基于混沌與Wigner譜的探干一體化波形設計

陳義源，汪 飛，陳 軍，周建江

（1.南京航空航天大學雷達成像與微波光子教育部重點實驗室，南京 211106；2.南京信息工程大學電子與信息工程學院，南京 210044）

引 言

隨著無源探測系統技術的快速提升，雷達面臨的射頻暴露威脅不斷增大。射頻隱身波形設計是實現雷達射頻隱身的關鍵途徑。這類波形設計的實質是在滿足雷達性能需求和適應實戰任務條件的前提下，設計具有峰值輻射功率低、波形時域不確定性大的雷達發射波形［1］。其中，設計探測和干擾功能一體的發射波形是利用該波形的類干擾特性進行隱蔽探測，使敵方無源探測設備誤以為截獲的信號僅為干擾信號，因而具備優良的射頻隱身性能。

隨機信號與噪聲雷達信號是探干一體化波形的重要表現形式，國內外學者已開展大量研究。張勇等［2］利用單向耦合映象格子生成時空混沌二相序列作為雷達干擾機共享波形的相位編碼序列，所得波形具有優良的固有探測能力和干擾能力。Zhang等［3］對線性調頻（Linear frequency modulation，LFM）波形進行噪聲頻率調制，仿真驗證了所設計波形具備高距離分辨率和低旁瓣，同時對LFM脈沖壓縮雷達具有更好的干擾效力。楊丹丹等［4］對一般二相編碼波形進行噪聲相位調制，仿真結果表明所設計波形具備一定探測能力，且尤其對二相編碼波形具備更高的干擾效率。韓國璽等［5］提出一種基于混沌遺傳的探干一體化波形設計算法，分別以序列自相關旁瓣峰值和信息熵表征波形的探測和干擾性能，實例仿真表明所提算法能夠得到較短長度下的序列最優解。Yang等［6］研究了混沌雷達波形設計問題，首先在頻域利用混沌序列調制雷達信號群時延，再通過傅里葉反變換將雷達信號變化至時域，所設計混沌雷達信號具備超低副瓣，同時同相和正交分量的幅值均接近高斯噪聲。Kulpa等［7］提出一種格子濾波算法用于降低復高斯噪聲信號的距離旁瓣和多普勒頻移，所得噪聲雷達的波形兼顧類噪聲性能和目標探測能力。Tang等［8］聯合P4碼與Costas碼設計了一種混合波形編碼方法，有效提升了波形的復雜度和探測性能。張亮等［9］提出一種聯合相位編碼的步進頻率低截獲（Low probability of intercept，LPI）雷達信號，該波形可得到高于頻率步進信號的有效帶寬和距離分辨力。Fan等［10］結合P4碼和混沌序列頻率跳變設計一種射頻隱身波形，兼備良好的探測性能和射頻隱身性能。Luo等［11］提出一種混沌隨機多載波雷達波形，并分析驗證其具備良好的LPI性能和反電子對抗能力。Charles等［12］研究頻譜型隨機調頻波形設計問題，利用超高斯族譜作為譜密度模板，有效抑制了波形距離旁瓣，為噪聲雷達提供了良好的頻率捷變波形。

科學的射頻隱身表征參量是進行雷達射頻隱身波形設計研究的基礎。楊紅兵等［13］設計了一種基于噪聲調制的對稱三角LFM連續波雷達信號，截獲因子分析表明該信號射頻隱身性能優于常規脈沖多普勒雷達信號。Chen等［14］提出以備測波形與白噪聲之間的信息距離作為波形射頻隱身性能表征指標，仿真驗證該方法能夠有效區分常見LPI波形的射頻隱身性能。Wang等［15］利用識別理論研究跳頻波形參數的設計準則，推導了指定識別概率下截獲接收機的最大條件信息熵，用于度量所設計波形的抗分選識別性能。Shi等［16］提出一種最優正交頻分復用調制波形的設計策略，保證目標參數估計精度滿足需求的同時，最小化系統總輻射功率，輻射功率的合理分配能有效度量波形的射頻隱身性能。高超等［17］基于截獲接收機原理和LPI波形時頻特性構建一種瞬時時寬帶寬積射頻隱身表征因子，從而能夠比較出具有相同截獲因子的不同種類波形的射頻隱身性能。

