2021年新高考數學I卷第20題學生答題分析與教學思考

趙雪鵬 (西安交通大學蘇州附屬中學 215028)

2021年新高考數學I卷第20題是一道立體幾何題，難度適中，屬于常規題.最近筆者所帶的兩個班級(高二年級比較好的兩個理科班，學生的理解能力和運算能力較好)已經學完了空間向量這一章節，在復習課上，限時15分鐘在這兩個班級做了本道試題.但是學生普遍做得不理想，不少學生得分低，出現了很多出乎意料的錯誤.通過對學生答題情況進行細致的分析，筆者對學生的常見錯誤進行了歸納總結，并提出了若干想法.

1 試題賞析

(2021年全國新高考I卷第20題)如圖1，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點.

圖1

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

本題是一道立體幾何題，以常見的三棱錐為模型，主要考查了面面垂直的性質定理、二面角及三棱錐的體積運算，試題背景常見，而且問題呈現的形式也比較常規，主要指向對空間幾何的立體感及數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.

2 學生答題情況

2.1 第(1)題答題情況

第(1)題主要考查面面垂直的性質定理，指向學生的空間立體感及邏輯推理能力.該題的常規做法是通過面面垂直的性質定理得到線面垂直，然后再通過線面垂直的性質定理得到線線垂直.具體做法如下：因為AB=AD，O為BD中點，所以AO⊥BD.因為平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，因此AO⊥平面BCD.因為CD?平面BCD，所以AO⊥CD.

第(1)題屬于容易題，學生應該能做出來，但從批改的情況來看，該小題還是出現了以下一些典型的錯誤：

(1)在用面面垂直和線面垂直的性質定理時漏條件.在用面面垂直的性質定理時，很多學生漏掉了平面ABD∩平面BCD=BD和AO?平面ABD這兩個條件；在用線面垂直的性質定理時，很多學生漏掉了CD?平面BCD這一條件.更有甚者，沒有出現AO⊥BD和平面ABD⊥平面BCD這一關鍵條件，導致不必要的丟分.

(2)審題不清.學生審題不細心，答題不細致，丟了一些冤枉分.例如，第(1)題證明OA⊥CD，但有些學生看成了OA⊥OC；同樣，由面面垂直的性質定理應該得到OA⊥面BCD，但有些學生誤寫成OA⊥面ABD.諸如此類的低級錯誤比比皆是，因此而丟分，實在可惜.

(3)還有的學生由于不理解面面垂直這一條件，亂寫一通.首先得到AO⊥BD，然后默認為AO⊥OC，緊接著由線面垂直的判定定理得到線面垂直，進而得到線線垂直，這樣的學生還不占少數.這類情況凸顯出學生對試題的不理解，沒有領會命題意圖，對已學知識的掌握還不夠熟練.

從以上這幾種典型的錯誤可以看出，學生對所學知識掌握得不扎實，沒有做到理解性地學習.例如，犯第(1)種類型的錯誤的學生，不理解面面垂直的含義，只是機械性地去背面面垂直的性質定理的條件，根據艾賓浩斯遺忘曲線的規律，很快會忘記，所以在答題時漏這漏那.同樣，對于第(3)種錯誤，受所給圖形的誤導，默認為OA⊥OC，這是典型的條理不清晰.

2.2 第(2)題答題情況

第(2)題主要考查二面角及三棱錐的體積，指向學生的直觀想象和數學運算能力.學生主要有兩種解法，一種是綜合演繹法，一種是向量坐標法.具體解法如下：

圖2

方法2 (向量坐標法)第(2)題大部分學生使用向量坐標法，也是高中數學解決立體幾何線面角和二面角等問題的常見方法.由于題中沒有給出坐標系，要求學生自己先建系，每個人的建系有所不同，因此第(2)題的向量法解析不再陳述了，主要列舉第(2)題解答中出現的一些問題.一些學生沒有在解答過程中交代建系的過程，也沒有在圖中畫出坐標系，作答過程極其隨意；部分學生作答時缺乏邏輯性，例如，在求面EBC的法向量時，寫出點E,B,C的坐標后，并沒有接著寫出向量EB,EC或BC的坐標形式，直接得到等式并求出法向量，導致解答過程不嚴謹；計算錯誤也是該方法中的一個常見問題，例如，部分學生寫的方程組是對的，但法向量求錯了，更有甚者，點C的坐標就求錯了，導致本小題幾乎不得分.諸如此類的錯誤讓筆者感到觸目驚心，本題本應是一道簡單的送分題，硬被某些學生變成了“送命題”.因此，學生的學習方式急需調整.

3 教學建議

數學學科考試以數學基礎知識為思維材料和操作對象，考查學生各方面已經得到發展的數學核心素養.在平時的教學過程中，教師要以數學的核心素養為導向進行有效的復習.

3.1 強化基礎知識和基本方法

在平時的教學過程中，一定要以教材為依托，對照數學課程標準的學習要求，教學過程中穩扎穩打，講透每一個知識點，切忌囫圇吞棗，不能讓學生有云里霧里的感覺.對于一些重要的知識點，要反復強調，從最基礎的題目抓起，通過題目強化學生對知識的理解.對于一些難度較大的題目，要引導學生從一些關鍵點上去打開缺口，引導優秀的學生自己去鉆研，切不可過分提高要求.

