高階中心對稱張量譜理論及應用*

許 娜, 王春燕

(①曲阜師范大學公共外語教學部;② 曲阜師范大學管理學院,276826,山東省日照市)

0 引 言

中心對稱矩陣和斜中心對稱矩陣在信息論、線性系統理論和數值分析中起著重要作用[1,2,6-8,14,15,20,22,24,26]. 關于中心對稱矩陣的理論及應用研究可追溯到19 世紀60 年代[19]. 20 世紀 80 年代,隨著大數據時代的來臨,大規模數椐分析及應用發展迅速,高階張量研究引起了越來越多科研工作者的研究興趣,具有特殊結構的高階張量已被廣泛應用于非線性動力系統,多項式優化及工程和科學計算等實際問題. 趙和楊[27]首次給出了高階中心對稱張量的定義,并討論了非負中心對稱張量的特征值性質[27]. 本文繼續對高階中心對稱張量的結構性質與譜理論展開研究,并將其應用到柯西張量的特征值計算等問題.

本文所探討的張量可以稱作超矩陣,即矩陣的元素有兩個下標,而超矩陣的下標有m個,其中m稱為這個超矩陣的階. 顯然,零階超矩陣即為標量,一階超矩陣即為向量,二階超矩陣即為矩陣. 首先,簡單回顧高階張量的一般定義及特征值等基本概念. 一個m階n維張量可以表示成A=(ai1i2…im),ai1i2…im,1≤ij≤n,1≤j≤m稱作張量A的元素. 其中aii…i,1≤i≤n為張量A的對角元,其余元素為A的非對角元. 如果

ai1i2…im∈,ij∈[n],j∈[m],

則張量A為一個實張量.

在本文中,只考慮實張量的情況. 如果元素ai1i2…im在其指標的任意排列下是不變的,則張量A稱為對稱張量.

定義1 假設一個m階n維實張量A=(ai1i2…im)滿足ai1i2…im=an-i1+1,n-i2+1,…,n-im+1,ij∈[n],j∈[m],則稱張量A為中心對稱張量. 如果ai1i2…im=-an-i1+1,n-i2+1,…,n-im+1,ij∈[n],j∈[m],則稱張量A為斜中心對稱的.

高階中心對稱張量和斜中心對稱張量屬于結構張量,結構張量的研究屬于多線性代數的范疇. 隨著人們對多線性代數研究的興趣日益濃厚,越來越多的結構矩陣被推廣到高階結構張量,并發現了許多新穎而有意義的結論,為多線性代數與運籌學,計算機科學等交叉學科的發展提供了理論依據.

本文主要結構分為5節. 第1節回顧了高階張量和多項式優化的一些基本定義及部分重要結論. 第2節證明了中心對稱張量和斜中心對稱張量的各種性質,例如中心對稱張量積的不變性、左逆張量和右逆張量的遺傳性等. 此外,還證明了高階張量為中心對稱或斜中心對稱結構的充要條件. 第3節討論了中心對稱張量和斜中心對稱張量的特征值性質. 特別地,對于二維與三維張量,證明了其H特征值總是具有對稱H特征向量或斜對稱H特征向量,并進一步證明了斜中心對稱張量的所有非零H特征值總是成對出現. 第4節對具有中心對稱結構的柯西張量展開研究,建立了中心對稱柯西張量可檢驗的充要條件. 還證明了中心對稱柯西張量的最大(最小)H特征值等價于一類低維的柯西張量的特征值,進而降低計算難度. 第5節總結本文主要內容并列舉了下一步的幾個研究方向.

1 預備知識

在本節中,回顧張量特征值及張量與多項式的關系等基本定義,包括張量積、H特征值和H特征向量的概念. 首先列舉常用的一些符號,假設n為一個整數,定義集合[n]=1,2,…,n. 全體m階n1×n2×…×nm維實(復)張量構成的全體記作n1×n2×…×nm(n1×n2×…×nm).

