基于MATLAB的隨機性數學思維培養的探索與實踐

張清葉 尚邵陽

(1.河南工學院理學部;2.河南工學院非線性優化算法研究所 河南新鄉 453003)

中國科學院數學與系統科學研究院周川認為，數學的本質在于數學思維。數學思維是指在思考和解決問題的過程中，對數學思想、方法的合理運用能力，數學思維不僅是一種知識，還是一種能力[1-2]。前貴州大學校長陳叔平認為，數學是一套獨特的語言體系和思維方式，它讓人變得更明白一些，讓腦子更好使，條理更清晰，邏輯嚴謹，表述準確、簡潔，不妄下結論，不隨意批評，不去騙人，也不受騙。事實上，數學不僅是自然科學的基礎，也是重大技術創新的基礎，歷史上的科技創新無不與數學有關，其早已成為航空航天、國防安全、信息、能源、海洋等領域不可或缺的重要支撐?，F在的人工智能，更是離不開大數據和數理統計。

作為高校本科階段三大公共數學課之一的《概率論與數理統計》是唯一一門研究隨機性的課程[3]，其研究內容是我們日常生活中最常見、最有用的，影響了我們的認識論、方法論，甚至顛覆了我們的世界觀。從20世紀電子信息技術的迅速發展，到21世紀大數據時代的到來，幾乎所有的科學技術領域、工農業生產領域以及國民經濟的各個部門都有其理論和方法的應用，小到擲骰子、分賭本，大到地震預報、人口預測、火箭衛星的發射等。然而，在傳統教學中，受課時及課程定位的影響，概率論訓練的多是一些組合技巧，數理統計講的是一些標準方法。在題海和腦力游戲中，往往會讓學生學得很苦，感覺抽象、難學、無用，嚴重偏離了這門課程培養學生隨機性數學思維的初衷，不利于創新人才的培養。在此現實背景下，如何深刻理解概率論與數理統計的思想，進而培養學生的隨機性數學思維[4-5]是亟待解決的問題。

眾所周知，對隨機現象的研究是通過隨機試驗進行的，如著名的蒲豐投針試驗、高爾頓釘板試驗等。在傳統教學中融入數學實驗[6]，讓學生在折騰中去體驗數學的發現過程，在真實情景中感受知識的落地，勢必會激起他們的好奇心和創新意識，對培養其隨機性數學思維能力將會是一條行之有效的途徑。MATLAB是美國MathWorks 公司于20 世紀80 年代推出的一套以矩陣為基礎的高性能數值分析和計算軟件[7]，其將矩陣運算、數值分析、圖像處理、編程技術等結合在一起，為用戶提供了強有力的分析計算和程序設計工具，尤其是其可視化功能和各種工具箱受到絕大多數科技工作者的青睞。筆者在概率論與數理統計課程的教學過程中，利用對隨機現象研究的本原方法，即隨機試驗來研究概率進而解決問題，其中隨機試驗在MATLAB 平臺完成。這一做法極大地調動了學生學習的積極性，收到了很好的教學效果。下面分享筆者在教學中基于MATLAB的幾個案例，期待能夠拋磚引玉。

1 投硬幣實驗

問題：拋擲一枚均勻的硬幣，正面向上的概率為0.5。

實驗目的：驗證隨機事件的概率。

實驗設計：拋擲一枚均勻的硬幣，令Xi=1表示第i次拋得正面，Xi=0表示第i次拋得反面，則Xi服從兩點分布。由伯努利大數定律，伯努利試驗中隨機事件的頻率依概率收斂于其概率，可利用頻率來估計概率。將硬幣連續拋擲n次，若正面向上累計出現了k次，則頻率

MATLAB代碼：

反思與提高：

概率是事件本身的固有屬性，具有確切的數值。而頻率則與試驗次數和某次試驗的結果有關，具有不確定性。但頻率會隨著試驗次數的增多依概率收斂到事件的概率。為此，可通過增加試驗次數，一方面求概率更為準確的數值，另一方面驗證頻率的穩定性。改進后的MATLAB代碼如下：

運行此代碼后，返回，具體情況見圖1。不難發現，隨著試驗次數的增加，頻率逐漸穩定到事件“正面向上”的概率0.5。

圖1 拋硬幣實驗頻率的穩定性驗證

2 圓周率π的估算

問題：利用幾何概型估算圓周率π。

實驗目的：利用蒙特卡洛法計算圓周率。

實驗設計：在第一象限內畫單位正方形，即畫以坐標原點為左下角頂點、邊長為1的正方形，并以坐標原點為圓心，畫1/4單位圓周，具體見圖2，則

圖2 估算圓周率實驗設計

根據幾何概型，若在圖1所示的圖形上鋪滿芝麻，則落入1/4 圓內的芝麻粒數與落入正方形內的芝麻粒數之比應為π/4。意到這一事實，可在Matlab平臺上這樣設計實驗：在單位正方形內隨機投點，記所投點的總數為n，落入1/4 圓內的點的個數為k，則，從