為了進一步提升波形復雜度，本文將混沌理論引入探干一體化射頻隱身波形設計，提出了兩種復合混沌編碼方案。另外，現有波形設計方法缺乏對波形干擾性能的定量表征，因此本文將所設計波形與最優壓制干擾波形高斯白噪聲的信息距離作為干擾性能表征指標，該指標利用基于Wigner譜的KL距離計算所得。最后分別從理論和仿真的角度分析本文所提一體化波形探干性能的折衷關系。

1 探干一體化混沌編碼波形設計

混沌的基本特征包含以下兩點［18］：

（1）混沌系統的混沌現象是固有的。固有性質體現于系統表現出的復雜性不是在外界干擾下產生的，而是由系統的內隨機性決定，即僅由系統自身的因素決定。

（2）混沌系統具有確定性。確定性質體現于混沌系統是一個真實的物理系統，系統當前時刻出現的狀態由之前時刻的狀態決定，并且所有狀態可以完全重現，選擇相同的混沌系統參數即可。

Tent混沌序列由以下映射產生

式中：Tent混沌序列初始值x(1)∈[-0.5，0.5]；x(n)∈(-0.5，0.5]；A為自由參數，趨近于2。Tent離散混沌序列的值在吸引域內服從均勻分布，且序列相關性與自由參數取值和序列長度的關系較為穩定，本文以Tent混沌映射對雷達發射波形進行編碼，設計探干一體化波形。

1.1 混沌頻率編碼一體化波形信號模型

混沌頻率編碼是指混沌映射系統產生頻率編碼序列，以此序列對發射波形進行頻率調制，即對應一個編碼時間段內的信號頻率保持不變?；鶐Рㄐ蔚臅r域表達式為

混沌頻率編碼一體化波形的頻譜表達式為

混沌序列由動力學系統x f+1=T(x f)生成，其中T(?)為Tent映射函數。為了得到難以預估的混沌序列，假設給定初值x0得到一段長度為L+F的序列，取最后F個映射值作為混沌序列{x1，x2，…，x F}。接著，要對該序列進行處理，已知若頻率編碼序列出現重復值，使用該序列進行頻率編碼的波形脈沖壓縮結果會在目標位置外出現尖峰，不利于波形進行目標探測。為了避免編碼序列量化后出現重復值，對{x1，x2，…，x F}進 行 排 序，最 小 值 的索引值為0，最大值的索引值為F-1，以這樣的索引值作為新的頻率編碼序列?；诨煦缇幋a的一體化波形設計方案如圖1所示。

圖1 基于混沌序列的一體化波形編碼方案Fig.1 Integrated waveform coding scheme based on chaotic sequence

1.2 混沌相位編碼一體化波形信號模型

混沌相位編碼是指某一混沌映射產生相位編碼序列，以此序列對發射波形進行相位調制，即對應一個編碼時間段內的信號相位保持不變?；鶐Рㄐ蔚臅r域表達式為

混沌相位編碼一體化波形的頻譜表達式為

由式（1）得到混沌序列{x1，x2，…，x P}，接著進行量化處理，將序列值映射到可選相位集合，由于Tent混沌映射值x p∈(-0.5，0.5]，所以相位映射的表達式為

混沌相位編碼的一體化波形設計方案類似于圖1，其中的排序索引值映射更改為量化處理。

1.3 混沌復合編碼的一體化波形信號模型

1.1和1.2節分別給出了頻率編碼和相位編碼方式。本節分別提出兩種混沌復合編碼波形，分別是脈內頻率編碼/脈間相位編碼波形和脈內相位編碼/脈間頻率編碼波形。

根據式（2）和式（4），脈內頻率編碼/脈間相位編碼的復合編碼波形的時域表達式為

式中相位編碼碼元寬度與頻率編碼子脈寬的關系為T p=FT f，該類信號帶寬等于FΔf。

脈內頻率編碼/脈間相位編碼的復合編碼波形的頻域表達式為

式中fft（·）表示快速傅里葉變換運算，根據式（3）和式（6）可以得到Sfp(f)。

脈內相位編碼/脈間頻率編碼的復合編碼波形的時域表達式為

式中頻率編碼子脈寬與相位編碼碼元寬度的關系為T f=PT p，該類信號帶寬等于FΔf。

脈內相位編碼/脈間頻率編碼的復合編碼波形的頻域表達式為

根據式（3）和式（6）可以得到Spf(f)。

2 探干一體化波形性能表征

2.1 探測性能表征

模糊函數是波形設計與分析的有效工具，它能夠分析給定波形的分辨率、副瓣、多普勒和距離模糊度等特性，表達式為［19］

式中：s(t)為信號表達式；τ為相對參考目標的時延；ε為多普勒頻移。

模糊函數形狀由系統設計需求決定。通常，為了得到具備優良探測性能的波形，希望波形具有“圖釘狀”模糊函數。其主要特征為波形絕大部分能量集中于中心，其他的能量均勻分布于時延多普勒二維平面。模糊函數形狀越接近于“圖釘狀”，波形的距離和速度分辨力越優異。