對于x∈n,定義xm為一個m階n維對稱秩1張量,它的元素滿足

(xm)i1i2…im=xi1xi2…xim,ij∈[n],j∈[m].

特別地,任意一個m階n維張量A在n空間中對應一個m次齊次多項式如果張量A為對稱張量,則相應的齊次多項式是唯一的. 當m=2時,該齊次多項式退化為二次型. 同樣的,n空間上的任意m次齊次多項式函數fA(x)也對應唯一的對稱張量.

接下來回顧張量乘積的概念.

定義2[3]設A∈n1×n2×…×n2,B∈n2×n3×…×nk+1并且m≥2,k≥1. 則AB乘積為元素滿足下列條件的(m-1)(k-1)+1階的張量C

其中i∈[n1],α1,α2,…,αm-1∈[n3]×…×[nk+1].

本文主要研究n1=n2=…=nk+1=n時的情況. 針對此特殊情形,邵等在文獻[17]給出了張量乘積的定義. 接下來,引入張量特征值的定義.

定義3 假設T=(ti1i2…im)為一個m階n維實張量. 如果存在一組(λ,x)∈×n{0}滿足

Txm-1=λx[m-1],

(1)

2中心對稱張量和斜中心對稱張量

本節主要研究高階中心對稱張量與斜中心對稱張量部分性質及特征值理論. 首先證明中心對稱張量的乘積不變性,即中心對稱張量與中心對稱張量的乘積仍然是中心對稱張量. 其次,提出了中心對稱張量或斜中心對稱張量的幾個充分必要條件. 最后證明了中心對稱張量和斜中心對稱張量的左逆和右逆的性質. 當階數等于2時,即中心對稱矩陣的性質和應用,請參閱文獻[7,8,14,15,20,22,24].

引理1 假設B是n×n階中心對稱矩陣,A是m階n維中心對稱張量,那么BA是m階n維中心對稱張量.

據此,根據定義1,得到BA是一個m階n維的中心對稱張量.

同理,可證明如下結論.

引理2 假設A和B如引理1所定義. 則AB是中心對稱張量.

證明由定義2以及A和B是中心對稱的,可得對任意i1,i2,…,im∈[n],有

因此,AB是一個中心對稱張量.

引理1與引理2給出了中心對稱張量與矩陣乘積的不變性,定理1證明了中心對稱張量乘積的不變性.

定理1 設A與B分別為m階n維和k階n維中心對稱張量,則AB是一個(m-1)(k-1)+1階n維中心對稱張量.

證明由定義2可知,對任意的

根據定理1,可得如下推論.

推論1 假設A與B如定理1所定義. 那么下述結論成立:

(ⅰ) 如果張量A是斜中心對稱的,張量B是中心對稱的,那么AB是斜中心對稱的;

(ⅱ) 如果張量A是中心對稱的,張量B是斜中心對稱的,那么當m是奇數時,AB是中心對稱的;當m是偶數時,AB是斜中心對稱的;

(ⅲ) 如果張量A和張量B都是斜中心對稱的,那么當m是偶數時,AB是中心對稱的;當m是奇數時,AB斜中心對稱的.

推論2 對任意有限個n維張量A1,A2,…,As,如果它們都是中心對稱張量,則乘積A1A2…As也是中心對稱張量.

定理2 設A=(ai1i2…im)是m階n維張量. 如果A是中心對稱張量,則ri=rn-i+1,i∈[n];如果A是斜中心對稱張量,則ri=-rn-i+1,i∈[n].

推論3 設張量A如定理2所定義,假設n為奇數. 如果A是斜中心對稱的,那么它至少存在一個非零元素且至少存在一個i∈[n]滿足ri=0.

下面研究中心對稱張量與斜中心對稱張量的充分必要條件. 首先,假設J是一個由jij=δin-j+1,1≤i,j≤n,組成的n×n的實矩陣,其中δin-j+1表示克羅內克符號,即有

定理3 設A是m階n維張量. 那么A是中心對稱的當且僅當JAJ=A;A是斜中心對稱的當且僅當JAJ=-A.

