量子力學中表象變換理論的教學探討：結合中微子振蕩的前沿案例

涂 濤，郭奧林，李傳鋒，郭光燦

(中國科學技術大學 物理學院，中國科學院量子信息重點實驗室，安徽 合肥 230026)

量子力學是物理學專業一門重要的基礎課程，同時其內容又與量子調控、量子信息、粒子物理、凝聚態物理等領域的研究前沿密切聯系在一起[1-3]. 如何把現代物理學的一些前沿進展，與基礎物理課程的教學內容融合在一起，需要在教學研究、教學改革和課程建設中不斷思考、探索與實踐.

在目前的量子力學教材中[4-7]，有一些基本概念和知識點如定態薛定諤方程，有許多具體的教學案例和教學研究，例如結合無限深方勢阱、中心勢場中的氫原子等來求解定態薛定諤方程[8-11]. 然而，還有一些基本概念和知識點如表象變換理論等，都比較抽象，也沒有具體的教學案例. 學生們普遍反映這些概念和知識點較難理解，也不清楚這些抽象公式所代表的物理圖像. 因此表象變換理論等內容成為當前量子力學教學中的重難點之一.

筆者所在的中國科學技術大學量子力學教學研究團隊，從2006年起就提出 “面向現代物理前沿，開展科教融合的量子力學課程建設”.團隊持續關注物理學研究前沿和動態，探索將一些前沿進展以適合本科生教學的方式融入到量子力學課程中[12,13]. 一方面，學生運用學到的基礎知識來解決具體和實際的科研問題，可以大大加深他們對基礎知識的理解和掌握. 另一方面，研究前沿作為教學案例，也是學生接觸科學研究的一條途徑，可以很好地激發他們從事科學研究的興趣和熱情. 本文主要探討利用中微子振蕩作為教學案例促進量子力學中表象變換理論的教學過程和效果.

1 表象變換理論教學的難點分析

|Ψ〉=∑iai|vi〉

(1)

這里展開系數是ai.

|Ψ〉=∑jbj|φj〉

(2)

這里展開系數是bj.

同樣一個量子態，可以分別用A表象和B表象來表示:

|Ψ〉=∑iai|vi〉=∑jbj|φj〉

(3)

對于上式，左乘以A表象的基矢〈vi|，利用基矢的正交歸一性，可以得到

ai=∑j〈vi|φj〉bj=∑jSijbj

(4)

可以把上式寫成矩陣的形式，即為

(5)

式(5)表明，同一個量子態在A表象和B表象中的表示系數是有聯系的，它們通過一個幺正矩陣S聯系在一起.

以上就是量子力學中表象變換理論的一般形式. 在我們多年的教學實踐中[13]，通過對學生學習情況的問卷調查和交流討論，學生普遍反映存在如下兩個困難：1) 這些矩陣公式比較抽象，學生往往不知道如何將抽象的符號與具體的物理圖像聯系在一起；2) 這些公式包含的概念較多，有表象、力學量算符、態矢量、本征態的正交歸一性和完備性等，如何用一個完整的物理圖像來理解這么多的公式，也有相當大的挑戰.

針對上述困難，我們選取中微子振蕩這一粒子物理學前沿作為教學案例，促進學生對表象變換理論的學習和理解.

2 中微子物理前沿進展的介紹和引入

為了能夠將中微子振蕩作為教學案例，我們需要向學生簡單地介紹一下中微子物理. 這部分內容可以看作是原子物理課程中粒子物理內容的一些擴展和延伸，學生不難掌握.

中微子是構成物質世界的一種基本粒子，中微子不帶電，只參與弱相互作用，所以它與其他物質的相互作用很弱. 為了探測到中微子，需要有很強的中微子源，也需要龐大的探測器，才能產生足夠的信號. 歷史上，美國科學家利用核反應堆發射中微子束流，并利用200 L的水和1 682 L的液體閃爍體作為探測器，測量到了中微子的信號. 中微子的發現獲得了1988年和1995年兩次諾貝爾物理學獎.

目前科學家已經發現了3種類型的中微子，分別是電子中微子、μ子中微子和τ子中微子. 日本科學家在KamLand建造了埋在地下礦井中的、擁有50 000 t水和11 500個光電倍增管的大型中微子探測裝置. 他們分別探測了來自核反應堆的中微子束流，和由宇宙射線產生的中微子束流. 他們觀測到如下有趣的現象：

核反應堆會產生一定數目的電子中微子，當這些電子中微子經過一段距離，到達KamLand的探測器時，科學家觀測到電子中微子數目出現減少.

