未知互耦影響下的多陣直接定位：基于子空間數據融合與降維搜索

張小飛，李寶寶，曾浩威，李建峰

（南京航空航天大學電子信息工程學院，南京 211106）

引 言

基于分布式天線陣列的多輻射源定位技術在雷達、醫療、通信、車聯網和物聯網等眾多工程領域都有著廣泛的應用［1?2］。傳統方法大多通過兩個獨立的步驟定位輻射源：首先分別處理各觀測站的原始接收信號，估計包含目標位置信息的中間參數，如波達方向（Direction of arrival，DOA）、波達時間（Time of arrival，TOA）、波達時間差（Time difference of arrival，TDOA）等［3?4］，并將所估計參數上傳到中心站；然后中心站根據幾何關系和測得的參數建立位置方程，解算輻射源位置［5?6］。此類方法原理簡單，對硬件設備計算能力和通信帶寬的要求都較低，工程應用比較成熟。但受自身體制限制，傳統兩步方法的定位精度和魯棒性都比較差［7］。由于此類方法獨立處理各個天線陣列的接收信號，損失了各陣列接收信號的相關信息。此外，在定位多個輻射源時，兩步方法還面臨著輻射源與測量參數之間的關聯問題，任何一個參數關聯錯誤，都會導致整體定位精度顯著下降，甚至定位失?。?］。為了克服這些缺陷，近年來學者們提出了一種新體制的直接定位（Direct position determination，DPD）技術［9］。該技術無需估計中間參數，直接聯合處理多個分布式觀測站的接收信號定位輻射源。由于利用了各觀測站接收信號的相關信息，避免了中間參數估計及配對過程，直接定位技術顯著提升了輻射源定位精度和魯棒性。

相比傳統的兩步定位技術，直接定位技術的缺點也比較突出。該技術在中心站融合處理各個分布式觀測站的接收信號，對系統的信號處理能力和通信帶寬都有很高的要求［10］，因此在提出之初發展緩慢。近年來，通信與計算機技術的快速發展逐步破除了以上制約條件，直接定位技術重新獲得了學者們廣泛關注，常規的DOA估計方法相繼被拓展為直接定位算法［11?13］?，F有直接定位算法普遍是針對理想陣列的，沒有考慮天線陣元的位置誤差、幅相誤差和陣元間互耦效應。但現實中的陣列必然要受到這些非理想因素的影響，在信號建模和算法設計過程中考慮這些因素可以有效提升算法的實際定位性能。文獻［14］指出非理想陣列導致的有偏位置估計與輻射源真實位置存在非線性關系，并提出了一種通過預先訓練的神經網絡來補償定位偏差的方案。對于互耦系數未知，也無法預先訓練神經網絡的場景，文獻［15］提出了一種基于稀疏貝葉斯學習的盲互耦直接定位算法。在此基礎上，文獻［16］提出了用于單個運動天線陣列的秩減盲互耦直接定位算法，進一步降低了計算復雜度。

本文研究應用于未知互耦影響下的分布式多天線陣列的輻射源直接定位算法。首先，本文將天線間互耦引入子空間數據融合（Subspace data fusion，SDF）算法模型，提出了高維搜索的子空間數據融合（Subspace data fusion with high dimensional search，HDS?SDF）算法。HDS?SDF算法同時搜索所有未知的互耦系數和輻射源位置，計算復雜度很高。為降低搜索維度，本文引入文獻［17］的降維（Reduced?dimension，RD）搜索思想，提出了只需要搜索輻射源位置的降互耦維度的子空間數據融合（Reduced mutual coupling dimension subspace data fusion，RMCD?SDF）算法。仿真結果表明，在互耦未知場景下，相比于傳統SDF算法、基于最小方差無畸變響應的DPD（DPD?minimum variance distortion?less response，DPD?MVDR）算法和傳統二步定位算法，RMCD?SDF算法具有更高的定位精度。此外，通過引入降維思想，RMCD?SDF算法同時還具有遠低于HDS?SDF算法的計算復雜度。

1 數據模型

考慮定位區域為如圖1所示的x?y二維平面，定位區域內有L個位置精確已知的觀測站，每個觀測站都裝有一個陣元間距為半波長的M元均勻線陣。假設定位區域內有Q個遠場輻射源發射互不相關的窄帶平穩信號，信號的中心波長為λ。分別用u l=[ul，x，ul，y]T(l=1，2，…，L)和v q=[v q，x，v q，y]T(q=1，2，…，Q)表示L個觀測站的位置坐標和Q個輻射源的位置坐標?；谧杂煽臻g傳播損耗模型［18］，并假設環境多徑效應影響可以忽略，輻射源信號到觀測站的時延只與視距有關，則第l個觀測站在t時刻接收到的信號復包絡x l(t)可以表示為［10］

