杯子翻轉中的數學道理

文／張海燕

如圖1，桌上放著8 只杯子，杯口全部朝上。每次翻轉其中的4 只，只要翻轉兩次，就能把它們全都翻成杯口朝下。

圖1

如果將圖1 中的8 只杯子換成6 只杯子，每次仍然翻轉其中的4 只，經過幾次翻轉能把它們全部翻成杯口朝下？

同學們可以動手試驗一下哦！

你會發現，經過3 次翻轉，就能達到目的。如果沒有杯子可以試驗，我們能用數學方法算出來嗎？

當然可以。我們用+1 表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，翻轉過程可以簡單地表示如下：

初始狀態：+1，+1，+1，+1，+1，+1；

第一次翻轉：-1，-1，-1，-1，+1，+1；

第二次翻轉：+1，+1，+1，-1，+1，-1；

第三次翻轉：-1，-1，-1，-1，-1，-1。

如果再將問題中的8只改為7只，經過多少次翻轉（每次翻4 只），能把它們全部翻成杯口朝下？

經過試驗，你將發現，無法按規定把它們全部翻成杯口朝下。

是你的“翻轉”能力差，還是根本無法完成？

“±1”將告訴你答案：不管你翻轉多少次，總是無法使這7只杯口朝下。

仍然用+1 表示杯口朝上，-1 表示杯口朝下，問題就變成：有7 個+1，每次改變其中4個數字的符號，若干次后，能否把它們都變成-1？我們來考慮這7 個數的乘積，由于每次都改變4 個數的符號，所以它們的乘積永遠不變（即恒為+1），而全部杯口朝下時7 個數的乘積等于-1，所以這是不可能的。

道理竟如此簡單，證明也很巧妙，這些還要歸功于“±1”語言哦。