證明對任意的ij∈[n],j∈[m],由定義2可得

即,當且僅當JAJ=A時,A是中心對稱的. 同理可得第2個結論也成立.

很明顯JJ=I,其中I是n×n單位矩陣. 由于定義2中的張量積滿足結合律(見文獻 [17] 的定理1.1),故有如下結論.

定理4 設A是m階n維張量. 則當且僅當AJ=JA時,A是中心對稱張量;當且僅當AJ=-JA時,A是斜中心對稱張量.

設x=(x1,x2,…,xn)∈n. 那么Jx是通過將x的元素順序顛倒來得到一個向量. 如果Jx=x,我們說x是一個對稱向量,如果Jx=-x,則它是中心對稱的. 對任意給定的m階n維張量A=(ai1i2…im),它對應的齊次多項式可以表示為

定理5 設A為m階n維中心對稱張量. 對任意x∈n,有f(Jx)=f(x);如果A是斜對稱張量,那么f(Jx)=-f(x).

證明設y=Jx=(xn,xn-1,…,x2,x1),即yi=xn-i+1,i∈[n]. 如果A是中心對稱的,那么可知

(2)

當A是斜中心對稱的,則有

(3)

根據式(2)和式(3),結論成立.

假設A=(ai1i2…im)和B=(bi1i2…im)是兩個m階n維張量,A和B的 Hadamard 積定義為

A°B=(ai1i2…imbi1i2…im).

(4)

上式所得張量仍是m階n維的.

根據定義1和式(4),下面定理顯然成立.

定理6 已知m階n維張量A和B,則如下結論成立:

(ⅰ) 如果A和B都是中心對稱的,那么A°B是中心對稱的;

(ⅱ) 如果A和B都是斜中心對稱的,那么A°B是中心對稱的;

(ⅲ) 如果A是中心對稱的,B是斜中心對稱的,那么A°B是斜中心對稱的.

眾所周知,任何矩陣都可以分解為對稱矩陣和斜對稱矩陣的和. 類似地,有以下結論.

定理7 對于任意給定的m階n維張量A,它可以表示為一個中心對稱張量和一個斜中心對稱張量的和.

中心對稱矩陣的另一個重要性質是它的逆矩陣也是中心對稱的[22]. 因此,我們想知道一個中心對稱張量的逆是否為中心對稱的. 然而,張量的逆至今沒有明確定義. 但是,張量左逆和右逆的定義在文獻[3]中給出. 在下面的分析中,將研究左逆張量和右逆張量的中心對稱性質.

在文獻[3]中給出了張量的左逆和右逆的定義.

定義4[3]設A是一個m階n維張量,B是一個k階n維張量. 如果AB=I,那么A是B的一個m階左逆,B是A的一個k階右逆.

定理8 假設A=(ai1i2…im)是一個m階n維對角中心對稱張量. 則有下述結論成立:

(ⅰ)A有中心對稱左逆,當且僅當A有非零對角元素;

(ⅱ) 當m是偶數時,A有中心對稱右逆,當且僅當A有非零對角元素;

(ⅲ) 當m是奇數時,A有中心對稱右逆,當且僅當A所有對角元素都是正的.

證明(ⅰ) 根據定義4,A有中心對稱左逆,當且僅當存在k階n維實中心對稱張量B=(bi1i2…ik)滿足

BA=I.

(5)

(ⅱ)假設B=(bi1i2…ik)是k階n維中心對稱張量滿足

考慮AB的對角線元素,可以得到

(6)

這表明A有非零的對角元素.

定理9 設A是m階n維中心對稱張量. 如果A有2階n維實左逆,則該逆是唯一的且為中心對稱矩陣.

由A的中心對稱性可知B-1是中心對稱矩陣矩陣. 因為中心對稱矩陣的逆矩陣是中心對稱的(見文獻[22],命題6),可知B是中心對稱張量.