當高能宇宙射線進入大氣層，會產生一定數量的電子中微子和μ子中微子. 當這些電子中微子和μ子中微子經過一段距離達到KamLand的探測器時，科學家觀測到電子中微子的數目幾乎不變，而μ子中微子數目發生減少.

這些現象說明了中微子會在幾種不同狀態之間發生相互轉換，稱為中微子振蕩. 中微子振蕩是粒子物理學的研究前沿，這一發現已經獲得了2002年和2015年兩次諾貝爾物理學獎，進一步的研究仍然方興未艾[14,15].

下面我們就利用量子力學的表象變換理論來解釋中微子振蕩這一有趣而重要的現象.

3 兩代中微子情況的表象變換理論

3.1 中微子的味表象

在味表象中，中微子的一般狀態可以表示為這兩種基矢的疊加：

(6)

這一組數a1、a2就構成了量子態在味表象中的表示.

3.2 味表象中的力學量算符

在味表象中，中微子的質量算符可以表示為一個矩陣：

(7)

這個矩陣表示的物理意義是：對角元素mee、mμμ分別表示電子中微子和μ子中微子的質量.而非對角元素meμ、mμe表示電子中微子和μ子中微子之間的混合.

首先，我們求解質量算符的本征方程：

(8)

此時它是一個矩陣的本征方程:

(9)

這是一個矩陣的本征問題.質量本征值可以由如下方程得到：

(10)

通過代數運算，可以求得兩個質量本征值為

(11)

這里我們令meμ=mμe.

進一步，我們將質量本征值代入方程(9)中，可以得到相應的兩個質量本征態為

(12)

3.3 中微子的質量表象

通過線性代數計算，我們可以驗證如下式子：

即質量本征態|φ1〉和|φ2〉是正交歸一的，因此它們構成態空間的一組基矢.以|φ1〉和|φ2〉為基矢的表象，我們稱為質量表象.

在質量表象中，中微子的某一狀態可以表示為質量本征態的疊加：

(13)

這一組數b1、b2就構成量子態在質量表象中的表示.

3.4 中微子兩個表象之間的表象變換

從上面的討論中，我們看到，同樣一個中微子狀態在味表象和質量表象中，可以表示為不同的形式，分別是表達式(6)和(13).一個很自然的問題是，這兩種表示之間有什么聯系呢？

注意到，同一個中微子態有

|Ψ〉=a1|ve〉+a2|vμ〉=b1|φ1〉+b2|φ2〉

(14)

對于上式，左乘〈ve|，我們有

〈ve|ve〉a1+〈ve|vμ〉a2=〈ve|φ1〉b1+〈ve|φ2〉b2

(15)

再利用基矢的正交歸一性，可得到如下關系式：

a1=〈ve|φ1〉b1+〈ve|φ2〉b2

(16)

同理，對式(9)，如果左乘〈vμ|，可得到類似關系式：

a2=〈vμ|φ1〉b1+〈vμ|φ2〉b2

(17)

為更清楚，將式(16)和(17)表示為矩陣的形式：

(18)

式(18)清楚的顯示，同一個量子態在味表象和質量表象這兩個表象中的不同表示之間是相互關聯的，它們是通過一個變換矩陣S聯系在一起的.矩陣元素Sij是味表象的基矢|vi〉和質量表象的基矢|φj〉之間的標積Sij=〈vi|φj〉.

在3.2節中，我們已經求得了在味表象下，質量本征態的表達式(12)，因此不難得到如下結果：

這樣我們可以把表象變換矩陣S寫成

(19)

表象變換矩陣S具有很直觀的物理意義，每個矩陣元Sij代表了電子中微子態|ve〉或μ子中微子態|vμ〉是由兩種質量本征態|φ1〉和|φ2〉混合而成的

|ve〉=cosθ|φ1〉+sinθ|φ2〉=S11|φ1〉+S12|φ2〉

(20)

|vμ〉=-sinθ|φ1〉+cosθ|φ2〉=S21|φ1〉+S22|φ2〉

(21)

這里，我們把θ稱為中微子的混合角.如果用表象變換矩陣S表示，即為

|vi〉=∑jSij|φj〉

(22)

3.5 中微子的含時演化和中微子振蕩現象

下面，利用中微子的表象變換理論，分析中微子狀態的含時演化行為.設在初始時刻，產生了一個電子中微子，在味表象下，中微子的狀態表示為

|Ψ(0)〉=|ve〉

(23)

利用味表象和質量表象之間的變換關系，可以得到在質量表象下的式子：

|Ψ(0)〉=cosθ|φ1〉+sinθ|φ2〉

(24)

顯然，中微子的狀態可以看成是兩種質量本征態|φ1〉和|φ2〉的組合.