圖1 分布式陣列聯合定位場景圖Fig.1 Distributed arrays location scene

式中：γq，l和ιq，l分別為從第q個輻射源到第l個觀測站的路徑衰落和時延。s?q(t)為第q個輻射源t時刻的發射信號，n l(t)為第l個觀測站接收的零均值高斯白噪聲。根據自由空間傳播損耗模型［18］，路徑衰落γq，l可以表示為

式中β為路徑損耗因子。耦合導向向量a?q，l可以拆分為分別與陣元間互耦和輻射源的位置相關的兩項

式中：C l為反映陣元間互耦效應的復數互耦矩陣。為與輻射源位置有關的陣列導向向量，d m，l=[d m，l，x，d m，l，y]T為陣元位置，k q，l為第q個輻射源到第l個觀測站的波數向量［10］

實際環境中，電磁波信號入射到天線陣元時會產生二次反射，從而導致了陣元間的互耦效應，此時每個陣元的輸出信號是該陣元入射信號與其他陣元反射信號的總和。根據文獻［19］可知，互耦強度與陣元間距成反比，且隨間距的增大快速下降，最終近似為0?；ヱ罹仃嘋 l是一個M階方陣，其第p行第q列元素C l p，q滿足如下條件［16］

式中：互耦向量c l=[1，cl，1，cl，2，cl，B]T是互耦矩陣C l的第1列；B為互耦自由度。顯然，互耦矩陣C l是一個帶狀拓普利茲矩陣，其中不同的非0元素且非1元素僅有B個?；ヱ钭杂啥菳是陣列的固有屬性，算法中取值過高或者過低都會降低定位性能，本文假設其先驗已知，實際中可以通過文獻［20］中的方法測得。

為表述方便，將式（1）中的累加用矩陣乘積形式表示，得到

式中sq，l(t)為第l個陣列處來自第q個輻射源的信號。

2 未知互耦影響下多陣列直接定位算法

首先，本文將互耦模型引入SDF算法［11］，推導了HDS?SDF算法。然后，考慮到HDS?SDF算法求解時需要高維網格搜索，本文引入降維搜索思想［17］，去除了對所有互耦系數的搜索，最終得到了RMCD?SDF算法。

2.1 高維搜索的子空間數據融合算法

第l個觀測站接收信號x l(t)的協方差矩陣可以表示為［11］

式中Rssl=E{s(t)sH(t)}為一個Q階對角矩陣，表示接收信號s l(t)的自相關矩陣。

實際中，協方差矩陣R l一般通過式（11）進行估計。

式中：X l=[x l(0)，x l(1)，…，x l(J-1)]；J為快拍數。

根據子空間分解理論，R l的列向量張成的線性空間可以分為信號子空間和噪聲子空間兩部分［11］

式中：為R l較大的Q個特征值構成的對角矩陣；信號子空間的列向量為對應的特征向量；為R l其余較小的（M-Q)個特征值構成的對角矩陣；為其余特征向量構成的噪聲子空間。信號子空

間和耦合陣列流形矩陣張成相同的線性空間，且和噪聲子空間相互正交，滿足

式中：T為一個Q階滿秩矩陣；0(M-Q)，Q為一個（M-Q)行Q列的全0矩陣?；赟DF算法模型，在譜函數中融合來自所有觀測站接收數據的噪聲子空間［11］，并考慮互耦矩陣，同時對輻射源位置和互耦系數進行網格搜索，得到HDS?SDF算法譜函數。

式中v為可能的輻射源位置。

根據上述HDS?SDF算法，譜函數可以在互耦系數未知的情況下通過網格搜索實現互耦系數和輻射源位置的估計。但是，HDS?SDF算法譜函數中共有（LB+2）個未知參數，實際中(LB+2)維的網格搜索復雜度過高，難以應用。

2.2 降互耦維度的子空間數據融合算法

為了提高算法的實用性，本節引入降維搜索思想［17］優化HDS?SDF譜函數，提出了RMCD?SDF譜函數，在保證算法性能的基礎上，避免了對LB個互耦系數的搜索，顯著降低了計算復雜度。

