精密機床直線進給軸位姿誤差建模方法研究

孫光明，張大衛，孫銘澤，胡高峰，李志軍

（1.天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津 300072；2.天津城建大學控制與機械工程學院，天津 300384；3.天津理工大學機械工程學院，天津 300082；4.天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222；5.天津大學內燃機燃燒學國家重點實驗室，天津 300072）

精密機床是制造業的核心設備，直線進給軸是機床的重要部件，其位姿誤差直接影響機床的末端精度。直線進給軸存在6項運動誤差，其中運動方向的位置偏差與2項直線度誤差稱為位置誤差，3項轉角誤差稱為姿態誤差，位置誤差與姿態誤差合成位姿誤差。影響直線軸位姿誤差的因素主要包括導軌幾何誤

差[1-2]、彈性變形[3]、熱誤差[4]和伺服參數[5]等，其中裝配后的導軌幾何誤差是影響直線軸位姿誤差的重要因素。直線軸位姿誤差建模是建立導軌幾何誤差與位姿誤差之間的數學模型。目的是在裝配過程中，通過測量幾何誤差實現對位姿誤差的預測；根據給定的位姿誤差要求，通過精度設計的方法，對幾何誤差優化分配。位姿誤差建模是精度預測和精度設計的關鍵環節，本文從靜力平衡建模法、等效剛度建模法、有限元建模法等方面，探討現有直線軸位姿誤差建模方法的特點及尚需解決的問題。

1 靜力平衡建模法

靜力平衡建模法是根據直線運動軸的結構特征，分析其受力狀態，根據力學知識將系統中的力和力偶矩按照力的平移法則，將它們向坐標系的原點簡化為1個合力矢和1個合力偶矩，再根據力和力偶矩的方向，獲得運動軸在各個方向上的平衡方程。靜力平衡建模法的基本數學模型為

式中：F為合力矢；M為合力偶矩；q為運動軸所受力的數量；Pi為運動軸所受第i個分力的大??；p為運動軸所受力偶矩數量；mi為第i個分力偶矩的大小。

Shimizu[6-7]利用赫茲接觸理論分析了滾動導軌中滾動體的受力狀態和載荷分布，在此基礎上，運用力平衡方程和力矩平衡方程，研究了滾動導軌支撐下直線運動系統的載荷分布和剛性特征。周傳宏等[8]以精密滾動直線導軌副工作臺為研究對象，運用力學和運動學知識推導出在任意力和力偶矩作用下，工作臺中滾動直線導軌副負載以及工作臺上任意點的位移。較早期使用靜力平衡建模法研究了四滑塊雙導軌和六滑塊雙導軌結構的直線運動軸的負載分布，結合變形協調方程獲得了各個滑塊的受力和變形狀態，并得到了工作臺的轉角誤差。四滑塊導軌副負載與變形協調如圖1所示。

靜力平衡方程為式中：R1至R4分別為工作臺在z方向所受作用力；S1至S4分別為工作臺在y方向所受作用力；Fy和Fz分別為作用在工作臺中心沿y和z方向的力；Mx、My和Mz分別為作用在工作臺中心沿x、y和z方向的力矩；L1為滑塊沿x方向的距離，L2為兩導軌之間的距離。

變形協調方程為

工作臺的位姿誤差

式中：δ1至δ4分別為四滑塊在z方向的彈性變形；δ1'至δ4'分別為四滑塊在y方向的彈性變形；φx、φy、φz分別為工作臺繞坐標系中x軸、y軸、z軸的轉角誤差。

應強[9]、范靜鋒[10]使用靜力平衡建模法研究了滾動直線導軌靜剛度、導軌副載荷特性和結構特點。Wu等[11]在研究直線軸位姿誤差的過程中考慮了導軌滑塊的剛度，運用靜力平衡建模法研究四滑塊雙導軌系統的受力狀態，并獲得了工作臺的運動姿態。劉曙光[12]運用靜力平衡建模法計算了四滑塊雙導軌系統的受力狀態，研究了滾柱直線導軌力學性能，獲得了工作臺的姿態誤差。靜力平衡建模法不僅可以用于誤差建模，還可以用于分析滑塊磨損和載荷分布研究。Fan等[13]利用靜力平衡方程求解滑塊和導軌之間的接觸面上產生的反作用力，在此基礎上建立了機床直線軸的精度損失模型，根據滑軌的磨損量預測工作臺長期運行后的定位誤差。Sun等[14-15]結合材料滯彈性，運用靜力平衡建模法建立直線進給軸的重復定位誤差模型，研究裝配誤差和結構件剛度對重復定位誤差的作用機理。

