拉梅系數在力學中的應用

周 健，馬瑛晗，毛英臣

(遼寧師范大學 物理與電子技術學院,遼寧 大連 116029)

拉梅(G. Lamé)系數，又被稱為度規元，反映了在任意點P處沿坐標(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標增量的比值，在數學與物理中有重要的應用.如沈孝明利用拉梅系數給出了動力學方程的一種新形式[1]，張春雷等利用拉梅系數給出了正交曲線坐標系中加速度的矢量求法[2]，謝樹藝利用拉梅系數給出了梯度、散度、旋度與調和量的表達式[3], 上述工作僅對拉梅系數在某一知識點的應用進行了介紹.本文對拉梅系數在力學方面的應用做了系統梳理，為方便讀者理解、記憶給出了對應物理量的一般表達式，并結合具體事例介紹了其在運動學和分析力學里的應用．

1 拉梅系數

在空間中任意一點，如果3個坐標曲線都互相正交，并且3個坐標曲面也互相正交，則稱這樣的坐標系為正交曲線坐標系．若空間某一點P的坐標為(q1,q2,q3)，位矢為r，則位矢r的增量為

(1)

(2)

(3)

由式(3)可知，拉梅系數反映了任意點P沿(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標增量的比值．

圖1 球坐標示意圖

如圖1所示，可通過對球坐標系中拉梅系數的計算來加深對其定義的理解．在點P沿(r,θ,φ)方向的長度增量分別為

dlr=dr， dlθ=rdθ， dlφ=rsinθdφ

根據定義很容易得到球坐標系中拉梅系數為

(4)

同理，易求得其他坐標系中的拉梅系數，如表1第2列所示．

2 拉梅系數在運動學中的應用

2.1 弧長、面元和體元

(5)

進一步，利用上式可以將弧長表示為

(6)

曲線的弧長微元ds在坐標軸上的投影為dsi，通常取弧長增大的方向與對應的曲線增大時坐標曲線的走向一致，這樣dsi與dqi就有相同的正負號，從而有

dsi=hidqi

(7)

由此可將面元和體元分別表示為

dSij=dsidsj=hihjdqidqj， (i≠j)

(8)

dV=hihjhkdqidqjdqk， (i≠j≠k)

(9)

2.2 速度

設點P處位矢r可表示為曲線坐標的函數r=r(q1,q2,q3)，其中q是時間t的函數，故點P處的速度可表示為

(10)

利用式(3)可將點P處的速度表示為如下形式：

(11)

式(11)給出的速度是正交曲線坐標系中的一般形式，實際問題中最常用的直角坐標系、極坐標系、柱坐標系以及球坐標系都可看作正交曲線坐標系的特殊情況．為表述方便，可將正交單位向量基用ei(α)(下標標注對應不同的坐標參量)表示．下面以極坐標系為例，來看一下點P處速度的具體表達式．

極坐標系下的位矢r=rer，從表1可知其拉梅系數為hr=1、hθ=r，將其代入式(11)可以得到在點P處的速度為

(12)

所得結果即大家所熟悉的形式．

為方便理解和記憶，筆者在表1中列出了不同坐標系中點P的拉梅系數、位移dr、體元和速度．

表1 不同坐標系中點P的拉梅系數、位移dr、體元和速度

3 拉梅系數在分析力學中的應用

3.1 廣義力

分析力學是對經典力學的高度數學化的表達[5]，它通過用廣義坐標來描述質點系．對受穩定、理想約束的體系，一般將廣義力定義為

(13)

其中qα為廣義坐標，將不同坐標系的拉梅系數代入公式(13)，可得極坐標系中廣義力為

Qr=Fr

Qθ=rFθ

以及球坐標系中廣義力為

Qr=Fr

Qθ=rFθ

Qφ=rsinθFφ

其他坐標系中的廣義力被展示在表2中，通過對比表2的第2列，利用拉梅系數可將廣義力表示為

(14)

顯然廣義力Qα是主動力Fi在其坐標方向的投影與相應拉梅系數乘積的代數和．結合虛功的定義和式(14)，我們可以得到廣義坐標下虛功的表達式為

(15)

下面，可通過對質點在球坐標系中運動方程[6]的求解過程來理解應用拉梅系數的便捷性．

將球坐標系中的拉梅系數hr=1、hθ=r、hφ=rsinθ代入式(6)可得

(ds)2=(dr)2+r2(dθ)2+r2sin2θ(dφ)2

故質點的速度可表示為

進而可得質點的動能為

將質點動能和廣義力代入基本形式的拉氏方程,有

整理可得質點在球坐標系下的運動方程為

這里需要指出的是，在求解質點速度時，還可直接應用式(11)，這樣計算更加簡潔．從上述分析中可以看出，應用拉梅系數可串聯對線元、速度和廣義力的求解，從而利于對這些知識的整合理解．

3.2 哈密頓量

對于穩定的保守系統，哈密頓量H等于系統的總機械能，即哈密頓量H=T+V.H的物理意義是代表廣義能量，它是用正則坐標和正則動量表示的函數，而利用拉梅系數hα可將廣義動能表示為

(16)

因此利用拉梅系數可將系統的哈密頓量表示為

(17)

一般地，勢能是已知項，利用帶有拉梅系數的廣義動能函數很容易求出體系的哈密頓量．例如在求解平面開普勒問題的哈密頓量時，我們可以直接由極坐標系下的動能函數求得系統的哈密頓量[7]．

取極坐標r、θ為廣義坐標，則勢能為

其中κ為比例系數.將極坐標系的拉梅系數hr=1、hθ=r代入式(16)，可得

故開普勒問題的哈密頓量為

由此我們發現，可不用求解體系的拉格朗日量，便可利用拉梅系數直接寫出體系的動能函數，從而得到哈密頓量，簡化了運算過程．表2展示了利用拉梅系數表示的廣義力、虛功和動能函數的一般表達式．實際上，也可通過坐標變換關系得到用廣義坐標、廣義速度表示的力和動能等物理量．結合表1和表2可以看出，利用拉梅系數，我們可以把運動學和分析力學串聯起來，從而很容易得出力學量的一般表達式，有利于對相關知識的串聯整合．

4 小結

本文首先介紹了拉梅系數的定義，然后以球坐標系為例，求解了該坐標系的拉梅系數，進而系統分析了拉梅系數在求解面元、體元、位移以及速度中的應用．為充分理解拉梅系數的使用范圍，我們通過兩個具體問題討論了拉梅系數在表示廣義力、虛功和哈密頓量中的應用．通過分析，我們可知拉梅系數揭示了一類物理問題的數學基礎，利用該量可簡化對這類問題的理解．此外，利用拉梅系數表示力學量的過程可以增強對力學中相關知識的整合與梳理．

表2 利用拉梅系數表示的廣義力、虛功和動能函數