搜索位置v對應的第l個觀測站的耦合導向向量可以重寫為

式中B l(v)為M行(B+1)列的導向向量變換矩陣，可以拆分為兩個矩陣的和

將C l a l(v)=B l(v)c l代入式（16），HDS?SDF譜函數可以重新表示為

顯然，式（21）是L個二次型的疊加，當且僅當c1，c2，…，c L，v取得真實值時，每個二次型都為0，式（21）取得最小值。為消除平凡解，考慮添加約束其中(B+1)維列向量e=[1，0，…，0]T，式（21）中對應于第l個觀測站的部分可以寫作［17］

式中εl為拉格朗日乘子。令式（23）對c l偏導為0，有

可以推出

將式（25）代入式（21），得到RMCD?SDF算法譜函數為

顯然，RMCD?SDF算法譜函數只包含對輻射源位置的搜索，因此只需要搜索x和y兩個維度。

RMCD?SDF算法通過降維搜索，避免了沿著LB個互耦系數維度的搜索，顯著降低了計算復雜度。同時，對比式（16）和式（25）可以發現，RMCD?SDF算法譜函數本質是利用拉格朗日乘子法去除了互耦系數維度的搜索，先估計目標位置，然后通過式（25）求解各陣列互耦向量。因此，RMCD?SDF算法雖然不搜索任何一個互耦系數，但是仍然可以估計所有互耦系數。

2.3 算法主要步驟

RMCD?SDF算法的主要步驟總結如下：

（1）根據式（11）計算每個觀測站接收信號的協方差矩陣。

（2）根據式（12），計算每個觀測站對應的噪聲子空間。

（3）將搜索區域分為若干個二維網格，根據式（26）計算每個網格對應的RMCD?SDF算法譜函數值。

（4）尋找步驟（3）所得的RMCD?SDF算法譜中最大的Q個峰值對應的位置，即為輻射源定位結果。（5）將定位結果代入式（25），求解每個陣列對應的互耦向量。

3 性能分析

本節以復數乘法的次數作為評價標準，分析了本文提出算法的計算復雜度。HDS?SDF算法的復雜度主要取決于：式（11）中協方差矩陣的計算、式（12）中噪聲子空間的計算以及式（16）中譜函數的計算。3個步驟復雜度分別為LJM2、LM3和其中，αx、αy、αc分別表示x、y以及互耦系數維度的搜索網格數。綜上，HDS?SDF算法的計算復雜度為與HDS?SDF算法相比，RMCD?SDF算法的區別是其譜函數不同，不需要互耦維度的網格搜索，RMCD?SDF算法的計算復雜度為LJM2+LM3+αxαy L((B+1)3+(B+1)2(M-Q)+M(B+1)(M-Q))。此外，文獻［11］中的SDF計算復雜度為LJM2+LM3+αxαy L(M2(M-Q)+M2+M)，文獻［12］的DPD?MVDR算法所需復雜度為LJM2+LM3+αxαy L(M2+M)。兩步方法先使用降維多重信號分類（Reduce dimension multiple signal classification，RDMUSIC）算法［20］估計DOA參數，然后利用最小二乘算法［21］定位輻射源，最后基于最小描述長度（Minimum de?scription length，MDL）聚 類［22］去 除 定 位 偽 點 。RDMUSIC?LS的計算復雜度為LJM2+LM3+αθL((B+1)3+(B+1)2(M-Q)+M(B+1)(M-Q))，其中，αθ為沿著到達角方向的搜索網格數。圖2展示了HDS?SDF算法、DPD?MVDR算法、SDF算法、RDMUSIC?LS算法與RMCD?SDF算法的計算復雜度隨著單個陣列陣元數變化的 示 意 圖 ，其 中 ，L=4，J=500，Q=2，αx=αy=αc=100，αθ=1 800，B=2?？?以 看 出，由 于RMCD?SDF算法避免了沿著互耦系數維度的搜素，其復雜度遠低于HDS?SDF算法，與其他算法接近。此外，仿真證明，相比DPD?MVDR算法、SDF算法和RDMUSIC?最小二乘（Least square，LS）算法，本文算法具有更高的定位精度。

圖2 計算復雜度隨單個陣列陣元數變化Fig.2 Computational complexity versus the number of array sensors

