再探2022年的中考數學文化試題*

羅 偉 (江蘇省徐州市第二十四中學 221004)

呂中學 (江蘇師范大學數學與統計學院 221116)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出，課程內容的選擇要關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化[1]2.對于優秀的外國傳統文化，也可以借鑒吸收.對于試題的命制，《課標2022》指出，可以設計合理的生活情境、數學情境和科學情境，適當引入數學文化[1]92.文[2]對2021年中考數學文化試題從基本數學思想、中國古代名著、經典成語故事、趣味數學拼圖、著名文化遺產、國際數學視野進行了賞析，本文擬從數學史書、數學名人、數學游戲、數學應用、數學探索、數學交流等方面再探2022年各地中考數學文化試題.

1 數學史書

例1(株洲)中國元代數學家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結角池圖”.“方田一段，一角圓池占之.”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切，如圖2所示).”問題：在此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M,N(點N在點M的右上方)，若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為______丈.

評析本題通過圓、正方形及相似三角形性質解決問題，難度中等，能培養學生幾何直觀能力.《四元玉鑒》是中國元代數學家朱世杰闡述多年研究成果的一部力著，全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程(組)有關.《算學啟蒙》也是朱世杰所著，內容由淺入深，循序漸進，自成系統，是一部很好的數學啟蒙讀物.隨州卷考查了書中的追及問題，要求列一元一次方程.

在各地中考中還頻頻出現了一些其他的名著.

《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，約成書于公元前1世紀，在數學上的主要成就是介紹了勾股定理，湘潭卷考查了書中的弦圖與三角函數；黃岡卷考查了勾股弦的規律及代數式表示.

《九章算術》是我國漢代的數學名著，在中考中出現的次數最多，多與方程(組)有關，寧波、眉山卷考查的是書中的二元一次方程組；武威卷考查一元一次方程；遵義卷考查“塹堵”的左視圖；宜昌卷考查負數.

《孫子算經》是中國南北朝時期重要的數學著作，是一部最具智慧且激發人探尋數學奧妙的書，南充卷考查了書中著名的雞兔同籠問題，但是要求列一元一次方程；岳陽卷考查百鹿進城，實際上列一元一次方程容易求解.《數書九章》由南宋數學家秦九韶所著.全書采用問題集的形式，共列算題81問，分為9類.宜賓卷考查了書中根據公式由三邊求三角形的面積.

《算法統宗》是由明代數學家程大位編著的一部應用數學書，該書曾傳入日本、朝鮮、東南亞和歐洲，成為東方古代數學的名著.成都卷考查了書中列二元一次方程組.《御制數理精蘊》于清康熙年間編著而成，是一部介紹包括西方數學知識在內的數學百科全書.畢節、達州卷考查了書中列二元一次方程組.武威卷還考查了清末教科書《最新中學教科書用器畫》中的尺規作圖、計算及證明問題.

數學史書是數學的瑰寶，反映了古代數學家及勞動人民的智慧，對現在的學生及教師來說，仍有很大的學習價值，我們仍要汲取其中營養，以豐富自己的人文底蘊.

2 數學名人

例2(大慶)函數y=[x]叫做高斯函數，其中x為任意實數，[x]表示不超過x的最大整數.定義{x}=x-[x]，則下列說法正確的個數為( ).

①[-4.1]=-4；② {3.5}=0.5；③高斯函數y=[x]中，當y=-3時，x的取值范圍是-3≤x<-2；④函數y={x}中，當2.5

A.0 B.1 C.2 D.3

解根據高斯函數的定義，[-4.1]表示不超過-4.1的最大整數，結果為-5，①錯誤；{3.5}=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5，②正確；當-3≤x<-2時，y=[x]=-3，③正確；y={x}=x-[x]，當x=2.5時，y=2.5-[2.5]=2.5-2=0.5，當x=3.5時，y=0.5，當x=3時，y=3-[3]=3-3=0，當x從2越來越大，不斷接近于3時，此時y接近于1，④正確，故選D.