另一方面,假設A有另一個2階左逆C. 由此可得A=B-1I=C-1I,其中C-1是C的逆. 進而,(B-1-C-1)I=0.根據文獻[3]中引理 2.1可得B-1=C-1,所以B=C,結論成立.

根據定理9的證明,同理可得如下定理.

定理10 假設A是m階n維的中心對稱張量,其中m是偶數. 如果A有2階n維右逆,則該逆唯一且為中心對稱矩陣.

3 中心對稱張量和斜中心對稱張量的譜性質

本節針對高階中心對稱張量和斜中心對稱張量的H特征值和H特征向量的展開研究. 在文獻[22]中,作者證明了2×2階或3×3階中心對稱矩陣的所有特征向量都是對稱或斜對稱的. 但是,這一性質并不能推廣到4×4階矩陣的情形. 下面2個定理證明m階2維和m階3維中心對稱張量總是具有對稱H特征向量或斜對稱的H特征向量.

定理11 設A=(ai1i2…im)為m階2維的中心對稱張量,則

分別為張量A的對稱H特征值與斜對稱H特征值.

證明設e=(1,1)T,u=(1,-1)T. 由定義3及A中心對稱性可知

結論得證.

證明令x=(1,0,-1)T,由定義3可得

(7)

因為A是中心對稱張量,且m為偶數,故有

(Axm-1)3=-(Axm-1)1.

(8)

另一方面,

故

(Axm-1)2=0.

(9)

由式(7)～(9)可得λ為張量A的斜對稱H特征向量x對應的H特征值.

下面針對一般H特征值情形展開研究. 一方面,當H特征向量元素的順序顛倒時,它仍然是相對應的H特征向量. 另一方面,對于斜中心對稱張量,如果λ∈是斜中心對稱張量的H特征值,則-λ也是張量的H特征值,這意味著給定斜中心對稱張量的H特征值成對出現.

定理13 設A為m階n維中心對稱張量. 如果x∈n為張量A對應于H特征值λ的H特征向量,則Jx為張量A與λ相對應的H特征向量.

證明由定義及(1),可以得到Axm-1=λx[m-1].令x=(x1,x2,…,xn),則Jx=(xn,xn-1,…,x1). 對任意的i∈[n],可以得到

(10)

由上式可以得到Jx為張量A的對應于特征值λ的H特征向量.

同理可得到如下結論,證明過程與上述定理類似,故略去證明細節.

定理14 設A為m階n維斜對稱張量. 如果λ∈為張量A的對應于H特征向量x的H特征值,則-λ為張量A對應于H特征向量Jx的H特征值.

定理15設A=(ai1i2…im)為m階n維中心對稱張量. 對于張量A的所有H特征向量及對應的H特征值λ,其中dimker(λI-A)=1,則H特征向量是對稱或斜對稱特征向量.

證明假設x∈n為張量A的H特征值λ對應的H特征向量. 由定義3可得

Axm-1=λx[m-1].

(11)

因為A為中心對稱的,由定理3和式(11)可得JAJxm-1=λx[m-1].由上式可得

AJxm-1=λJx[m-1]=λ(Jx)[m-1].

(12)

此外,由定義1可得

對任意i∈[n]都成立,故

AJxm-1=A(Jx)m-1.

(13)

由式(12),式(13)可得A(Jx)m-1=λ(Jx)[m-1],這說明Jx是與特征值λ相對應的H特征向量. 根據dimker(λI-A)=1,可得Jx=ax,其中a為非零實常數,a也是矩陣J的特征值. 則a=±1. 因此,Jx=±x,這意味著x要么是對稱的,要么是斜對稱的.

4 中心對稱柯西張量及應用

本節擬將中心對稱張量應用于高階柯西張量,并詳述此類張量的特征值性質與計算. 首先證明了柯西張量為中心對稱張量的可檢驗的充分必要條件. 其次證明了不存在任何奇數維斜中心對稱柯西張量,當中心對稱柯西張量為偶數階時,對應于非零H特征值的所有H特征向量都是對稱的;當階數是奇數時,H特征向量的絕對向量是對稱的. 更多關于非負對稱張量的應用,請參閱文獻[27].

