 則H∩K在K中是σ-置換的；

3) 如果G是具有Sylow型的σ-完全群, 且K/R在G/R中是σ-置換的, 則K在G中是σ-置換的.

引理3設G是σ-完全群,A是G的一個子群, 則有:

1) 如果A是群G的一個σ-次正規子群且A是一個Π-群, 則A≤OΠ(G)[13]；

2) 如果A在G中是σ-置換的, 則A在G中是σ-次正規的[1];

3) 如果A是G的一個σ1-子群, 則A在G中是σ-置換的當且僅當Oσ1(G)≤NG(A)[1].

引理4[9]設G有一個完全Hallσ-集H={H1,…,Ht}, 使得G的子群H和K在G中均為關于H是τσ-擬正規的.令R是G的正規子群且H≤L≤G.則有：

1) H0={H1R/R,…,HtR/R}是G/R的一個完全Hallσ-集, 并且如果σ(H)=σ(HR/R), 則HR/R在G/R中關于H0是τσ-擬正規的；

2) 如果HK=KH且σ(H∩K)=σ(H)=σ(K), 則H∩K在G中關于H是τσ-擬正規的；

3) 如果L∩H={L∩H1,…,L∩Ht}是L的一個完全Hallσ-集, 則H在L中關于L∩H是τσ-擬正規的；

4) 如果G是具有Sylow型的σ-完全群, 則H在L中是τσ-擬正規的.

下面給出弱τσ-嵌入子群的性質.

引理5設群G是具有Sylow型的σ-完全群,H是群G的一個弱τσ-嵌入子群,U≤G且N是G的正規子群.則有：

1) 如果H≤U, 則H在U中是弱τσ-嵌入的；

2) 如果H是一個σi-子群且N≤H, 則H/N在G/N中是弱τσ-嵌入的；

3) 如果(|H|,|N|)=1, 則HN/N在G/N中是弱τσ-嵌入的.

證明： 因為H在G中是弱τσ-嵌入的, 所以存在G的正規子群T, 使得HT在G中是σ-置換的, 且H∩T≤HτσG.

1) 因為T∩U?U且H(T∩U)=HT∩U, 由引理2中2)知,H(T∩U)在U中是σ-置換的.由引理4中4)知,H∩(T∩U)=H∩T≤HτσG≤HτσU.因此H在U中是弱τσ-嵌入的.

2) 因為TN/N?G/N且(H/N)(TN/N)=HT/N, 由引理2中1)知,HT/N在G/N中是σ-置換的.又因為σ(H)=σ(H/N)={σi}, 所以由引理4中1)知，

(H/N)∩(TN/N)=(H∩T)N/N≤HτσGN/N≤(HN/N)τσ(G/N).

因此H/N在G/N中是弱τσ-嵌入的.

3) 因為TN/N?G/N, 由引理2中1)知, (H/N)(TN/N)=HTN/N在G/N中是σ-置換的.又因為

(|N∩HT∶N∩H|,|N∩HT∶N∩T|)=(|(N∩HT)H∶H|,|(N∩HT)T∶T|)=1,

故N∩HT=(N∩H)(N∩T).由文獻[11]中引理1.2知,HN∩TN=(H∩T)N.顯然σ(HτσGN/N)=σ(HτσG), 故由引理4中1)知

(HN/N)∩(TN/N)=(H∩T)N/N≤HτσGN/N≤(HN/N)τσ(G/N).

因此HN/N在G/N中是弱τσ-嵌入的.

引理6[14]令H,K,N是群G的兩兩可置換的子群, 并且H是群G的Hall子群, 則N∩HK=(N∩H)(N∩K).

引理7[15]設A,B是群G的非平凡子群, 使得G≠AB, 并且對所有的x∈G, 均有ABx=BxA, 則G有一個真正規子群N, 使得A≤N或B≤N.

引理8[16]令N是群G的正規子群, 且S為G的具有下列性質的子群:

1)N∩S≤Φ(S)； 2) (|N∩S|,|G∶S|)=1.

假設π為|N∩S|的素因子集合, 則存在N的正規子群M, 使得M∩S=1,N/M是π-群, 且|N∩S|整除|N/M|.

2 主要結果

定理1設G是具有Sylow型的σ-完全群, 且H={H1,…,Ht}是G的一個完全Hallσ-集.令|G|的最小素因子p∈σ1.如果H1是超可解的, 且H1的每個極大子群在G中均是弱τσ-嵌入的, 則G是σ-可解的.

