非齊次擬線性雙曲方程組Goursat問題解的整體存在性*

竇浩楠, 劉存明

(曲阜師范大學數學科學學院,273165,山東省曲阜市)

0 引言與主要結果

考慮一階非齊次擬線性雙曲方程組

(1)

其中u=(u1,…,un)T是關于(t,x)的未知函數,A(u)是一個n×n矩陣,其中元素aij(u)(i,j=1,…,n)關于u適當光滑,B(u)=(B1(u),…,Bn(u))T是u的已知光滑向量函數.

由嚴格雙曲型方程組的定義,對所考察區域上任意u,A(u)有n個互異的實特征值,

λ1(u)<λ2(u)<…<λn(u).

(2)

設li(u)=(li1(u),li2(u),…,lin(u))(ri(u)=(r1i(u),r2i(u),…,rni(u))T) 是對應于λi(u)(i=1,…,n)的左 (右)特征向量,即li(u)A(u)=λi(u)li(u)(A(u)ri(u)=λi(u)ri(u)),則det|lij(u)|≠0(det|rij(u)|≠0). 在嚴格雙曲型假設下,li(u),ri(u)及λi(u)與A(u)有相同的光滑性. 不失一般性,設

li(u)rj(u)=δij,i,j=1,…,n,

(3)

ri(u)Tri(u)=1(i=1,…,n), 其中δij表示Kronecker符號.

對任意i=1,…,n,若沿著u-空間中過原點u=0 的第i特征軌線u=ui(s):

(4)

成立,?λi(ui(s))ri(ui(s))≡0, ?|s|?1, 即

λi(u(i)(s))≡λi(0), ?|s|?1,

(5)

則稱式(1)是弱線性退化[1]. 非齊次雙曲方程組(1)右端項B(u)滿足匹配條件,即過原點的任一特征軌線成立

B(ui(s))≡0, ?|s|?1,

(6)

其中ui(s)由式(4)給出.

考慮方程組(1)滿足如下條件

u=φ(t):x=x1(t);u=ψ(t):x=xn(t)

(7)

的特征邊值問題,其中x=x1(t)及x=xn(t)分別是過(t,x)=(0,0)的第1,n條特征線,即

(8)

(9)

其中φ(t)=(φ1(t),…,φn(t))T,ψ(t)=(ψ1(t),…,ψn(t))T是給定的C1函數,且在(0,0)處滿足C1相容性條件

B(φ(0))(λn(φ(0))-λ1(ψ(0)))=b0;φ(0)=ψ(0),

(10)

其中b0=λn(φ(0))φ′(0)-λ1(ψ(0))ψ′(0)+A(φ(0))(ψ′(0)-φ′(0)).

對齊次雙曲方程組(B(u)≡0)Cauchy問題已經做了廣泛地研究[2,3]. 對Goursat問題(1)及式(7)～(10),在線性退化條件下,當給定的特征邊值數據的BV范數充分小時,存在唯一的整體經典解[4]. 在文獻[5-7]中作者得到了擬線性雙曲方程組Goursat問題的C1解的整體存在性及漸近性態. 這些結果均是對齊次雙曲方程組研究的,即方程組(1)無右端項的情況.

本文考慮方程組特征邊值問題(1)及式(7)～(10)的光滑解. 在方程組弱線性退化條件及B(u)滿足匹配條件下,若給定的特征邊值數據W1,1范數充分小,證明了整體C1解的存在性,見定理1.

由雙曲方程組特征邊值問題C1解的局部適定性理論[8]知,若φ(t),ψ(t)∈C1,并且在(0,0)處滿足C1相容性條件,則存在T*>0,使得方程組(1)及式(7)～(10)在DT*?{(t,x)|0≤t≤T*,x1(t)≤x≤xn(t)}上存在唯一的C1解u=u(t,x). 我們得到如下的C1解的整體存在性.

定理1 假設方程組(1)是嚴格雙曲,弱線性退化,且右端項B(u)滿足匹配條件(6). 對于滿足C1相容性條件(10)的特征邊值φ(t),ψ(t),令

(11)

則存在與M無關的正常數ε>0,當

(12)

(13)

時,則問題(1)及式(7)～(10)存在唯一的整體C1解u=u(t,x),(t,x)∈{(t,x)|t≥0,x1(t)≤x≤xn(t)},且對任意t≥0,成立

‖u(t,·)‖C0≤Cε, ‖ux(t,·)‖C0+‖ut(t,·)‖C0≤CM.

