CRTS Ⅱ型軌道板/CA 砂漿界面內聚力模型研究

王 軍，盧朝輝，張玄一，趙衍剛,2

(1. 北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；2. 神奈川大學工學部，日本，橫濱 221-8686)

相比傳統的有砟軌道結構，無砟軌道結構具有高平順性、高耐久性、少維修的優點，已成為高速鐵路軌道建設的首選結構型式[1-2]。CRTS II型板式無砟軌道結構作為主要的無砟軌道結構型式之一，廣泛應用于京津、京滬、滬昆等高鐵線路。CRTS II 型板式無砟軌道結構主要由鋼軌、扣件、軌道板、水泥乳化瀝青(CA)砂漿層和底座板(支承層)等組成，其中，橋上CRTS II 型板式無砟軌道結構示意圖如圖1 所示。CRTS II 型板式無砟軌道結構為豎向多層的縱連結構體系，各結構層間的界面是軌道結構最薄弱的部分之一，尤其是軌道板(底座板)與CA 砂漿層之間的界面?，F場調研表明，在長期溫度和列車荷載作用下，CRTS II 型軌道板與CA 砂漿層間經常發生離縫病害[3-5]，如圖2 所示。

圖1 橋上CRTS II 板式無砟軌道結構Fig. 1 CRTS II slab ballastless track structure on bridge

圖2 軌道板與CA 砂漿層離縫Fig. 2 Gap between track slab and CA mortar layer

目前，軌道板與CA 砂漿層間離縫分析大部分基于斷裂力學與損傷力學原理，采用的主要分析方法有近場動力學、擴展有限元、內聚力模型和斷裂相場法等[6-9]。近場動力學基于非局部作用思想研究裂紋的萌生和發展，無法精確描述斷裂的本構力函數，并且計算精度和效率低于傳統有限元方法；擴展有限元可以模擬任意方向的裂紋擴展，對有限元網格改動較少，但需要在單元形狀函數中增添附加函數，有限元計算成本較高；斷裂相場法無須追蹤裂紋表面，易于處理復雜的裂紋擴展問題，但能量泛函求解復雜。而基于能量準則的內聚力模型，通過作用在裂紋表面的張力與張開位移的等效關系來描述特定路徑裂紋萌生、擴張和斷裂的全過程。內聚力模型屬于非強度因子主導型斷裂準則，避免了計算斷裂力學的復雜性。

有關內聚力本構理論，國內外學者開展了相關研究。自Barenblatt[10]和Dugdale[11]首次提出內聚力概念以來，國內外學者提出了多種內聚力模型，就拉力-位移曲線的形狀而言，主要有雙線性、指數型、梯形和多項式型等。其中，針對雙線性和指數型內聚力模型，有關學者開展了一系列研究。Mi 等[12]通過研究纖維復合材料界面拉力-位移關系，提出雙線性內聚力模型。Camanho等[13]完善了雙線性內聚力模型，并應用于零厚度粘結單元。與此同時，Rose 等[14]通過分析金屬界面斷裂能和分離位移的普遍關系，提出指數型內聚力模型。針對金屬晶體排列的周期性，Rice[15]在切向上提出正弦內聚本構關系。之后，Xu 和Needleman[16]基于塑性流動理論，提出耦合的指數型內聚力模型，完善了指數型內聚力模型理論。van den Bosch 等[17]改善了指數型內聚力模型，使之更好地描述混合模式下界面的脫粘過程。此外，還有學者提出并發展了梯形[18-19]，多項式[20-21]等內聚力模型。其中指數型內聚力模型可表征非線性黏聚特性，相比雙線性內聚力模型，指數型內聚力模型拉力-位移曲線及導數具有連續性，使其在數學求導及有限元實現方面具有一定優勢。

由于內聚力模型主要用于模擬復合材料層間脫粘行為，CRTS II 型板式無砟軌道作為多層復合結構，國內學者開始將內聚力模型用于CRTS II型板式無砟軌道層間離縫研究。有學者借助數字圖像相關技術，對無砟軌道界面剛度、強度、韌性等性能進行了測試，確定了雙線性內聚力模型[22 - 23]和指數型內聚力模型[24]參數，為研究無砟軌道離縫機理提供了重要的數據支撐。也有學者通過有限元方法，采用雙線性內聚力模型[25-28]、指數型內聚力模型[29]和多項式內聚力模型[30]等研究在溫度和列車荷載作用下軌道板和CA 砂漿離縫過程。既有研究均采用單一內聚力模型對層間界面粘結試驗數據進行分析，鮮有采用不同內聚力模型對層間界面脫粘預測效果進行對比分析。

