ATV模型的非線性多重網格法*

韓 粉， 楊奮林

(吉首大學數學與統計學院，416000，湖南省吉首市)

0 引 言

近年來，基于Lp范數的圖像去噪模型[1-3]因能避免階梯效應引起了眾多學者的興趣，此類模型算法的研究也成為了熱點.考慮到梯度模不能有效區分圖像邊緣與斜坡，Chen設計了基于差分曲率的自適應全變分(adaptive total variation,ATV)模型[4]，并用顯示梯度下降法求解此模型.顯示梯度下降法采用負梯度方向為下降方向，原理簡單且易于數值實現，但是由于算法的收斂需要的時間步長趨向于無窮小，導致了收斂速度緩慢.提高收斂速度的常見方法是對梯度下降方程采用隱式迭代或半隱式迭代.隱式梯度下降法能允許較大的時間步長且收斂速度快，但是算法的復雜度高.半隱式梯度下降法兼顧了顯示梯度下降法與隱式梯度下降法的優點，既能允許較大的時間步長又能較快收斂，然而，雖然該方法前幾次迭代誤差會快速衰減，但是到解的附近時誤差衰減緩慢.

為了加快ATV模型的求解速度，考慮到半隱式梯度下降法的收斂特點，擬用此方法設計光滑化方法，構造求解ATV模型的非線性多重網格法.

1 ATV模型

Chen設計的ATV模型[4]為

(1)

ATV模型不僅可以有效區分圖像的邊緣和陡峭的斜坡區域，而且能夠在圖像邊緣和平坦區域自適應地選擇合適的正則項，使得在有效去除噪聲的同時兼顧保持邊緣和避免階梯效應.

(1)式的Euler-Lagrange方程為

(2)

(3)

對(3)式的離散過程如下:

將圖像域Ω=[0,n]×[0,n]剖分成n×n個小網格，令h表示沿x與y方向的網格步長，

(4)

則(3)式的離散方程組為

λi,j(ui,j-zi,j)=0，

整理得

(5)

其中

(6)

邊界為

2.4 hsPDA組和nhsPDA組早產兒PDA導管直徑情況 對hsPDA組及nhsPDA組早產兒PDA導管直徑情況進行單因素分析：PDA導管直徑1.5～3 mm與hsPDA相關聯，兩組差異有統計學意義(P<0.05)。PDA導管直徑>3 mm與hsPDA無關聯，兩組差異無統計學意義(P>0.05)。見表4。

ui,0=ui,1,ui,n+1=ui,n,u0,j=u1,j,um+1,j=um,j.

(7)

記方程組(5)及邊界(7)為

Nhu=λhz.

(8)

2 非線性多重網格法求解

若令時間步長t=1/10 s，僅使用半隱式梯度下降法求解(8)式，則前幾次迭代誤差會快速減小，然而隨著迭代次數的增加，誤差下降速率越來越緩慢.如圖1所示，對像素為256×256、添加了標準差為10的噪聲分布模型的Lena圖使用半隱式梯度下降法后，第5次迭代相對誤差小于5×10-4.

圖1 Lena圖相對誤差下降曲線

非線性多重網格法被廣泛地用于處理橢圓型方程組，現已具備了堅實的數學理論基礎并在眾多領域中取得了成功[8-10].該方法由前光滑、粗網格校正和后光滑組成，其基本思想是:先在細網格上通過前光滑求出近似解和誤差，對誤差和殘量限制后進入套迭代，在最粗網格上求解殘量方程得到誤差，接著對誤差進行插值，校正近似解并進行后光滑從而得到最終解.

考慮到非線性多重網格法[5-7]的光滑化方法不需要精確求解(8)式，只需要粗略地求出近似解，使誤差經過幾次前光滑或后光滑充分光滑即可，因而我們可以利用半隱式梯度下降法的前幾次迭代誤差會快速衰減的特點設計光滑化方法，構造求解(8)式的非線性多重網格法.在用非線性多重網格法求解(8)式前，先對網格進行標準粗化，即令h→2h，得到一系列粗網格上的圖像域Ω2h,Ω4h,Ω8h,…,Ω2lh,l∈+.求解(8)式所用的網格間的轉移算子為逐點限制算子逐點插值算子以及文獻[11]中的full-weight限制算子與網格頂點的雙線性插值算子，記它們為與所用的光滑化方法如算法1所示.

算法1光滑化方法：uh←S(uh,zh,Dh,t,iter)

算法2非線性多重網格法：uh←NMG(uh,zh,Dh,k,β,t,v1,v2,iter)

3 數值實驗

選取像素為256×256的Cameraman圖、像素為512×512的Lena圖和Chili圖作為測試圖像檢測不動點迭代(FP)法、半隱式梯度下降(SGD)法和非線性多重網格(NM)法的去噪效果.實驗使用峰值信噪比(PSNR)和CPU計算時間定量分析這3種方法的性能，其中,PSNR越大表明去噪效果越好.

依次對Cameraman圖、Lena圖與Chili圖添加標準差為10、10、20的隨機噪聲后，噪聲圖像的PSNR分別為22.544 8 dB，21.011 7 dB與20.430 3 dB.為了保證實驗的公平性，合理的調整3種算法的參數使得每幅去噪后的圖像的PSNR達到最大值.

表1展示了FP法、SGD法和NM法的去噪后的PSNR與CPU計算時間.由表1可知，FP法與SGD法去噪后的圖像的PSNR相似，NM法的PSNR最大，約比SGD法的高1 dB；FP法的計算速度最慢，SGD法次之，NM法的計算速度最快，約為SGD法的2倍.

表1 3種算法去噪后的PSN和CPU計算時間

圖2展示了對3幅噪聲圖使用FP法、SGD法和NM法的去噪效果.由圖2可見，FP法與SGD法去噪后的圖像有少量噪聲殘留，而NM法去噪后的圖像更加清晰光滑.

(a) 原始圖 (b) 噪聲圖 (c) FP法 (d) SGD法 (e) NM法

4 結 語

利用半隱式梯度下降法前幾次迭代誤差會快速衰減的特點，設計了光滑化方法，構造了求解ATV模型的非線性多重網格法.通過與FP法和SGD法的對照實驗，表明新方法在去噪效果和收斂速度方面更好.為了進一步提高峰值信噪比和加快收斂速度，未來考慮從網格間轉移算子的角度改進非線性多重網格法.