初中數學習題的重構與再設計

闕 成 (江蘇省蘇州工業園區景城學校 215100)

1 問題提出

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》，文件明確要求減輕義務教育階段學生過重作業負擔和校外培訓負擔.其中減輕學生作業負擔的關鍵是提高作業質量.因此，研究“雙減”背景下的作業設計勢在必行.

在實際教學過程中，筆者發現學生在每日作業中產生的很多錯誤都對應著單一的知識點.在作業的講評過程中，由于時間有限，教師很容易“就題論題”，脫離知識點產生和應用的情境.這樣，學生在訂正和復習過程中依然無法逃離碎片化知識的反復記憶與機械練習，教師也會陷入到重復講解的困境中.長此以往，很難使學生從知識間的聯系出發理解所學內容，也無法真正做到“減負提質”.

因此，本文從“二元一次方程組”課后作業的兩道易錯題出發，根據考查目標的不同，闡述習題重構的設計思路和實施流程，并結合實際教學效果進行調整，做到“教、學、做合一”.希望能借此提升學生在課前、課堂、課后的學習效率，在減輕學生作業負擔的同時，達到“學科育人”的目的.

2 習題的重構與再設計

下文中的兩道習題來自蘇科版數學七下10.2節“二元一次方程組”對應的課后作業，一題為概念題，一題為開放型問題.學生在完成過程中都出現了不少錯誤與困惑.筆者根據學生情況與教學目標的不同進行再設計，將其分別以課前作業、課堂作業的形式呈現，提升這兩道題的育人價值.

2.1 課前作業的思考與設計

·題目呈現

下列方程組中，屬于二元一次方程組的是( ).

·題目反思

·課前作業設計

請結合上一節課學習的內容、課本新課的預習、課外資料的查找、同學間交流，判斷下列方程組是否是二元一次方程組：

G.口袋中有x個紅球、y個白球，共10個球，可建立方程x+y=10；班級里有x名男生、y名女生，共40名學生，可建立方程x+y=40.將兩方程聯立所得的方程組.

·設計思路

該課前作業從小型化、精準化、過程化、梯度化四個角度進行設計，思路如圖1.

圖1

①小型化

課前作業的設計初衷是幫助學生提前為新課做好準備，提高上課效率，從而減輕掌握知識的困難.這就意味著其本身不能加重學生的學習負擔，因此，該作業就必須是小型的，能夠在10分鐘內完成.本例中，需要學生提前預習的切口很小，就是課本“二元一次方程組”的判定.

②精準化

為了使課前作業更為有效，需要給學生提出具體明確的任務.本例中的7種情況，相對于書本的描述性定義，給學生提供了更豐富的資源去探究.并且每種情況對應一個需要注意的點：選項A—方程的次數為1；選項B—方程組中未知數的數量不能超過2個；選項C—必須是整式方程；選項D—方程組中不是每個方程都必須含有兩個未知數；選項E—是選項D的更特殊的情況；選項F—可以超過兩個方程聯立；選項G—各方程中的每個字母必須代表同一數量才能聯立.學生在判斷的過程中可以清楚地體會出自己通過預習已掌握或仍模糊的點.

③過程化

課前作業并不是獨立存在的作業，它需要與之前學過的內容關聯，并指向未來將要學習的內容，起到承上啟下的作用.本題的選項A～C在上一節課“二元一次方程”中就有所涉及，在完成的過程中要求學生回顧上節課的內容，可以起到復習的功能.同時，需要學生利用舊知解決新問題，鍛煉了學生的應用意識，幫助學生構建起知識體系，也為之后研究“三元一次方程組”等其他問題打下基礎.

本題的選項D～G是學生用已有知識比較難以判斷的情況，這也激發了學生探究的興趣.部分學生能夠通過對定義的深刻理解、同學間討論、課外資料的查找解決其中部分或全部問題.這個過程進一步培養了學生的探究精神和良好的學習習慣.實際作業中，鼓勵學生利用網絡進行資料查找，這符合2022版新課標[1]對于“利用信息技術，豐富學習資源.在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養”的要求.

即使學生在完成作業過程中無法判斷部分情況，這也使得這部分學生可以帶著疑問進入新課課堂，更容易投入到新課學習中.

④梯度化

本例中的作業雖然以小型化作為目標，但依然有很明顯的梯度設置.選項A～C著重基礎性，學生上手比較容易；選項D～G有一定拓展性，在規定的10分鐘時間內可能有一部分學生無法完成.這保證了所有學生都對新課有一定的準備，同時讓部分學生進一步挖掘，在過程中體驗成就感與解決問題的滿足感.

