論相對論坐標變換的線性特性

郜 青，龔云貴

(1. 西南大學 物理科學與技術學院，重慶 400715；2. 華中科技大學 物理學院，湖北 武漢 430074)

狹義相對論與量子力學是現代物理的兩大支柱. 愛因斯坦于1905年提出了相對論的兩個基本假設：相對性原理與光速不變原理[1]. 相對性原理指的是所有慣性參考系都是等價的，物理規律比如力學現象、電磁現象等對于所有慣性參考系都可以表示為相同形式. 光速不變原理指的是真空中的光速相對于任何慣性系沿任一方向速度恒為c，與光源運動無關. 基于這兩個基本假設，以及時空是均勻各向同性的特點，我們可以推導出兩個慣性坐標系之間的洛倫茲變換及間隔不變性. 在間隔不變性及洛倫茲變換的推導中，相對論變換的線性特性是非常關鍵的一步. 在很多力學、普通物理、電動力學及相對論的教科書中，關于相對論變換必須是線性變換通常都是一筆帶過[2-8]. 這些教課書利用勻速運動(所有慣性參考系中的運動都是勻速運動)及時空均勻各向同性論斷相對論坐標變換必須是線性變換，它們給出的基本理由是非線性變換會導致一個參考系中的勻速運動在另外一個參考系中變為加速運動. Rindler在他所著《相對論：狹義，廣義與宇宙學》(Relativity: special, general and cosmological)中利用原時(間隔)不變性對上述理由給出了一個簡單的數學證明[9]. 而郭碩鴻在他所著的《電動力學》中則是先利用線性變換去證明間隔不變性，然后才推導出洛倫茲變換. 其實溫伯格在他所著的《引力論與宇宙學》(Gravitation and cosmology: principle and applications of the general theory of relativity)書中嚴格證明了保持間隔不變性的相對論變換一定是線性變換[10]. 同時溫伯格也指出保持間隔為零不變的相對論變換可以是非線性變換.

在實際教學中，部分學生無法理解保持勻速運動的相對論坐標變換一定是線性變換的論斷. 物理學的本質就是要利用嚴謹的數學來說明簡單豐富的物理思想. 本文作者正是為了解答學生的疑問及闡釋線性變換的物理思想，找到了一個證明慣性參考系之間的相對論坐標變換只能是線性變換的證明，供同行們參考. 本文先證明相對論變換函數是一個單變量函數，然后利用相對性原理證明線性變換，最后利用光速不變性確定線性變換系數，從而最終得到洛倫茲變換.

1 變換函數是單變量函數

考慮兩個相對運動的慣性坐標系，即∑′系以速度v相對于∑系運動(注意v≠c)，這兩個慣性系的空間坐標和時間已經利用光速不變原理按通常的辦法定義好了(這里假設定義了時間和空間坐標的時空是均勻各向同性的). 初始時刻，∑′系坐標原點和∑系坐標原點重合，且∑′系坐標原點的時鐘和∑系坐標原點的時鐘對準，x=0,t=0,x′=0,t′=0(可以是任意一點，為方便討論，選取坐標原點). ∑′系與∑系之間最一般坐標變換關系為

x′=fa(x,t)

(1)

t′=ga(x,t)

(2)

它們之間的微分變換關系為

(3)

(4)

函數fa及ga滿足fa(0,0)=ga(0,0)=0.

1.1 引理1

函數fa(x,t)是一個單變量函數，且fa(x,t)=f(x-vt).由于∑′系的原點x′=0(可以是任意一點)在∑系看來是在做勻速運動dx=vdt，代入到式(3)則得到

(5)

所以有

(6)

對式(6)兩邊求時間導數可得

(7)

由上式可知，如果?2fa/?x?t=0，則函數fa為線性函數. 對式(6)兩邊求x導數并結合式(7)可得

(8)

顯然函數f滿足波動方程，滿足初始條件f(0,0)=0的解為

fa=f(x-vt)

(9)

上述解也可通過引入新變量l1=x+vt及l2=x-vt得到. 利用這些新變量式(6)簡化為?fa/?l1=0，加上條件fa(0,0)=0則得到上述解fa=fa(l2)=f(x-vt).

由相對性原理可知，∑系相對于∑′以速度-v做勻速運動，因此式(1)的逆變換為x=f(x′+vt′). 由此可知x′+vt′=fa+vga只是x的函數，fa+vga對時間t的偏導數為零，即

(10)

及

(11)

上述關系式(10)及式(11)也可以直接由∑系中原點的運動得到. ∑系中原點(任意一點)在∑′系以-v運動，dx=0且dx′=-vdt′，代入式(3)和式(4)則可得到式(10)及式(11).

1.2 引理2

(12)

上述式(12)最后兩行給出函數g所滿足的方程：

(13)

如果u′=u-v，此即牛頓力學中的速度相加公式，這與光速不變原理矛盾，可以被排除. 實際上這種情況就是伽利略變換. 由牛頓力學中的速度相加公式u′=u-v得到?ga/?x=0，有

t′=ga(x,t)=Ga(t)

(14)

(15)

另外，結合式(11)及式(13)可得

(16)

(17)

2 慣性坐標系之間的相對論變換

定理：慣性坐標系之間的相對論變換一定是線性變換.

現在我們可以證明函數f和g為線性函數. 為了表述方便，把式(10)、(11)及(16)統一寫成

(18)

(19)

(20)

(21)

即函數f與g為線性函數，線性變換得證.

目前，發電企業、電網公司和用戶是中國電力市場中三大市場主體。為便于分析，這里所指的電力行業的市場結構由發電企業(發電商)、電網公司(購電商)和用戶組成，模型見圖1。

(22)

f(x′+vt′)=f[p(-v);-v]，

g(x′-αt′)=g[q(-v);-v]

其中變量

p(v)=x-vt，p(-v)=x′+vt′

由于空間是各向同性的，x以速度v運動與-x以速度-v運動是等價的，所以有

f(x-vt)=-f[-(x+vt);-v]，

df(p;v)/dp=df(p;-v)/dp

由引理1及引理2可知

f[f(x′+vt′;-v)-vg(x′-αt′;-v);v]

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)給出

(26)

把這個結果式(27)代入式(25)可得

(27)

(28)

且dg(q;v)/dq=-vγ/c2. 由此很容易得到洛倫茲變換為

(29)

(30)

式中β=v/c.

總之，我們利用時空的均勻各向同性及狹義相對論的兩個基本原理，證明了慣性系之間的相對論坐標變換一定是線性變換，并且由此推導出了洛倫茲變換.