(14)

1 預備知識

首先,在正規化坐標下[1],條件(5)與(6)化為

(15)

為整理波分解公式，引入如下引理.

(16)

(17)

從而

(18)

下面引入波分解公式[9-11]. 令

wi=li(u)ux,βi=li(u)B(u),i=1,…,n.

(19)

由式(3),得

(20)

(21)

(22)

其中Fijk(u)=ρijk(u)+?λi(u)rk(u)δij.顯然

Fijj(u)≡0, ?j≠i.

(23)

在弱線性退化條件下,若u是正規化坐標,有

Fiii(uiei)≡0, ?i.

(24)

由方程組(1)及式(20)得

(25)

對式(25)關于x求導且由式(20),得

(26)

(27)

其中

(28)

從而

(29)

其中γijk(u)=(λj(u)-λk(u))li(u)?rk(u)rj(u)-λ′i(u)rj(u)δik.在弱線性退化條件下,若u是正規化坐標,有

γiii(uiei)≡0, ?i.

(30)

2 定理1的證明

不妨假設u=(ui,…,un)T是正規化坐標. 由C1解的局部適定性理論,為證明定理1,只需在C1解u=u(t,x)的任何存在區域上,建立u及ux的C0模一致先驗估計即可.

假設Goursat問題(1)及式(7)～(10)的C1解u=u(t,x)滿足

|u(t,x)|≤δ.

(31)

要得到u及ux的C0估計,只需對u和w建立C0模估計即可. 由式(2)知,存在足夠小的正常數δ1和δ2,使得

λi+1(u)-λi(u)≥δ1, ?|u|,|v|≤δ2,i=1,…,n-1.

(32)

對任意T>0,在解u(t,x)的存在區域D(T),令

要證明我們的結果,需要下面的引理,其證明見文獻[5].

引理2[5]設φ(1)=φ(1)(t,x),φ(2)=φ(2)(t,x)∈C1,分別滿足

φ(1)(t,x1(t))=g1(t),φ(1)(t,xn(t))=gn(t),φ(2)(t,x1(t))=y1(t),φ(2)(t,xn(t))=yn(t),

其中λ,μ∈C1且存在正常數δ0,使得μ(t,x)-λ(t,x)≥δ0, 則

應用引理2,得到QUU(T),QUW(T)及QWW(T)的估計.

引理3 存在正常數C>0,使得

(33)

證明對公式(22)應用引理2,得

其中φ(t),ψ(t)由式(7)定義,F=(F1,…,Fn) 由式(22)給出. 在正規化坐標u下,由弱線性退化條件,對式(24)由Hadamard公式,得

(34)

從而,有

C((1+U∞(T))QUW(T)+QUU(T)).

(35)

由式(13),得

(36)

對公式(27)應用引理2,得

(37)

其中H=(H1,…,Hn)由式(27)給出. 由式(19),得wi(t,x1(t))=li(u(t,x1(t)))ux(t,x1(t)), 再由式(1)及式(7),得

wi(t,x1(t))(λ1(u(t,x1(t))-λi(u(t,x1(t))))=li(φ(t))φ′(t)-li(φ(t))B(φ(t)),i≠1.

(38)

上式關于t在[0,+∞)積分,由式(12),(13)及引理1,得

(39)

(40)

又由式(27)～(28),得

C(QWW(T)+(1+U∞(T))QUW(T)),

(41)

從而

QWW(T)≤C(ε+QWW(T)+(1+U∞(T))QUW(T))2.

(42)

對式(22)和式(27),利用引理2,同理可得

結合式(31),(36)和(42),即證明引理3.

為證明C1解的整體存在性,只需證明如下命題.

(43)

(44)

當j≠i時,將式(32),(34)及(41)代入式(44),得

(45)

(46)

(47)

由式(30)及Hadamard公式,得

(48)

對式(38),由式式(11),式(31)～(32)及引理1,得

(49)

同理,得

|wi(t,xn(t))|≤CM,i=1,…,n-1.

(50)

將式(48)～(50)代入式(47),得

(51)

從而W∞(T)≤CM.

由式(12)、(13),得

(52)

‖ut‖C0≤C‖ux‖C0+C‖u‖C0≤CM.

定理1得證.