本文基于內聚力本構理論和試驗數據，分別采用雙線性和指數型內聚力模型對CRTS Ⅱ 型軌道板與CA 砂漿層間離縫進行預測。針對雙線性和指數型模型存在的不足，提出了一種改進的指數型內聚力模型，并通過擬合既有試驗數據，確定了改進指數型內聚力模型的主要參數。分析了不同模型對層間粘結的預測結果，驗證了本文所提內聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿層間離縫的合理性與適用性。

1 內聚力模型

內聚力模型屬于一種唯象本構模型，其拉力-位移曲線有多種形式，其中雙線性和指數型應用最為廣泛。

1.1 雙線性內聚力模型

Hillerborg 等[31]初次引入關于混凝土斷裂能和抗拉強度的線性軟化模型，之后雙線性模型被用于混凝土斷裂研究；Camanho 等[13]基于連續損傷力學提出了雙線性內聚力模型。如圖3 所示，單一模式下，雙線性內聚力模型的拉力-位移關系為：

圖3 雙線性內聚力模型Fig. 3 Bilinear cohesive zone model (CZM)

雙線性內聚力模型的拉力-位移曲線上升段和下降段均為直線型。上升段的斜率表示界面的初始剛度，為一定值；界面損傷萌生后，界面剛度隨著界面相對位移增加而減小，直至界面完全斷開。雙線性內聚力模型具有形式簡潔、便于應用的特點，比較適用于研究脆性材料界面斷裂行為[32]。

1.2 指數型內聚力模型

Xu 和Needleman[16]為解釋復合晶體材料孔隙成核、界面脫粘現象，提出了耦合的指數內聚力模型。該指數型內聚力模型的二維形式可以表示為：

界面法向和切向拉力可以通過勢函數(7)對界面法向和切向相對位移求偏導得到：

則單一模式下，指數型內聚力模型的拉力-位移關系如圖4 所示。

圖4 指數型內聚力模型Fig. 4 Exponential CZM

指數型內聚力模型的拉力-位移曲線的上升段和下降段均為冪指數函數。隨界面損傷的發展，界面剛度發生連續性變化，拉力-位移曲線的非線性衰減能合理描述界面剛度的軟化過程[33]。

1.3 雙線性和指數型內聚力模型的適用性分析

分別采用雙線性內聚力模型和指數型內聚力模型對文獻[23]中的軌道板與砂漿界面試驗數據進行擬合，擬合方法選取最小二乘法，結果如圖5 所示。

圖5 雙線性和指數型內聚力模型對比Fig. 5 Comparison of bilinear and exponential CZMs

由圖5 可知，由雙線性內聚力模型擬合界面法向開裂試驗數據，得到界面法向內聚強度為1.792 MPa 及其對應的界面相對位移為2.5 μm，界面法向剛度為716.8 MPa/mm，界面法向臨界斷裂能為25.24 J/m2。由指數型內聚力模型擬合試驗數據，得到界面法向臨界斷裂能為12.2 J/m2，遠小于雙線性內聚力模型計算值。這主要與指數型內聚力模型拉力-位移曲線下降段衰減速率過快有關。

由雙線性內聚力模型擬合界面切向開裂試驗數據，得到界面切向內聚強度為0.956 MPa 及其對應的界面相對位移為15.2 μm，界面切向剛度為62.9 MPa/mm，界面切向臨界斷裂能為17.96 J/m2。由指數型內聚力模型擬合試驗數據，得到界面切向臨界斷裂能為16.4 J/m2，大于雙線性內聚力模型計算值，且損傷萌生時界面的相對位移較雙線性模型小。這主要由指數型內聚力模型拉力-位移曲線上升段增加速率過快導致。

在復雜的荷載作用下，為了合理闡述軌道板與CA 砂漿界面離縫機理，內聚力模型的選擇較為關鍵。雖然混凝土屬于準脆性材料，但在宏觀斷裂過程中應力和應變具有非線性的相互依賴關系[34]，并且無砟軌道結構在溫度和列車荷載作用下，層間界面受力較為復雜。雙線性內聚力模型可能無法準確描述無砟軌道結構層間損傷行為，而指數型內聚力模型可以表征層間損傷過程中界面剛度的連續性，但指數型拉力-位移曲線的上升段和下降段的增加和衰減速率無法有效控制。所以在既有內聚力模型基礎上，有必要發展指數型內聚力模型，以符合軌道板與CA 砂漿層間界面損傷萌生和發展過程。

