具有Bazykin功能反應的捕食者-食餌擴散模型的穩定性

趙明陽，孫福芹，劉朋燕

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

眾所周知，生態系統能夠反映物種與物種間、物種與自然環境間的相互作用，捕食者-食餌模型作為一類經典的生態系統模型，可以用來研究2個物種之間的動態相互作用，對于維護生態系統中物種的穩定性具有重要意義。在此基礎上，眾多學者深入分析捕食者-食餌相互作用的特征，構建了帶有多種功能性反應函數的捕食者-食餌模型，包括Holling I-III功能反應、Holling-Tanner功能反應、Beddington-Deangelis功能反應以及Ratio-dependent功能反應等[1-4]。然而，在對捕食者-食餌模型的研究中，鮮有文獻考察Bazykin功能反應函數。Bazykin功能反應可以描述捕食者飽和的不穩定力量與獵物競爭的穩定力量，這對于了解種群之間的作用更具實際意義。另外，現實世界中的獵物和捕食者總是處于運動狀態，為準確模擬獵物和捕食者的動態特征，需要在模型中考慮種群的空間擴散[5-8]。因此，本文構建一個具有Bazykin功能反應的捕食者-食餌擴散模型，研究模型的有界性和平衡點的存在性，并對平衡點的局部穩定性、全局穩定性以及Turing不穩定性進行分析。

1 模型組成和初步結果

1.1 模型組成

考慮了一個具有Bazykin功能反應的捕食者-食餌擴散模型[9]如下

式中：u（t）為t時刻食餌種群的數量；v（t）為t時刻捕食者種群的數量；增長率r∈R+；環境承載力k∈R+；e為食餌到捕食者的轉化率（0＜e＜1）；m為捕食者的恒定自然死亡率。

Bazykin型功能性反應函數為f（u，v）=1/（1+α1u）·（1+α2v）。其中，α1和α2為2個正常數，且α1＞α2，用來描述捕食者飽和的破壞穩定力和爭奪獵物的穩定力。

在現實世界中，獵物和捕食者始終處于運動狀態，該現象可以利用自擴散來模擬。假設所考慮的2個種群總是在運動，每一個種群都遵循1條路徑，路徑的長度用x表示?？紤]以上假設，模型（1）可以寫為如下形式

式中：d1、d2分別為食餌和捕食者的擴散率；x為捕食者或食餌在時刻t所在的位置；lπ為所在區域的范圍。Neuman邊界條件表示食餌和捕食者的移動距離為0～lπ。以上所有參數均為非負[10]。

1.2 平衡點的存在性

通過求解du/dt=0，dv/dt=0可以得到模型（2）的平衡點，顯然，模型（2）有平衡點E0（0，0），E1（k，0）以及E2（u*，v*）。u*、v*可根據方程組（3）求解得出

1.3 有界性

下面給出問題（2）解的有界性結論。

定理1當u0（x）≥0，v0（x）≥0且不恒等于0時，系統（2）有唯一解（u（x），v（x））；當t＞0，x∈（0，lπ）時，0＜u（x，t）＜u*（t）且0＜v（x，t）＜v*（t）。其中，（u*（t），v*（t））為常微分方程（4）的唯一解

進一步可以得到

證明令

f和g的偏導數為

因此，f和g為Lipschitz函數，故存在正數c1、c2對于u1、u2、v1、v2有

令（u2（x，t），v2（x，t））=（u*（t），v*（t）），滿足方程

令u1（x，t），v1（x，t）=（0，0）滿足方程

其中，0≤u0（x）≤u0*，0≤v0（x）≤v0*，則（u1（x，t），v1（x，t）），（u2（x，t），v2（x，t））分別為系統（2）的上解和下解。強極大值原理表明，當t＞0且x∈（0，lπ）時，u（x，t）＞0，v（x，t）＞0。至此，完成了第一部分的證明。

u（x，t）≤u*（t），v（x，t）≤v*（t），u*（t）為方程ut=ru（x）（1-u（x）/k）的唯一解，且u（0）=u0*＞0。容易證明當t→+∞時，u*（t）→k。所以，對于?ε＞0，?T0＞0使得u（x，t）≤k+ε。從而得到，當t＞T0，x∈（0，lπ）時，sup u（x，t）=k。

令

根據Neumann邊界條件

可以得到

得到

2 穩定性分析

系統（2）在任意點（u，v）處的Jacobian矩陣為J=（mij）∈R2×2，

D=diag（d1+d2）及其對應帶有Neumann邊界條件的實值Sobolev空間可定義為

其內積為

相關χ的Hilbertian范數記為‖·‖2.2，相關的特征值問題為

其中，kn=（n/l）2和cos（nx/l），n=1，2，3…分別為式（7）的特征值和特征函數。

2.1 E1（k，0）的局部穩定性

平衡點E1（k，0）的線性化系統為Ut=DΔU+J（k，0）·U，矩陣-（n/l）2D+J（k，0）的特征值為

定理2當R1=m+e/（1+α1k）＜0時，系統（2）在平衡點E1（k，0）處是局部漸近穩定的。

2.2 E1（k，0）的全局穩定性

分別定義系統（2）的上常數解和下解（u1，v1）=（k+ε，M）和（u2，v2）=（ε，0）。其中，ε、M為正常數且ε足夠??；定義（）和（），m=1，2，3…為耦合拋物型方程[11]

和

根據Pao[11]的定理2.1

運用比較定理證明方程u（x，t）≤γ（x，t），（x，t）∈[0，lπ]×[0，+∞]，通過下面的拋物方程

得到t→+∞時，γ（x，t）→k，在[0，lπ]×[t0，+∞]中，存在t0＞0時，u（x，t）≤k+ε，這意味著平衡點E1全局吸引，并且定理2證明了在滿足特定條件的情況下，E1局部漸近穩定，因此能夠得到E1全局穩定。

2.3 E2（u*，v*）的Turing不穩定性

系統（2）在正平衡點（u*，v*）處的雅可比矩陣為

系統（2）寫成如下形式

F（U）是圍繞平衡點E2（u*，v*）的非線性函數。

系統（2）在E2（u*，v*）處的線性化系統為：Ut=DΔU+J（u*，v*）U-（n/l）2D+J（u*，v*）。其中，-（n/l）2D+J（u*，v*）的矩陣為

矩陣（9）的特征值為方程（10）的解

Turing不穩定性的存在需要滿足以下2個方面[12]：

（i）當沒有擴散時，平衡點是線性穩定的，D0（k）＞0；

（ii）在擴散存在時，平衡點變得不穩定，Dn（k）＜0。

由于

所以

顯然D0（k）＜0，由此可以得到Turing不穩定性的不存在性。

3 結語

本文考慮了齊次Neumann邊界條件下，具有Bazykin功能反應的捕食者-食餌擴散模型。首先，證明了模型的有界性和平衡點的存在性，得到模型的3個平衡點E0、E1、E2；其次，證明了在沒有E2的情況下，E1的局部穩定性以及全局穩定性；最后，通過對平衡點E2（u*，v*）的特征方程進行分析，證明Turing不穩定性的不存在性。通過分析具有Bazykin功能反應函數的捕食者-食餌擴散模型的穩定性，有助于未來對具有Bazykin功能反應函數模型的分支問題進行更深一步的研究。