評析函數y=[x]稱為取整函數，也稱高斯函數，它的圖象很美，成周期分布.本題能培養學生的符號意識，做到用數學的眼光觀察現實世界.高斯是德國著名數學家、物理學家、天文學家、幾何學家、大地測量學家，是世界上最重要的數學家之一，享有“數學王子”的美譽.

例3(瀘州)菲爾茲獎是國際上享有崇高聲譽的一個數學獎項，每四年評選一次，主要授予年輕的數學家.下面數據是部分獲獎者獲獎時的年齡(單位：歲)：29,32,33,35,35,40，這組數據的眾數和中位數分別是( ).

A.35,35 B.34,33 C.34,35 D.35,34

評析 一方面，這個題目難度不大，能培養學生的數據觀念，另一方面從題目中我們看出年輕數學家取得卓越的成果，讓我們欽佩.菲爾茲獎，是加拿大數學家菲爾茲倡議設立的國際性數學獎項，于1936年首次頒發.菲爾茲獎是數學領域的國際最高獎項之一.因諾貝爾獎未設置數學獎，故該獎被譽為“數學界的諾貝爾獎”.

數學名人一般指著名的中外數學家，他們解決了數學難題，對數學的發展與傳播作出了巨大的貢獻.高斯和菲爾茲是外國數學家的代表，中國也有數學家為世人所敬仰，比如程大位和華羅庚等.以數學家為背景命題，能使學生確立學習榜樣，樹立遠大理想，激發學習熱情.

3 數學游戲

例4(武漢)幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數之和相等，例如圖4就是一個幻方.圖5是一個未完成的幻方，則x與y的和是( ).

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5 圖6

A.9 B.10 C.11 D.12

解幻方的特點是每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數之和相等，此外，還有一個特點，最中間一個數是包含這個數的每一行、每一列、每條對角線三個數的平均數.包含x的第一行、第一列三個數的和相等，可得第一列最下面一個數是6+20-22=4，4和20的平均數為12，所以最中間一個數是12.對角線上這三個數的和為12×3=36，所以x=36-4-22=10，y=36-22-12=2，x+y=10+2=12，如圖6所示.

評析圖4中只知道三個數，根據九宮格的本質就可以求出剩下的六個數，實際上是運用方程的思想.九宮格(或者叫三階幻方)也可以看做數學游戲，在規則下，能培養學生的代數推理能力、模型思想，培養用數學的語言表達現實世界的能力.另外威海卷也考查了三階幻方；江西卷考查了七巧板拼圖及相關的計算.

數學游戲比純粹的數學有趣，學生都喜歡也更易入手.因此數學游戲可以輔助數學學習.在游戲的過程中，如果走不下去，可以請同學互相幫助，進行點撥，這一過程能培養思維與能力，達到寓教于樂的效果，做到學會學習.

4 數學應用

例5(廣西北部灣)古希臘數學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔的影子頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度.如圖7，木桿EF長 2 m，它的影長FD是4 m，同一時刻測得OA是268 m，則金字塔的高度BO是m.

圖7

評析我們知道，直接測量金字塔的高度不好辦，數學家泰勒斯利用立桿測影的方法通過列比例式巧妙地解決了這個問題.此外，婁底卷的結繩計數也體現了古代勞動人民的智慧，能培養學生的數學應用意識.

數學應用，就是在生活中通過數學知識去解決實際問題，顯示了數學的實用價值.對于人們來說，能解決問題才是目的，這也說明了數學是解決實際問題的有效工具，能培養實踐創新素養.

5 數學探索

例6(德陽)古希臘的畢達哥拉斯學派對整數進行了深入的研究，尤其注意形與數的關系，“多邊形數”也稱為“形數”，就是形與數的結合物.用點排成的圖形如圖所示.

其中，圖8的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1，第二個三角形數是1+2=3，第三個三角形數是1+2+3=6……圖9的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1，第二個正方形數是1+3=4，第三個正方形數是1+ 3+5=9……由此類推，圖11中第五個六邊形數是.