(25)

因為每種質量的中微子都隨著其能量發生含時演化，所以我們可以得到t時刻的狀態為

|Ψ(t)〉=cosθe-iE1t/?|φ1〉+sinθe-iE2t/?|φ2〉

(26)

這里的E1和E2分別代表兩種質量為m1和m2的中微子相應的能量.

因為在實驗中，我們探測的是電子中微子或μ子中微子的信號，所以我們重新在味表象下表示t時刻的狀態.利用味表象和質量表象之間的變換關系，我們可以得到

|Ψ(t)〉=(cos2θe-iE1t/?+sin2θe-iE2t/?)|ve〉+

sinθcosθ(e-iE2t/?-e-iE1t/?)|vμ〉

(27)

從上述表達式，我們容易得到，在t時刻發現中微子處于電子中微子狀態|ve〉的概率為

Pe(t)=|ve|Ψ(t)〉|2=

|cos2θe-iE1t/?+sin2θe-iE2t/?|2=

1-sin22θsin2[ΔEt/2?]

(28)

這里我們令ΔE=E1-E2.

(29)

這里定義中微子從發射源到探測器的飛行距離為L.

上述理論公式(29)清楚的表明，初始時候的電子中微子，在t時刻只有一部分的概率Pe仍然處在電子中微子，另外有1-Pe的概率轉化為μ子中微子.這種隨時間演化的現象稱為中微子振蕩.而中微子振蕩的概率取決于兩個關鍵的參數：混合角θ和質量差Δm.

3.6 與中微子實驗的對照和分析

科學家使用核反應堆產生電子中微子，然后在距離為L處利用探測器探測到達的電子中微子. 世界上許多發達國家都開展了這類中微子振蕩的實驗，特別是日本的KamLand實驗組. 這些反應堆中微子的實驗結果[14]，在圖1中由不同形狀的數據點給出. 在圖1中，橫軸表示中微子從反應堆到探測器的飛行距離L，縱軸表示探測器測量到電子中微子的概率Pe.

進一步，可以利用理論公式(29)來定量分析日本KamLand組的實驗結果. 在KamLand組的實驗中，反應堆產生的中微子動量為pc=4 Mev，從反應堆到探測器的距離為L=180 km.兩個主要參數的數值為：中微子的混合角θ=0.59，中微子的質量差Δm2c4=7.1×10-5eV2.將這些參數代入理論公式(29)，我們可以計算最后探測到電子中微子的概率為Pe=0.47，這與實驗測量值Pe=0.51是符合的[14].

圖1 反應堆中微子振蕩的實驗結果和理論分析

4 三代中微子情況的表象變換理論

4.1 中微子味表象和質量表象之間的表象變換

在第3節中，我們給出了中微子的兩種表象：味表象和質量表象.進一步，利用兩種表象之間的表象變換，分析了中微子狀態隨時間的演化行為：中微子振蕩現象.理論分析和實驗觀測是完全一致的.當然，在第3節中，我們只討論了兩代中微子的情況，更完整的討論應該包括3代中微子的情況.因此，我們將中微子的表象變換理論從2代中微子推廣到3代中微子.

在味表象中，中微子的3種基矢態，即電子中微子、μ子中微子和τ子中微子分別標記為|ve〉、|vμ〉和|vτ〉.中微子的一般狀態可以表示為這3種基矢態的疊加：

(30)

這一組數a1、a2和a3就構成了量子態在味表象中的表示.

在質量表象中，我們將3種質量本征態分別標記為|φ1〉、|φ2〉和|φ3〉，它們的質量為m1、m2和m3.在質量表象中，中微子的一般狀態可以表示為這些質量本征態的疊加：

(31)

這一組數b1、b2和b3就構成了量子態在質量表象中的表示.