除了滾動導軌支撐的直線軸之外，靜力平衡建模法在非滾動導軌（靜壓導軌、氣浮導軌）支撐的直線運動軸誤差建模方面也有著廣泛的應用。Onat等[16]研究了空氣靜壓導軌幾何誤差與位姿誤差之間的關系，建立了位姿誤差的數學模型，建模過程中使用軸承位置和剛度、導軌幾何誤差和靜態平衡來生成矩陣形式的模型。Xue等[17]在研究靜壓導軌誤差均化效應的過程中，建立了四墊塊運動系統的靜力平衡方程，獲得了系統的位姿誤差和轉角誤差，靜壓導軌受力平衡分析如圖2所示。

圖2 靜壓導軌受力平衡分析

Wang等[18]以工作臺運動平衡方程和液膜雷諾方程為基礎，考慮了流體的可壓縮性和擠壓油膜效應，提出了流體靜壓導軌的位姿誤差建模方法，獲得了四墊閉式靜壓導軌的直線度誤差和轉角誤差。Qi等[19]應用流體靜力平衡建模法，建立了單墊和雙墊靜壓導軌的誤差均化模型，提出了一種考慮導軌三維輪廓誤差的靜壓導軌誤差均化效果的評估方法。Zha等[20-21]為了研究直線度誤差的不同變化趨勢，分析了考慮外部載荷的四墊開式靜壓導軌的靜態平衡條件，建立了誤差均化的數學模型。

靜力平衡法具有計算簡便、應用范圍廣的優點，但這種方法僅能適用于理想狀態下直線軸位姿誤差的建模，而實際裝配后的直線進給軸不可避免地存在裝配誤差，因此靜力平衡建模法難以進行精確建模。

2 等效剛度建模法

等效剛度建模法是在赫茲接觸理論和靜力平衡建模法的基礎上發展而來的[22-24]，該方法在建模過程中考慮導軌滑塊的等效剛度，并能夠建立多種類型導軌誤差的傳遞模型。Shamoto等[25-27]提出了傳遞函數模型，該模型將滑塊所受合力的幅值與導軌幾何誤差的幅值之比定義為傳遞函數K（ω），且K（0）為導軌滑塊的等效剛度，根據靜力平衡方程分析工作臺的受力狀態，獲得工作臺的位姿誤差。傳遞函數的表達式為

式中：fe（ω）為工作臺所受合力的幅值；e（ω）為導軌幾何誤差幅值。

Khim等[28-29]運用傳遞函數理論，對滾動導軌支撐的直線軸誤差建模，建模過程中根據赫茲接觸理論推導了在導軌幾何誤差影響下滑塊的受力情況，將滑塊所受合力與導軌幾何誤差的幅值之比等效為導軌滑塊的剛度K（0），并以此為橋梁，根據靜力平衡方程分析工作臺的受力狀態，獲得了工作臺的位姿誤差，以傳遞函數為等效剛度的建模方法如圖3所示。

圖3 以傳遞函數為等效剛度的建模方法

以傳遞函數為等效剛度的靜力平衡方程為

式中：fei（x）為第i個滑塊對工作臺的作用力；Zi（x）為第i個滑塊組在z方向的位移；Xi為相鄰2個滾動體組之間的中心距離。

在此基礎上，Hwang等[30]運用該誤差傳遞函數理論，根據導軌輪廓的空氣靜壓軸承的力平衡，預測XY型工作臺二維位姿誤差。隨后，Khim等[31]基于等效剛度建模法，提出了一種工作臺五自由度位姿誤差的計算方法。研究建立了導軌的實際幾何誤差和工作臺位姿誤差之間的關系，實現了氣浮導軌支撐的直線軸五項位姿誤差的預測，將工作臺位姿誤差模型擴展至三維（3D）范圍。

Kim等[32]運用等效剛度建模方法，采用雙彈簧系統，考慮到導軌平行度和墊間距誤差引起的反作用力力矩的影響，建立了考慮導軌平行度的誤差模型，進一步提高預測精度。在使用等效剛度建模法建模過程中，需用傅里葉變換將實際導軌輪廓誤差轉換為周期函數。對于大多環境，導軌表面曲線是隨機的，為了建立導軌輪廓誤差和位姿誤差之間更加精確的數學模型，Tang等[33]提出了一種基于測量導軌表面和擬合曲線的直線度和角度誤差的系統計算方法，導軌隨機誤差作用下工作臺位姿誤差如圖4所示。

圖4 導軌隨機誤差作用下工作臺位姿誤差

根據導軌誤差測量結果選擇合適的特征函數進行曲線擬合，進而計算位姿誤差，該方法與傳統方法相比，在曲線擬合和誤差計算方面更為精確，可以通過同樣的程序應用于其他類似的環境。此外，Xue等[17]在靜壓導軌誤差均化建模過程中，將每個墊塊油膜等效為支撐剛度，研究直線軸的位姿誤差。