圖8 圖9 圖10 圖11

解我們仔細看題，結合圖形尋找規律.圖11的點數叫做六邊形數，從上至下第一個六邊形數是1，第二個六邊形數是1+5=6，第三個六邊形數是1+5+9=15，第四個六邊形數是1+5+ 9+13=28，第五個六邊形數是1+5+9+13+ 17=45，故答案為45.

評析畢達哥拉斯學派對整數的研究比較深入，本題的思路就是數形結合的思想，結合圖8～10告訴的結論去尋求規律，最后得出結論.

例7(遂寧)“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩條直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一顆樹而得名.假設如圖12所示分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理，第六代勾股樹中正方形的個數為.

圖12

解第一代勾股樹中正方形的個數是1+2+3(或20+21=3)，第二代勾股樹中正方形的個數是1+2+4=7(或20+21+22=7)，第三代勾股樹中正方形的個數是1+2+4+8=15(或20+21+22+23=15)，猜測第六代勾股樹中正方形的個數是1+2+4+8+16+32+64=127(或20+21+22+23+24+25+26=127)，故答案為127.

評析通過觀察、總結、歸納，可以看出規律，真沒想到，勾股樹中還有如此美妙的算式.不論是數學家還是教師、學生，都需要數學探索，用數學的思維思考現實世界，過程雖然艱辛，但在追求真理的過程中能感受到數學的力量以及成功后的喜悅感，增強了科學精神.

6 數學交流

例8(遵義)圖13是第七屆國際數學教育大會(ICME)會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖14所示的四邊形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=30°，則點B到OC的距離為( ).

圖13 圖14

圖15

評析這個會徽展示的就是勾股定理的連續應用，得到了美麗的圖案.在教材中，就是通過此方法不斷產生無理數.國際數學教育大會(ICME)正是數學家交流數學成果的會議，大家通過交流，能了解數學的最新成果，互相學習，增進友誼，為攀登數學高峰共同努力.

例9(遂寧)圖16中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ).

圖16

A.科克曲線 B.笛卡爾心形線

C.阿基米德螺旋線 D.趙爽弦圖

解軸對稱圖形是一個圖形沿著一條直線折疊，兩旁的部分能完全重合，中心對稱圖形是一個圖形繞著一個點旋轉180°，與原來的圖形能完全重合，本題選A.

評析軸對稱圖形和中心對稱圖形的判斷屬于基本技能，難度不大，我們還要了解題目中三線一圖，科克曲線是一種典型的分形曲線，它是瑞典數學家科克于1904年構造出來的；笛卡爾心形線傳說是瑞典的小公主根據法國著名的數學家笛卡爾給她寫的信中的一個公式r=a(1-sinθ)，畫出的圖形像心形而得名；阿基米德是古希臘數學家，阿基米德螺旋線是一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉動而產生的軌跡；三國時期吳國的數學家趙爽為《周髀算經》一書作序時創制了一幅圖，以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成，被稱為趙爽弦圖，它經典而久遠，被譽為“中國數學界的圖騰”.本題中的四個圖形三曲一直背景深厚，數形結合，數學味濃，說明中外數學家的積極貢獻得到了國際認同，促進了人類的文明與繁榮.

數學交流不僅是中外交流、古今交流，也可以是師生交流，通過交流，我們去分享、聆聽和討論數學的思想、方法，感受、學習數學中的文化，豐富自己的底蘊，培養責任擔當.

7 結語

通過對2022年的中考數學文化試題分析可以看到，數學史書能開闊視野，數學名人樹榜樣力量，數學游戲能激發興趣，數學應用顯實用價值，數學探索呈艱辛之路，數學交流促專業成長.在以后的教學中，根據陶行知先生“做中學”的教育思想，教師可以適時開展數學文化講座，讓學生多閱讀與賞析數學文化相關書籍，參加數學文化實踐活動、數學文化知識競賽、繪制數學文化手抄報等，不斷提高數學文化素養.