2.2 課堂作業的思考與設計

·題目呈現

·題目反思

我們現在解二元一次方程組主要靠的是列舉兩個方程的解，尋找公共解(當時并未開始學解二元一次方程組).但是列舉的話會不會出現遺漏？因為每一個二元一次方程都有無數個解.所以說兩個二元一次方程聯立在一起可不可能出現多個解？可不可能無解？如果這兩個猜想成立，就和兩條直線的交點情況非常相似了.

這位學生的疑問和猜想，實際上就非常好地將二元一次方程組解的情況與兩直線的交點情況進行了類比，結合了“二元一次方程組的解”中的基礎知識、基本活動經驗，發現、提出、分析、解決新問題.這也是課標對學生“四能”的要求.如果能將其設計為概念教學后的課堂作業，可以讓學生的數學能力在已有經驗的基礎上生長，經歷假設再到驗證的過程，加深學生對知識的理解.

·課堂作業設計

(教師介紹完“二元一次方程組的解”的概念后)

(1)請同學們回憶已學過的知識，并試著畫示意圖填寫表1中左邊的部分：

表1

附學生完成的課堂作業如表2：

表2

·設計思路

該課堂作業從生長性、過程性、階梯性、方法性四個角度進行設計.

①生長性

本例中的作業設計，首先請學生回憶兩直線交點的情況，啟發學生進行類比猜想，結合二元一次方程組的知識進行歸納.這不僅構建了數學知識之間的聯系，也是對數學問題研究路徑的自發重走.學生在填寫表格的過程中自然能夠體會數學不僅是知識間的關聯，能感受到分類討論的研究方法也是有共通之處的.然后，再將研究成果指向具體問題的解決，學生就會關注到兩方程間的關系.借此，學生不僅很好地操練了基礎知識和基本技能，更積累了數學基本活動經驗，核心素養得以生長.

②過程性

本例的作業設計并不是與課堂教學內容割裂的，而是融入在新知識的講授中，幫助知識與技能的生成.同時，在課堂實際布置中也不是讓學生在固定時間從頭填到尾，它需要教師將其拆分，幫助學生更好地體驗其中的過程.比如在“兩直線交點情況”部分填寫完后，就需要給學生對照新學內容思考的時間.在方程組的舉例部分，也要鼓勵學生在組內分享，盡可能選取更具代表性的方程組.最后，在表格完成后，需要學生在班內進行分享，互相點評是否有錯誤或亮點.

在這一過程中，教師要在學生間積極走動，關注學生的投入情況.對于無法融入討論或進展受阻的學生，應給予“支架”幫助.

③階梯性

這一課堂作業的圓滿完成，不僅需要學生對之前已學幾何內容有比較清晰的記憶、對新知識有比較深刻的認識，同時也對探究問題的方法和能力有一定的要求.所以設計作業以及輔導作業的過程中，教師需要注意梯度的設置.

對于能力不足的學生，要給予一定數量的“支架”幫助其回憶舊知、應用新知，甚至可以給出“方程組解的情況”的分類標準，幫助其獲得解決問題的成就感.對于知識掌握扎實、有一定探究經驗的學生，可以鼓勵其探究如何舉出更具代表性的例子.另外，在完成表格的基礎上，再次回顧這兩個問題的探究方式，尋找其他類似的情境，讓學生進一步體會數學思想方法的延續性.

④方法性

課堂作業的設計不僅是為了鞏固新知，也是在探究中讓學生不斷體驗提出問題、觀察思考、合情猜想、推理驗證、解決問題的過程.只有不斷讓學生主動去經歷這樣的過程，才能真正使學生獲得理性思維和科學精神，做到用數學的思維去思考.

比如，有學生將表格中的討論方式發散到一元一次不等式組解集的情況，生成表3：

表3

這道課堂作業的設計可歸結為圖2.

圖2 “二元一次方程組的解”課堂作業設計

3 關于作業資源有效利用的思考

筆者認為數學作業資源的有效利用比新資源的開發更為重要.如果僅僅是把作業“丟”給學生，不結合學情進行調整與設計，那再高質量的題目也起不到“減負提質”的“雙減”要求.

數學作業是學生開展自主學習活動的重要載體，經歷這一過程，學生能夠收獲自主學習數學的意識和能力.教師也可以促進學生成為自主學習者.同時，數學作業承載著學科特殊的育人功能，指向數學核心素養的培育，指向綜合能力的發展.如果在設計中能以數學學科知識為基礎，以學習方式和教學方式為抓手，以思維發展為內在本質，就能指向數學核心素養(圖3).

圖3

因此，學生作業資源可以根據學生情況、教學目標的不同進行重新設計，在課前、課中、課后發揮它們的價值，并在教學活動中不斷改進、更新，真正做到“教學做合一”(圖4).

圖4