等效剛度建模法通用性強，能夠適用于靜壓導軌、氣浮導軌以及滾動導軌，建模時需要導軌導向面的輪廓誤差，它在一定程度上決定了模型的預測精度。

3 有限元建模法

靜力平衡建模法和等效剛度建模法是在滑塊滾動體為彈性體、其他部件為剛體的假設下提出的模型。隨著計算機仿真技術的發展，有限元建模法的應用越來越廣泛，該方法可將參與計算的零件作為彈性體[34-35]。

在建立有限元模型的過程中，元件之間的接觸特性以及滾動體的模擬是難點。Chlebus等[36]采用有限元建模法計算了滑動導軌接觸層的剛度，將2個元件接頭的接觸層設置為一種的“第三體”，并根據接觸特性賦予材料屬性，該方法考慮了接觸層的非線性特性。Wu等[37]在研究滾動導軌動態特性的過程中，為了模擬滾動界面的接觸特性，在每個球體的上、下側分別采用了零厚度的三維膜接觸單元建模。Ohta等[38]研究了考慮滑塊和導軌柔性的預加載線性導軌型滾珠軸承的垂直剛度，建立了導軌滑塊的有限元模型，在滾動體的接觸點施加了等效載荷，計算了滑塊的變形。Hung等[39]在赫茲接觸理論分析的基礎上，采用彈簧單元模擬導軌滑塊的滾動體剛度，建立了立柱運動部件的有限元模型，分析了機床的動態特性。Shi等[40]在對機床進行有限元建模時提出，導軌由梁單元表示，滑塊由面單元表示，滑塊安裝面采用Glue命令相連，同時與滑動點Node用Mean命令相連，而滑動點與導軌上對應的Node節點重合，采用Bushing剛度單元相連，Bushing單元可以設定六維的靜剛度。

目前，通用的有限元建模法為Majda[41]提出的一種直線導軌幾何誤差對工作臺位姿誤差影響的分析方法，該方法考慮到導軌幾何誤差的非線性特性，將滾動體等效為彈簧單元，通過改變彈簧單元的長度來模擬導軌幾何誤差，建立了雙導軌四滑塊系統的有限元模型，并研究了多種導軌誤差狀態下工作臺的轉角誤差。在此基礎上，郭龍真[42]使用有限元方法建立了機床直線軸導軌滑塊系統的剛彈耦合模型，將導軌滑塊的滾動體簡化為等剛度的彈簧，通過修改彈簧的長度來模擬導軌的幾何誤差，研究了工作臺在不同導軌誤差狀態下的位姿誤差和轉角誤差，并進一步研究了直線軸的誤差均化機理和低應力裝配技術。直線軸有限元模型如圖5所示。

圖5 直線軸有限元模型

有限元建模法的優點是所有零部件均作為彈性體參與計算，計算精度更高，缺點是建模過程繁瑣，時間較長，模型通用性差。

除靜力平衡建模法、等效剛度建模法和有限元建模法外，還有學者提出了各自的建模方法。何改云等[43]基于齊次坐標變換和最小余能原理定量分析了工作臺的位姿誤差，研究了直線滾動導軌平行度誤差對機床工作臺位姿誤差的影響。Ekinci等[44]提出了一種基于誤差分類的機床誤差分析方法，研究了機床直線軸轉角誤差和直線度誤差之間的關系。類似地，Wahid等[45]使用積分法建立導軌直線度誤差和工作臺位姿誤差之間的映射模型。Ma等[46]基于激光跟蹤儀，研究了零件制造誤差和變形對直線軸位姿誤差的影響。He等[47]提出了分層誤差建模法，把直線軸的誤差分為基面層誤差、導軌層誤差、滑塊層誤差、工作臺誤差，使用靜力平衡建模法和等效剛度建模法分層建模，取得了較好的效果。

4 結論

本文綜述了國內外機床直線進給軸位姿誤差建模方法的進展和成果，分析了現有方法的特點。著眼于精密、超精密加工，當前的機床直線軸位姿誤差的建模方法仍然存在一些不足，需要從以下幾個方面深入研究：

（1）現有的建模方法著重于預測機床定位的準確度，然而體現機床定位穩定性的重復定位誤差已經成為影響機床定位性能的關鍵因素，其建模方法還有待進一步研究。

（2）機床的動態誤差已經成為影響機床定位精度的重要因素，目前的建模方法從不同角度衡量導軌幾何誤差對位姿誤差的影響程度，屬于靜態建模，建立準確的動態誤差模型，需要進一步研究。

（3）降低裝配后的導軌幾何誤差是提高機床精度的重要途徑，但目前位姿誤差建模的目的多用于精度預測，基于控制導軌幾何誤差的精度設計方法是未來研究的重要方向。