注意到，同一個態有

|Ψ〉=a1|ve〉+a2|vμ〉+a3|vτ〉=

b1|φ1〉+b2|φ2〉+b3|φ3〉

(32)

對于上式，左乘〈ve|、vμ|或者〈vτ|，我們可以得到如下關系式：

a1=〈ve|φ1〉b1+〈ve|v2〉b2+〈ve|φ3〉b3

(33)

a2=〈vμ|φ1〉b1+〈vμ|φ2〉b2+〈vμ|φ3〉b3

(34)

a3=〈vτ|φ1〉b1+〈vτ|φ2〉b2+〈vτ|φ3〉b3

(35)

很顯然，上述關系式可以表示為矩陣的形式：

(36)

這個表象變換矩陣S顯示同一個量子態在兩個表象中的表示系數是聯系在一起的.其中矩陣元素Sij是味表象的基矢|vi〉和質量表象的基矢|φj〉之間的標積Sij=〈vi|φj〉.這里的矩陣元素具有很明顯的物理含義，即電子中微子態、μ子中微子態或τ子中微子態是由3種質量本征態混合而成的：

|ve〉=S11|φ1〉+S12|φ2〉+S13|φ3〉

(37)

|vμ〉=S21|φ1〉+S22|φ2〉+S23|φ3〉

(38)

|vτ〉=S31|φ1〉+S32|φ2〉+S33|φ3〉

(39)

如果用表象變換矩陣S，可以寫成

|vi〉=∑jSij|φj〉

(40)

4.2 中微子振蕩現象的理論分析和實驗對照

這里，我們利用中微子的表象變換，來分析3代中微子狀態的含時演化行為.設在初始時刻，產生了一個某種味i的中微子，在味表象下，該中微子的狀態表示為

|Ψ(0)〉=|vi〉

(41)

這里i=e,μ,τ分別標記3種味本征態：電子中微子、μ子中微子和τ子中微子.利用表象變換式(40)，我們可以得到在質量表象下的式子：

|Ψ(0)〉=∑jSij|φj〉

(42)

這里j=1,2,3分別標記3種質量本征態.

進一步，我們可以得到t時刻的中微子狀態為

|Ψ(t)〉=∑jSije-iEjt/?|φj〉

(43)

在t時刻探測中微子，會發現其不再是某種味i的狀態|vi〉，而是轉換為另一種味β的狀態|vβ〉.這一轉換過程的概率為

(44)

下面，我們利用上述公式，對于實驗中關心的

幾種典型情況進行分析.

第1種情況，我們討論電子中微子和μ子中微子之間的轉換.利用式(44)，可以計算初始時刻為電子中微子，末了轉換為μ子中微子的概率為

(45)

第2種情況，我們討論μ子中微子和τ子中微子之間的轉換.利用式(44)，可以計算初始時刻為μ子中微子，末了轉換為τ子中微子的概率為

(46)

5 教學效果分析

我們利用中微子振蕩作為教學案例，來講述表象變換理論.對于這種方式的教學效果，我們進行了問卷調查，讓學生以一段話來評價這種教學方式.從調查結果來看，學生普遍給予了積極評價，主要可以歸納為如下2點：

1) 以中微子的味表象和質量表象作為具體例子，在討論過程中，沒有抽象的數學計算，而是把表象變換公式的物理含義揭示出來：表象變換矩陣元表示不同質量本征態的混合.這樣的教學方式可以讓學生們直觀理解和掌握表象變換公式.

2) 以中微子振蕩這一前沿成果作為教學例子，可以讓學生了解當前的科研熱點，讓他們可以用所學的基本知識來理解前沿成果，而且是獲得諾貝爾物理學獎的重要成果，這使得他們產生了強烈的興趣和熱情，學習的積極性得到較大提高.

6 結論

中微子振蕩作為粒子物理學前沿，其基本思想可以用量子力學的表象變換理論很好的理解：在實驗中產生和探測到的中微子味本征態|ve〉、|vμ〉和|vτ〉并不是質量本征態，而是質量為m1、m2和m3的3種質量本征態的線性組合.因此在飛行過程中，不同味本征態將會發生相互轉換.

在教學中，我們利用中微子振蕩作為具體案例，它很自然的包含了表象變換理論的幾個基本概念：兩個表象——味表象和質量表象，不同表象的變換矩陣——不同中微子態的混合.理論公式的計算比較簡單，而且具有清晰的物理含義，能夠很好地解釋實驗現象.

量子力學課程中融入前沿的研究成果，一方面可以培養學生利用抽象的理論公式解決具體物理問題的能力，另一方面這些具有前沿性和挑戰性的內容，也極大鼓舞了學生對未知領域和前沿課題的探索興趣.在本文中以中微子振蕩作為典型案例，我們希望在今后的教學研究中，不斷與時俱進，探索更多的前沿案例來豐富和促進量子力學的教學.