證明： 用反證法.假設結論不成立, 設G是極小階反例, 則t>1.由Feit-Thompson定理[16]知,p=2∈π(H1).不失一般性, 對于所有i=1,2,…,t, 設Hi是一個σi-子群.

|H1R/R∶M/R|=|H1R/R∶(M∩H1)R/R|=|H1∶M∩H1|

是一個素數, 進而M∩H1是H1的一個極大子群.由定理假設和引理5中3)知,M/R=(M∩H1)R/R在G/R中是弱τσ-嵌入的, 表明G/R滿足定理假設.從而由G的選取知G/R是σ-可解的.又由Feit-Thompson定理知,R是可解的.因此由引理1知G是σ-可解的, 矛盾.故2)成立.

4)G有唯一的極小正規子群, 記為R.由3)知,G=RH1對于G的任意非平凡極小正規子群R都成立.因此由G/R=RH1/R?H1/(H1∩R)是σ-可解的及引理1知,G有唯一的極小正規子群, 記為R.

如果T≠1, 則R≤T.因為L∩R≤L∩T≤LτσG≤L, 所以L∩R≤LτσG∩R≤L∩R, 表明L∩R=LτσG∩R.又因為

|H1∩R∶L∩R|=|(H1∩R)L∶L|=|H1∶L|,

且H1是超可解的, 所以L∩R≠1.下面令Rj是R的任意非平凡Hallσj-子群, 其中j≠1.由G=RH1知,Rj也是G的一個Hallσj-子群.設A≤LτσG, 且A在G中是τσ-擬正規的.因為

|R/N|σ1=|R|σ1/|N|σ1=|H1∩R∶H1∩N|||H1∩R∶L∩N|,

定理2設G是具有Sylow型的σ-完全群, 且H={H1,…,Ht}是G的一個完全Hallσ-集, 使得對所有i=1,2,…,t,Hi是G的超可解σi-子群.如果對任意的非循環子群Hi的每個極大子群都在G中是弱τσ-嵌入的, 則G是超可解群.

證明： 用反證法.假設結論不成立, 并設G是極小階反例.

1)G是可解的.設p是整除|G|的最小素數, 不妨假設p∈π(H1).如果H1是循環的, 則G的Sylowp-子群是循環的, 由文獻[16]中定理2.8知,G是p-冪零的, 從而G是可解的.如果H1是非循環的, 則由定理1知,G是σ-可解的.令H/K是G的任意一個主因子, 則H/K是σ-準素的.不失一般性, 設H/K是一個σi-群.因為H/K≤HiK/K?Hi/(Hi∩K), 所以H/K是超可解的, 從而是一個初等交換r-群, 其中r是素數.由H/K的任意性知G是可解的.故1)成立.

|HiR/R∶L/R|=|HiR/R∶(L∩Hi)R/R|=|Hi∶L∩Hi|

是一個素數, 從而L∩Hi是Hi的一個極大子群.根據定理假設和引理5中3)知,L/R=(L∩Hi)R/R在G/R中是弱τσ-嵌入的.表明定理假設對G/R成立.從而由G的選取知G/R是超可解的.因此2)成立.

3)R是G的唯一極小正規子群,Φ(G)=1,R=Op(G),R是一個初等交換p-群且|R|>p, 其中p是素數.由1)和2)直接可得3).

如果T=1, 則L在G中是σ-置換的, 由引理3知,L≤Oσ1(G)≤H1.但L是H1的極大子群, 故L=Oσ1(G)或Oσ1(G)=H1.如果L=Oσ1(G)?G, 由3)知R≤L或L=1.如果R≤L, 與L的取法矛盾.因此L=1, 從而L=Oσ1(G)=1, 進而R=1, 矛盾.表明Oσ1(G)=H1?G.因為L在G中是σ-置換的, 所以對所有i≠1, 均有LHi=HiL.故LHi∩H1=L(Hi∩H1)=L.從而Hi≤NG(L), 進而Hi≤NG(L∩R)=NG(E).又因為H1≤NG(E), 所以G≤NG(E), 即E?G, 從而E=1, |R|=p, 矛盾.

LτσGHi∩R=(LτσG∩R)(Hi∩R)=LτσG∩R=L∩R=E,

從而對所有i≠1均有Hi≤NG(E).又因為H1≤NG(E), 所以E?G.從而E=1, |R|=p, 矛盾.證畢.

由定理2直接可得如下推論.

推論1[16]如果G的每個Sylow子群都是循環的, 則G是超可解的.

推論2[17]如果G的每個Sylow子群的極大子群在G中是正規的, 則G是超可解的.

推論3[17]如果G的每個Sylow子群的極大子群在G中是S-置換的, 則G是超可解的.

推論4[18]如果G的每個Sylow子群的極大子群在G中是c-正規的, 則G是超可解的.

推論5[19]如果G的每個非循環Sylow子群的極大子群在G中是S-嵌入的, 則G是超可解的.

推論6[20]設G是一個群, 如果G的每個Sylow子群的極大子群在G中是弱τ-嵌入的, 則G是超可解的.