2 改進指數型內聚力模型

2.1 改進指數型內聚力模型的建立

在上述內聚力模型的基礎上，本文提出了改進的指數型內聚力模型，用來描述軌道板與CA 砂漿層間界面的宏觀斷裂行為。宏觀斷裂行為需要滿足以下斷裂邊界條件：

圖6 改進指數型內聚力模型Fig. 6 Improved exponential cohesive zone model

在單一模式下，改進的指數型內聚力模型法向和切向下降段分別采用指數形式，通過引入指數系數，可改變下降段曲線衰減速率。且指數形式可以表征界面拉力和界面相對位移之間的非線性關系。

2.2 改進指數型內聚力模型參數確定

采用改進指數型內聚力模型對文獻[23]的軌道板與砂漿界面試驗數據進行擬合，結果見圖7。采用最小二乘法分別擬合上升段和下降段試驗數據，確定改進指數型內聚力模型的系數，進而可以得到界面內聚力模型參數，即：界面內聚強度、損傷萌生時界面相對位移和界面臨界斷裂能。

圖7 本文所提模型擬合結果Fig. 7 Fitting results of the proposed model in this paper

在界面法向，由擬合結果可以得到改進指數型內聚力模型上升段剛度為716.8 MPa/mm，下降段系數nn2為0.6429。得到界面法向內聚強度為1.792 MPa 及損傷萌生時界面相對位移為2.5 μm，界面法向臨界斷裂能為22.54 J/m2。在界面切向，由擬合結果可以得到改進指數型內聚力模型上升段系數nt1為1.934，下降段系數nt2為1.822。得到界面切向內聚強度為0.956 MPa 及損傷萌生時界面相對位移為15.2 μm，界面切向臨界斷裂能為18.7 J/m2。

2.3 改進指數型內聚力模型驗證

為驗證改進指數型內聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿層間界面損傷開裂行為的合理性。將改進指數型內聚力模型與既有內聚力模型(雙線性、指數型)進行對比，如圖5 和圖7 所示。由界面的拉力-位移曲線可以看出，改進指數型內聚力模型能較好地反映試驗現象，具體對比結果如表1 所示。由表1 可知，由改進指數型內聚力模型計算的界面內聚強度與臨界斷裂能和文獻[23]的計算結果比較接近，說明了改進指數型內聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿界面開裂行為的合理性。

表1 幾種內聚力模型擬合結果Table 1 Fitting results of several cohesive zone models

由試驗數據可知，軌道板與CA 砂漿界面的拉力-位移關系具有非線性特征。描述拉力-位移非線性特征的模型主要有多項式和指數型模型，相比多項式內聚力模型，指數型內聚力模型在純法向失效狀態下可以準確保持法向拉力為0，所以指數型內聚力模型能更好地分析界面損傷。其次，指數型內聚力模型的拉力及其導數是連續函數，在應用和計算方面具有優勢。本文模型是在指數型內聚力模型的基礎上提出來的，因此，本文模型具有指數型模型的優點。

3 軌道板與CA 砂漿層間粘結預測結果對比

為說明改進指數型內聚力模型模擬軌道板與CA 砂漿界面離縫的適用性，將改進的指數型模型和目前所采用的雙線性和指數型模型進行對比。參考文獻[23]的無砟軌道層間粘結試驗數據，分別采用雙線性內聚力模型、指數型內聚力模型和本文所提模型進行擬合。具體擬合結果見圖5及圖7。

3.1 界面法向開裂

由圖5(a)和圖7(a)可知，在軌道板與CA 砂漿層界面法向開裂的過程中，改進的指數型內聚力模型可以更好地擬合上升段和下降段試驗數據，尤其對下降段的試驗結果擬合效果較雙線性內聚力模型好。由表1 的擬合結果可知，本文所提模型計算的界面臨界斷裂能和文獻[23]的試驗結果比較接近，且小于雙線性內聚力模型計算值。