2.2 干擾性能表征

高斯白噪聲被視為最優的壓制干擾信號。若探干一體化波形接近于高斯白噪聲，則其不僅可以干擾敵方電子設備，還能夠降低敵方無源探測設備的截獲信噪比，從而提升我方雷達的射頻隱身性能。本節將利用隨機矩陣與信息距離評估波形與高斯白噪聲的相似度。

假設離散高斯白噪聲的L個采樣值構成集合A={w(1)，w(2)，…，w(L)}，待評估波形的L個采樣值構成集合B={s(1)，s(2)，…，s(L)}，其統計特性由波形設計方法決定。通過計算高斯白噪聲樣本集合A和待評估波形樣本集合B之間的信息距離評估探干一體化波形的干擾性能，信息距離越小，波形與高斯白噪聲相似度越高，干擾性能越好。信息距離表達式為

式中：f(?)表示距離函數，用于量化集合間的相似度；g(?)表示特征函數，用于提取指定集合的特征。

（1）特征函數

設w m（m=1，2，…，M）為l維向量，表示為

式中：w m為多元高斯概率密度函數的樣本，均值為μw，協方差矩陣為R w。若提取待評估波形采樣集合B的特征，則s m為未知概率密度函數的樣本，概率密度的分布由波形設計方案決定。因為采樣值{w(n)，n=1，2，…，L}來自獨立同分布的隨機變量，所以協方差矩陣R w為主對角元素相等的對角矩陣。利用最大似然估計方法得到樣本{w(n)，n=1，2，…，L}有偏估計的均值和方差為

利用式（15）結果計算得歸一化后的樣本{wˉ(n)，n=1，2，…，L}表達式為得到向量w m歸一化后為

當M→∞時，wˉm是均值為0l×l，協方差矩陣為I l高斯概率密度函數的樣本，其樣本協方差矩陣為

式中：F W l(x)為矩陣W l的一維分布函數，定義為為集合Q的基；λk，k=1，2，…，l為標準化Wigner矩陣W l的特征值。式（19）為一固定函數，可視為高斯白噪聲的本質特征，因此，矩陣特征值的概率分布函數可為特征函數，根據式（19）推導W l的漸近譜累積分布函數F(x)為不 完 全Beta函 數

式 中：對 于 任 意 實 數P，Q>0，Beta函 數

（2）距離函數

由上述推導可知，特征函數g(?)為概率分布函數，距離函數f(?)應能夠度量高斯白噪聲集合A和待評估信號采樣集B產生的概率分布函數間的距離。

敵方截獲接收機接收到的信號通常為加噪信號，相較于僅研究探干一體化波形自身的干擾性能，研究其在噪聲環境下的干擾性能會更符合實際場景。記特征函數中高斯白噪聲集合推導所得標準Wigner矩陣的漸近譜積累分布函數P1(x)，待評估波形樣本集加噪后構造的Wigner矩陣的漸近譜累計分布式函數為P2(x)，P1(x)與P2(x)之間的KL距離為

式中p1(x)和p2(x)分別為P1(x)和P2(x)的概率密度函數。為了簡化式（21）的計算過程，此處利用概率積分變換，構建一個與{x(n)，n=1，2，…，l}等價的數據集{z(n)=F(x(n))，n=1，2，…，l}，其中F(x)為隨機變量x的真實概率分布函數，從而數據集{z(n)，n=1，2，…，l}所源自的隨機變量Z服從均勻分布U[0，1]，因此式（21）中被減項E(lg(p1(x)))為0。為了采用數值計算方法計算式（21），將區間[0，1]分割為K份，分割點記為uk（k=0，1，2，…，K），且滿足0=u0