下面給出柯西張量的定義.

定義5[4]設c=(c1,c2,…,cn)∈n. 假設一個實張量C=(ci1i2…im)的元素滿足

(14)

則C被稱作m階n維柯西張量,向量c∈n稱為張量C的生成向量.

4.1 中心對稱柯西張量的充分必要條件

定理16 設C為m階n維柯西張量. 令c∈n為張量C的生成向量. 則張量C為中心對稱張量當且僅當c是對稱的,即Jc=c.

由定理16和定理3,可得下面結論.

推論4 假設C如式(14)定義的柯西張量. 則C為中心對稱張量當且僅當CJ=C,JC=C,其中J的定義見第3節.

下邊定理證明了偶數維柯西張量是斜中心對稱張量當且僅當它的生成向量是斜中心對稱的. 因為證明過程與定理16類似,此處省略.

定理17 設C為m階n維柯西張量且n為偶數. 則C為斜中心對稱張量當且僅當c為斜對稱向量,即Jc=-c,其中c∈n為張量C的生成向量.

定理18 設C為m階n維柯西張量. 令c=(c1,c2,…,cn)為C的生成向量. 假設C為中心對稱張量,則C的任意非零H特征值對應的H特征向量x∈n滿足當m為偶數時,x是對稱的;當m為奇數時,|x|為對稱的.

證明根據已知條件柯西張量C為中心對稱的,由定理16可得,生成向量c為對稱的. 設x為C的H特征向量,對應的非零H特征值為λ. 由定義3,對于任意i∈[n],可得

當m為偶數時,xi=xn-i+1,i∈[n],即x為對稱向量. 當m為奇數時,|xi|=|xn-i+1|,i∈[n],即|x|為對稱向量.

4.2 中心對稱柯西張量的最大(最小)H特征值

下面的引理將在后面的分析中起重要作用.

假設C為m階n維中心對稱柯西張量且m為偶數. 如果C所有的H特征值中最大(最小)值不等于零,由引理3和定理18可得

(15)

其中S?n為包含所有對稱向量的子集.

定理19 設C為m階n維中心對稱柯西張量,令m為偶數且n=2k,其中k∈為正整數. 假設c=(c1,c2,…,cn)為C的生成向量. 如果C的最大(最小)H特征值不等于0,則其中是由k生成的m階k維柯西張量.

證明首先,為了保持表示符號的簡便性,定義如下指標集

I0={(i1,i2,…,im)∈[n]m|i1,i2,…,im≤k},Ir={(i1,i2,…,im)∈[n]m},r∈[m],

其中r表示(i1,i2,…,im)中有r個指標在區間[k+1,n]中取值. 因為C為偶數階中心對稱張量,由定理18可得,對于所有的H特征向量是對稱的. 所以,對于任意的x∈S,‖x‖m=1,可得

(16)

定理20 設C是m階n維中心對稱柯西張量且m,n是偶數. 假設c=(c1,c2,…,cn)∈n,c>0是C的生成向量. 則其中為柯西張量的生成向量.

5 結 論

本文主要研究高階中心對稱張量和斜中心對稱張量的各種性質. 例如,張量積的不變性,張量左逆和右逆的遺傳性等. 其次,研究了H特征值的譜性質以及對中心對稱張量的H特征向量的估計. 最后,將中心對稱結構應用于高階柯西張量,證明了高階中心對稱柯西張量的最大(最小)H特征值可等價轉化為計算一個低維柯西張量一的H特征值.

然而,本文是對中心對稱張量的初步研究,尚存許多待研究的問題.

問題1中心對稱張量的正定性是怎樣的? 能否給出一些類似于文獻[1]中的矩陣情形下的充分條件?

問題2斜中心對稱柯西張量的H特征向量的性質是什么?

問題3近幾年,如引言所述,已經對各種結構的張量進行了研究[4,5,9-12,18,21,25],那么當中心對稱結構應用到那些結構的張量時能得到什么重要結論?