因下降段數據點較少，本文將法向上升段和下降段預測結果繪于同一圖中。采用不同內聚力模型對界面法向拉力進行預測，預測結果和試驗數據對比如圖8所示。

由圖8 可知，改進指數型模型和雙線性模型對文獻[23]的界面法向開裂試驗數據預測效果較好，而指數型模型對文獻[23]的試驗數據預測偏大。采用改進的指數型內聚力模型計算的決定系數R2為0.902，均方誤差(Mean Square Error, MSE)為0.028，可以較好預測試驗結果；由雙線性內聚力模型計算的決定系數R2為0.89，均方誤差MSE為0.031，可知由改進指數型內聚力模型計算的均方誤差比雙線性模型小，說明改進指數型模型對界面脫粘的模擬效果好于雙線性模型。而采用指數型內聚力模型計算的決定系數R2為0.243，均方誤差MSE 為0.214，模型預測值明顯大于試驗值，對試驗結果預測性較差，這是由于指數型模型上升段和下降段的增加和衰減速率過快，且下降段試驗數據較少，從而使多數預測值大于試驗值。通過綜合考慮試驗結果預測的準確性和法向試驗數據下降段的非線性，改進的指數型模型對試驗結果的預測效果要好于雙線性模型和指數型模型，采用改進的指數型模型可以較為合理地模擬軌道板與CA 砂漿層間界面的法向拉力-位移關系。

圖8 法向預測結果和試驗數據對比Fig. 8 Comparison between normal prediction results and experimental data

3.2 界面切向開裂

由圖5(b)和圖7(b)可知，對于軌道板與CA砂漿層間界面切向試驗結果，改進的指數型內聚力模型和雙線性內聚力模型均能較好擬合試驗數據。而改進指數型模型可以更好地表征界面切向損傷過程中拉力-位移關系的非線性。通過表1 的擬合結果可知，本文所提模型計算的界面臨界斷裂能和文獻[23]的試驗計算值比較接近。

采用不同內聚力模型對界面切向拉力進行預測，預測結果和試驗數據對比如圖9 所示。

圖9 切向預測結果和試驗數據對比Fig. 9 Comparison between tangential prediction results and experimental data

為準確評估模型預測效果，本文將切向上升段和下降段預測結果分開考慮。由圖9 可知，改進指數型模型和雙線性模型對文獻[23]的界面切向開裂試驗數據預測效果較好，而指數型模型對文獻[23]的上升段試驗數據預測偏大，對下降段試驗數據預測偏小。采用改進的指數型內聚力模型計算上升段和下降段的決定系數R2分別為0.903和0.93，均方誤差MSE 分別為0.008 和0.006，可以比較好地預測試驗結果。由雙線性內聚力模型計算上升段和下降段的決定系數R2分別為0.883和0.896，均方誤差MSE 分別為0.009 和0.008，說明在模擬軌道板與CA 砂漿層間界面切向開裂行為時，改進指數型模型對試驗結果的預測效果要好于雙線性內聚力模型。而采用指數型內聚力模型計算上升段和下降段的決定系數R2分別為-0.08和0.082，均方誤差MSE 分別為0.085 和0.073，模型預測值和試驗值的誤差較大，對試驗結果預測性較差。綜上，改進的指數型模型對試驗結果的預測效果要好于雙線性模型和指數型模型，且可以較好地表征界面切向拉力-位移曲線的非線性特性。

4 結論

本文基于內聚力本構理論和試驗數據，分別采用雙線性和指數型內聚力模型對CRTS Ⅱ 型軌道板與CA 砂漿層間離縫進行預測，分析了雙線性和指數型內聚力模型的適用性。在此基礎上，提出了改進的指數型內聚力模型，并確定了改進指數型內聚力模型的主要參數。最后，采用不同內聚力模型對軌道板與CA 砂漿層間離縫進行預測分析。得到以下結論：

(1) 雙線性內聚力模型上升段和下降段均為線性，極值點導數不連續；指數型內聚力模型上升段和下降段非線性特征難以控制。而提出的改進指數型內聚力模型則改善了既有模型的不足。

(2) 改進指數型內聚力模型采用分段函數，通過引入指數系數改善了模型的非線性特征?？梢愿咝нM行軌道板-CA 砂漿界面內聚強度、損傷萌生時界面相對位移和界面臨界斷裂能的計算，分析結果與試驗值基本一致。

(3) 改進指數型模型能準確描述軌道板與CA 砂漿界面開裂行為，預測精度高于雙線性和指數型內聚力模型。改進指數型內聚力模型可更好地表征軌道板與CA 砂漿層間界面法向和切向開裂行為。