RMCD?SDF算法的主要優勢為：

（1）相比于傳統二步定位算法，RMCD?SDF算法避免了帶來信息損失的中間參數估計及參數配對過程，因此定位和互耦系數估計精度更高。

（2）相比于傳統SDF算法和DPD?MVDR算法，RMCD?SDF算法在互耦未知場景下具有更高的定位精度，而且可以估計陣列互耦系數。

（3）相比HDS?SDF算法，RMCD?SDF算法引入了降維思想，在保證定位性能的前提下，避免了對多個互耦系數的搜索，顯著降低了計算復雜度。

4 仿真結果

本節通過數值仿真分析所提算法的性能，并與傳統算法進行對比，定義求根均方誤差（Root mean squares error，RMSE）作為誤差衡量標準，輻射源定位和互耦系數估計的RMSE分別記作RMSEv與RMSEc，表達式為

式中：為第m次試驗第q個輻射源位置的估計結果；為第m次試驗第l個陣列互耦向量的估計結果；Mc為蒙特卡羅仿真次數，本節仿真取蒙特卡羅仿真次數為500。

仿真1驗證互耦未知情況下本文RMCD?SDF算法的定位性能?？紤]Q=2個目標輻射源分別位于v1=［-600 m，600 m］T和v2=［200 m，500 m］T。L=4個觀測站分別位于u1=［-1 000 m，-500 m］T、u2=［-200 m，-500 m］T、u3=［100 m，-300 m］T和u4=［900 m，-700 m］T。取快拍數J=500，陣元數M=8，信噪比為10 d B，所有陣列的互耦向量相同，具體為互耦自由度B=2，互耦系數圖3為輻射源定位結果散點圖，表1為500次仿真的互耦系數估計誤差平均值?？梢钥闯?，本文的RMCD?SDF算法可以在陣列受到未知互耦影響時成功實現輻射源的高精度定位和互耦向量估計。

圖3 RMCD-SDF算法定位結果散點圖Fig.3 Scatter diagram of RMCD-SDF algo?rithm localization results

表1 互耦系數估計平均誤差Table 1 Average error of mutual coupling coefficient estimation

仿真2探究信噪比（Signal to noise ratio，SNR）變化對本文RMCD?SDF算法性能影響，并與文獻［11］中SDF算法、文獻［12］中DPD?MVDR算法、和兩種傳統兩步方法迭代降維多重信號分類（Iteration multiple signal classifica?tion，IRMUSIC）?LS算法和RDMUSIC?LS算法進行對比。其中，IRMUSIC?LS算法先使用IRMUSIC算法［23］估計DOA參數，然后利用最小二乘算法［21］定位輻射源，最后基于最小描述長度聚類［22］去除定位偽點。

考慮信噪比從0變化到20 d B，在保證輻射源到任一觀測站距離均滿足遠場，且任一輻射源不與4個觀測站在一條直線上的前提下，在-1 000 m

圖4 不同算法定位RMSE誤差隨SNR變化對比Fig.4 Localization RMSE error versus SNR of different algorithms

圖5 互耦估計RMSE誤差隨SNR變化對比Fig.5 RMSE error of mutual coupling estimation versus SNR of different algorithms

仿真3探究信噪比及互耦變化對本文RMCD?SDF算法性能影響?？紤]cl，1分別等于其余仿真參數與仿真2相同。圖6和圖7分別是不同互耦影響下的RMCD?SDF算法定位性能與SNR關系圖和互耦估計性能與SNR關系圖?？梢钥闯?，不同互耦影響下本文RMCD?SDF算法的定位性能和互耦估計性能均保持穩定，且隨SNR增加穩定下降。

圖6 不同互耦影響下定位RMSE誤差隨SNR變化對比Fig.6 Localization RMSE error versus SNR with different mutual couplings

圖7 不同互耦影響下互耦估計RMSE誤差隨SNR變化對比Fig.7 RMSE error of mutual coupling estimation versus SNR with different mutual couplings

5 結束語

本文研究了用于未知互耦影響下的分布式多天線陣列的輻射源直接定位算法。首先，本文將互耦誤差模型引入SDF算法模型，推導了同時搜索所有未知互耦系數和輻射源位置的HDS?SDF算法。接著，為了降低HDS?SDF算法中高維搜索導致的高計算復雜度，本文進一步引入了降維搜索思想，提出了只需要搜索輻射源二維位置的RMCD?SDF算法。復雜度分析結果表明，相比HDS?SDF算法，RMCD?SDF算法顯著降低了計算復雜度。蒙特卡羅仿真結果表明，與現有SDF算法、DPD?MVDR算法和二步定位算法相比，本文提出的RMCD?SDF計算復雜度接近，但是在未知互耦誤差影響的場景下具有更高的定位精度。