MATLAB代碼：

3 三門問題

問題：三門問題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問題或蒙提霍爾悖論[8]，出自美國的電視游戲節目Let′s Make a Deal。節目進行到某個環節，參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇門的后面藏有一輛汽車，另外兩扇門的后面各藏有一只山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出一只山羊。緊接著主持人會問參賽者要不要換另一扇仍然關著的門，即換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的概率。

實驗目的：通過理性推理(計算概率)驗證直覺判斷是否可信。

實驗設計：此問題可以利用概率論的知識，通過設出事件，根據貝葉斯公式進行求解。這里介紹基于MATLAB 平臺，利用模擬的方法分別計算換門和不換門贏得汽車的頻率。注意到參賽者不知道車在哪扇門的后面，而節目主持人事先知道，并且主持人總是在剩下的兩扇門中打開后面藏有山羊的門。設共做了n=1000 次實驗，a、b分別為換門和不換門贏得汽車的次數，實驗前a=0，b=0。每次實驗開始時，車等可能的藏在每一扇門的后面且參賽者隨機的從三扇門中選擇其中一扇。若參賽者選中后面藏有汽車的門，則不換門可贏得汽，此時b增加1；若參賽者選擇的門后面沒有汽車，則換門可贏得汽車，此時a增加1。a/n，b/n分別為n次實驗換門和不換門贏得汽車的頻率。

MATLAB代碼：

運行代碼后，可得進行1 000 次實驗時，參賽者換門和不換門贏得汽車的頻率。若想求得概率，可通過增加每組實驗的實驗次數，如n=10 000,100 000等，并多做幾組實驗（可通過for循環實現），然后取每組實驗所得頻率的平均值來估計概率。

結果發現，換門贏得汽車的頻率是不換門贏得汽車頻率的2倍，即換門可增加贏得汽車的概率，參賽者應選擇換門，這與人們的直覺不太一致。

4 投資組合問題

隨著近年來我國資本市場的發展和證券交易規模的不斷擴大，越來越多的資金投資于證券市場，與此同時市場價格的波動也十分劇烈，如何選股并確定投資組合方案使得投資收益大且風險小一直是金融領域的熱門話題。由于股票價格具有隨機性，可看成服從隨機游走，從而處理這個問題不能直接用確定性的方法。以2020年第三屆中青杯全國大學生數學建模競賽的B題為例[9]，確定對附件給出的10支股票如何進行投資。

實驗目的：確定投資組合方案。

實驗設計：首先對附件給出的數據進行處理，若某只股票某天交易數據缺失，則將其他股票當天交易數據一并刪除。利用10 只股票的日收盤價采用算術平均計算其日收益率Rit,即第i只股票第t天的日收益率為Rit，令ri=E(Rit)表示第i只股票的平均收益率，Σ=(σij)10×10表示10只股票的協方差矩陣，其中σij=cov(ri，rj)，則根據馬科維茨投資組合理論，用投資組合的平均收益率來衡量收益，用投資組合的方差來衡量風險。設10 只股票的投資比例為xi(i=1，2，…，10)，則可得確定最優投資組合方案的均值方差模型如下。

其中，r0為預期收益的閾值，即投資者期望獲得的最小收益，通常要大于無風險利率。上述MV 模型為一個二次規劃問題，可以利用MATLAB 的quadprog 函數進行求解。

MATLAB代碼：

運行代碼后，可得到對應于不同收益率閾值的投資組合方案及相應的風險水平（均方差）。投資者可根據自己的投資偏好和風險承受能力來選擇相應的投資組合方案。

5 結語

大數據時代的到來，隨機性數學思維顯得比以往任何時候都更加重要，如何對繁雜、海量數據進行探索，找出其背后蘊含的規律是時代賦予我們的使命。作為高校在讀大學生，掌握隨機性數學思維的方法尤其重要。而概率論與數理統計課程作為唯一一門在大學期間研究隨機性的數學學科，教師應不斷改進教學模式，使之成為一門學生感興趣的、有用的學科。信息技術的發展，無疑給概率論與數理統計的實驗教學提供了極大便利。教師應讓學生在實驗中發現規律，在折騰中解決問題，逐步培養其隨機性數學思維能力、創造性解決問題的綜合能力和實踐能力。