式中：I(?)為指示函數。當K→∞時，?k>0，有|uk-uk-1|→0，此時KL距離為

當l→∞時，有QZ(u)→u，0≤u≤1，從而因此，待評估波形的KL距離近似為

3 仿真與結果分析

將脈內頻率編碼/脈間相位編碼的復合編碼波形稱為復合編碼方式一。仿真參數：16位頻率編碼序列為｛12 13 5 2 14 8 6 3 10 15 0 9 7 1 4 11｝和16位二相編碼序列｛0 0ππ0ππ0π0π0πππ0｝；頻率編碼子脈寬為0.1μs，即頻率跳變單位步長為10 MHz；相位編碼碼元寬度為1.6μs；采樣頻率設為5倍帶寬。脈內頻率編碼/脈間相位編碼一體化波形的時頻域圖如圖2所示。

圖2 脈內頻率編碼/脈間相位編碼一體化波形的時頻域圖Fig.2 Figures of both time domain and frequency domain of the integrated waveform with intra-pulse frequency cod?ing/inter-pulse phase coding

將脈內相位編碼/脈間頻率編碼的復合編碼波形稱為復合編碼方式二。仿真參數：16位二相編碼序列｛0 0ππ0ππ0π0π0πππ0｝和16位頻率編碼序列｛12 13 5 2 14 8 6 3 10 15 0 9 7 1 4 11｝；相位編碼碼元寬度為0.1μs；頻率編碼子脈寬為1.6μs，頻率跳變單位步長為子脈寬的倒數；采樣頻率為5倍帶寬。脈內相位編碼/脈間頻率編碼一體化波形的時頻域圖如圖3所示。

圖3 脈內相位編碼/脈間頻率編碼一體化波形的時頻域圖Fig.3 Figures of both time domain and frequency domain of the integrated waveform with intra-pulse phase coding/inter-pulse frequency coding

3.1 探測性能

探干一體化波形參數同圖2和圖3。圖4分別給出了4種混沌編碼波形的模糊函數圖。由模糊圖形狀可以發現，圖4（b）接近于圖4（c），而圖4（c）中副瓣的波動幅度更??；圖4（d）繼承了圖4（a）距離旁瓣低的優勢，并且多普勒域旁瓣得到了顯著的抑制。采用復合編碼方式的波形模糊函數更接近理想“圖釘狀”，有利于提升波形的探測性能。

表1對應于圖4給出的波形距離和速度模糊函數的主副瓣比。采用復合編碼方式一的波形相較于兩種單一編碼方式的波形在距離和速度分辨力均取得提升；采用復合編碼方式二的波形具有更優的距離分辨力。

表1 模糊函數參數Table 1 Ambiguity function parameters dB

圖4 一體化波形模糊函數圖Fig.4 Ambiguity functions of the integrated waveforms

3.2 干擾性能

引入4種射頻隱身波形作對比實驗，分別為：Tang等［8］提出的改進Costas?P4波形，張亮等［9］設計的高分辨率PCSF波形，Fan等［10］設計的CCBFM?P4波形，Luo等［11］設計的改進多載頻波形，以及最優壓制干擾信號高斯白噪聲。

對比波形集為｛混沌頻率編碼波形、混沌相位編碼波形、脈內頻率編碼/脈間相位編碼波形、脈內相位編碼/脈間頻率編碼波形、Tang等［8］所設計波形、張亮等［9］所設計波形、Fan等［10］所設計波形、Luo等［11］所設計波形、高斯白噪聲｝。其中，令KL距離計算中區間 的分割點數等于3；16位頻率編碼序列為｛12 13 5 2 14 8 6 3 10 15 0 9 7 1 4 11｝，32位二相編碼序列為｛1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1｝?π；16位頻率編碼波形的子脈寬為3.2μs；32位二相編碼波形的碼元寬度為1.6μs；采用第一種復合編碼方案的波形子脈寬設為0.1μs，對應相位碼元寬度為1.6μs；采用第二種復合編碼方案的波形碼元寬度設為0.1μs，對應頻率編碼子脈寬為3.2μs；對比波形的總脈寬均設置為51.2μs。進行100次蒙特卡羅實驗，仿真結果分別如表2和圖5所示。

圖5 不同信噪比下干擾性能對比圖Fig.5 Contrast figure of interference performance at different SNRs

表2 不同信噪比下的干擾性能評價指標值Table 2 Inter ference per formance evaluation index values at different SNRs