對于數學中的一些基礎知識和基本方法，記憶是一方面，更重要的是理解.俗話說“好記性不如爛筆頭”，這句話稍微改編一下，變為“好記性不如知識理解”，那么學生的學習效果將更好.例如，學生在學習面面垂直的性質定理時，通過實物演示去理解這個過程，那么會更容易地記住這四個條件，無論過多長時間都能記住.因此，理解基礎知識和基本方法顯得尤為重要，也暗示著在平時的教學復習過程中不能一味地刷題，更要重視知識的形成過程.

同時，對于基礎知識和基本方法的訓練不應該只是簡單的重復和片面的記憶，而要通過整理、歸納和總結，多方面地去認識每個數學知識及它們之間的聯系.通過分類、整理，逐步形成一個條理化、有序化、網絡化的知識結構體系，以便在解題時，準確依據給定的信息，快速尋求解題途徑，優化答題過程，最終在考試過程中對基礎知識的理解和基本方法的運用胸有成竹[1].

3.2 注意解題的規范性與完整性

數學解題應包含審題、語言表達、作答規范三個方面.

·審題規范

認真審題對正確解題而言至關重要，審題是對試題進行分析、尋找有用信息以及探求正確的解題思路的過程.審題過程包括弄清楚題干條件及問題、分析題干條件和問題之間的關系、找出正確的解題方法等三部分.

(1)分析題干中的條件和問題

(2)分析條件與目標的聯系

正確地解決一道試題，只分析條件或問題是遠遠不夠的，常常需要將條件和問題聯系在一起，尋找二者之間的內在聯系，進而去聯想與其相關的必備知識，逐一嘗試，即可順利解決本題.例如，2021年新高考I卷第19題，如果學生將題干的三等分點和問題結合在一起分析，就能想到互為補角的兩個角的余弦值互為相反數，那么就會想到在兩個三角形中對這兩個角分別用余弦定理，可以得到三角形邊的等式關系，進而解決本題.

(3)確定解題思路

一道試題的條件與問題之間必然存在著一系列的關聯，這些聯系是順利解題的關鍵.然而用哪些關聯去解題，需要根據這些聯系背后的數學知識和其所遵循的數學原理來確定.對某些題目而言，這種聯系比較隱蔽，只有通過認真的分析才能發現；而有些試題的條件和問題之間的聯系有多種，這也是一題多解的原因所在[1].

·語言敘述規范

數學作為一門理科學科，有其嚴謹性和條理性.因此，教師在平時的教學(特別是新授課的教學)和學生在平時的學習中要板書清晰和答題規范，不可隨意漏步驟和答題混亂.平時的閱卷過程中要看語言敘述是否到位.因此，學生的答題步驟應清楚、正確、完整，詳略得當，言必有據.

·作答規范

進入高中，考試對于學生而言是再正常不過的事情，但是一到考試，學生多少會有點緊張，這時很容易犯一些低級的錯誤，而自己還不自知.例如，在本道試題第(1)題證明中學生所犯的錯誤.學生的作答要準確、簡潔、全面，既要注意結果的驗證、取舍，又要注意答案的完整，要做到審清題目的目標，按目標作答.

3.3 提高學生的計算能力

數學運算作為數學六大核心素養之一，滲透在數學考卷的各個方面.現在的數學考試主要考學生的“想”和“算”，而“算”的準確性是學生能拿到基本分的關鍵，顯得尤為重要.本道試題的第(2)題，用向量法做題時，有的學生一開始就把點C的坐標求錯，往下的過程雖然全對，但一分不得，這樣的錯誤非?？上?因此，提高學生的數學運算能力顯得尤為重要.要想提高運算能力，一方面需要通過限時的練習來提高做基礎題的速度，另一方面要提高運算的準確率.提高運算能力不僅要細心，更需要思考，且“思”要在“算”的前面.通過思考，明確運算的方向，能對運算的結果有一定的預見性.平時的教學過程中一定要重視學生的計算，涉及到計算問題，例如概率統計、空間向量求二面角和解析幾何等計算量大的題目，務必讓學生去算，甚至課堂上專門拿出時間讓學生去做，這是劃得來的.通過比較不同的算法，提高數學運算的速度和準確率.

3.4 注意答題細節，養成好的答題習慣

平常數學考試的閱卷過程中經常反饋出來的信息是：難題大家幾乎都拿不到分，而簡單題、送分題也有很多人得不到分.究其原因，主要是答題習慣差、書寫不注意細節.

對于學生做題過程中的主要問題，筆者作了如下的梳理，以備今后教學中注意.

(1)字不必要漂亮，但必須清晰有條理

平時教學中，有教師強調卷面整潔、字體漂亮可以贏得閱卷老師好感，多得分.于是有的學生便刻意而為，字體力求漂亮.其實，在考試緊張的狀態下，過分關注字體漂亮，勢必會影響答題的速度.因此，遵循“慢思考、快答卷、字跡清”才是更可行的準則.所以，字不必要漂亮，但要一目了然，答題過程要清晰有條理.

(2)答題過程不必要詳細，但要突出重點步驟，盡可能覆蓋“得分點”

任何考試的閱卷基本原則之一是“看點給分”，這就要求考生能盡量清晰有條理地把必要的知識點、關鍵步驟寫出來.在閱卷過程中，不少學生不著邊際地亂寫一通，但沒有得分點，因此勞而無功，白白浪費了寶貴的時間.

在平時的學習過程中，教師和學生要經常性地反思自己的教學和學習方式，在反思過程中，不斷地對自己不合理的教學和學習行為進行批判，督促自己不斷地學習進步，成就最好的自己.