單 墫
(南京師范大學數學科學學院,210023)
如圖1,過∠A內一定點P引直線與∠A的兩邊交于點B,C.
(1)當PB=PC時,?ABC面積最小;
(2)當BC邊外的旁切圓與BC切于點P時,?ABC周長最??;
(3)當AB=AC時,PB·PC最小.
劉國梁老師選了一批幾何極值問題,頗有趣.筆者做了與中學幾何有關的幾題,其中初中部分即以上3題.
證明(1)如圖2,對任一過點P的線取B′C′(點B′,C′分別在AB,AC的延長線上),則有∠BCC′>∠B,所以過點C在∠BCC′內作CD,使∠BCD=∠B(即CD∥AB).
設CD交PC′于點D,則由BP=PC,可得
?PBB′≌?PCD.
所以S?AB′C′>S?ABC.
(2)如圖3,設旁切圓分別切直線AB,AC于點E,F,則BP=BE,PC=CF,所以?ABC的周長等于AE+AF.
對另一?AB′C′(B′C′過點P且點B′,C′分別在AB,AC的延長線上),設B′C′交旁切圓于另一點Q.
所以B′E+C′F≤p+q+r.
所以?AB′C′周長=AB′+AC′+B′C′≥AB′+B′E+AC′+C′F=AE+AF=?ABC周長.
(3)如圖4,∠B=∠ACB>∠C′.
設⊙B′BC交B′C′于點D,則∠B′DC=∠B>∠C′,所以點D在線段PC′上.
所以PB·PC=B′P·PD