當信噪比取值增大時，對于所有波形（除高斯白噪聲），基于KL距離的干擾性能指標值增大，即波形類噪聲性能變差，截獲接收設備能夠從中獲得更多的信息，驗證了該指標的有效性。從指標值排序可以發現，波形干擾性能排序較為穩定，復合調制波形（Tang等、Fan等、Luo等、C1、C2）的干擾性能明顯優于單一調制波形（Zhang等、PC、FC），復合調制能夠增加波形的復雜度，有利于波形干擾性能的提升。第二種復合編碼波形表現出最優的干擾性能，可見脈內相位編碼/脈間頻率編碼方式能夠有效提升波形的類噪聲性能。高斯白噪聲作為最優的壓制干擾信號，其干擾性能表征指標均位于最低值，且與信噪比條件無關，經過100次蒙特卡羅實驗，其值圍繞定值0.027 4波動，驗證了干擾性能表征指標的有效性和魯棒性。另外，當信噪比超過2 d B時，混沌二相編碼波形的干擾性能指標趨于穩定，此時環境噪聲對波形的影響幾乎可忽略，二相編碼波形的干擾性能指標隨著信噪比的增大最早趨于穩定，體現其固有的良好抗干擾性能。

3.3 探干一體化波形性能折衷分析

雷達距離方程能夠定量描述雷達系統探測半徑、干擾半徑及其受干擾程度。當雷達平臺發射探干一體化波形進行目標探測、干擾時，不考慮系統損失、地球曲率、大氣衰減、無源雜波等影響，其最大探測距離方程為

式中：Rt為最大探測距離；Pt為輻射信號功率；Gt和Gr分別為發射天線和接收天線的增益；λ為探干一體化波形的波長；σ為目標散射截面積；N0為接收機內部的等效熱噪聲；(S/N)min為最小可檢測信噪比。

干擾距離方程為

式中：RJ為干擾距離；G'r(θ)為干擾目標接收天線在接收干擾方向上的增益；PJ為干擾目標接收的干擾信號功率；其余變量含義同式（25）。

進一步描述波形干擾功能，假設探干一體化波形從敵方雷達天線主瓣進入，由式（25）和式（26）推導出敵方雷達的自衛方程為

式中：Rs為敵方雷達受到探干一體化波形干擾時的最大探測距離；P't、G't、λ'、N'0分別為敵方雷達的輻射信號功率、發射天線增益、波長以及接收機內部熱噪聲；σ'為我方雷達的散射截面積；Pt、Gt、λ分別為我方雷達的輻射信號功率、發射天線增益以及波長；(S/J)min為敵方雷達能夠檢測到我方雷達的最小信干比。

由式（25）和式（27）可知，增大我方雷達探測距離、減小敵方雷達自衛距離的重要技術途徑為提高探干一體化波形的輻射功率。根據3.2節干擾性能仿真結果，隨著信噪比的提升，本文所設計波形的干擾性能呈下降趨勢，而此時雷達的探測距離、檢測概率等探測性能得以提升，因此，通過調整優化雷達輻射功率有利于平衡波形探測性能與干擾性能權衡關系。

針對脈內相位編碼/脈間頻率編碼探干一體化波形，圖6展示了一體化波形探測干擾性能的折衷關系示意圖。波形距離模糊函數旁瓣積分的倒數設為距離分辨力探測性能參量，波形速度模糊函數旁瓣積分的倒數設為速度分辨力探測性能參量，2.2節KL距離的倒數設為干擾性能參量，所以探測、干擾性能與所選參量呈正比。橫坐標信噪比反映了雷達輻射功率，場景一定時，隨著雷達輻射功率的提升，探測性能與干擾性能的變化趨勢相反，而后趨于平穩，變化趨勢與本節理論分析一致。

圖6 探測干擾性能折衷關系示意圖Fig.6 Figures of tradeoff relationship between detection performance and interference performance

4 結束語

探干一體化波形作為新形式的射頻隱身波形對提升作戰平臺射頻隱身性能具有重要意義?；煦缧蛄袃灹嫉南嚓P特性、初值敏感性、類噪聲性等性質使其適用于探干一體化波形設計。本文基于混沌編碼設計了4種探干一體化波形。仿真分析表明：復合編碼方式能同時提升波形的探測與干擾性能。同時，混沌序列易于生成且不重復，適用于MIMO雷達波形集設計，在未來的研究中，將著重于將探干一體化波形設計擴展至MIMO體制雷達系統。