一種原子鐘頻率凈化的環路最優帶寬求解方法

鄢然，劉軍良，鄭曉龍，武建鋒，胡永輝

(1.中國科學院 國家授時中心，西安 710600；2.中國科學院大學，北京 100190；3.火箭軍工程大學，西安 710025)

0 引言

高質量的時頻信號是導航定位、時頻計量、航空航天等眾多領域的基礎條件，通過高精度鎖相環技術實現原子鐘頻率凈化，以獲得高質量時頻信號是工程實踐中常采用的方法[1]。原子鐘頻率凈化技術是通過一個高性能的鎖相環，將原子鐘頻率優良的長期特性與高穩壓控振蕩器(voltage controlled oscillator，VCO)良好的短期特性結合起來，使得輸出頻率信號既能保持原子鐘良好的長期穩定度，同時又獲得較好的短期穩定度。圖1為原子鐘頻率凈化框圖。同時國內外各大時頻設備生產廠商的原子鐘頻率凈化設備，例如中國天奧生產的XHTF3328A、美國Microsemi生產的4145C、俄羅斯VREMYA-CH生產的VCH-317、德國Timetech生產的Clean-up Oscillator等均基于這一思路構建各自的頻率凈化系統[2]。

圖1 原子鐘頻率凈化框圖

為了獲得最佳的凈化效果，鎖相環環路的工作帶寬通常選取最優帶寬。為了得到最優的環路帶寬，文獻[2-7]提及環路最優帶寬的求解規則，即鎖相環環路的最優帶寬應該選取在參考相位噪聲功率譜密度與VCO相位噪聲功率譜密度交點的橫坐標附近(本文稱“相噪交點法”)，但該規則的成立近乎理想，且未曾考慮不同類型、不同階數的鎖相環對該規則的影響情況；文獻[8-11]分析了鎖相環的相位噪聲為確定信號前提下的環路最優帶寬表達式，而這樣的表達式無法應用于原子鐘頻率凈化，因為影響原子鐘頻率不穩定的噪聲不僅僅是白噪聲，往往還有有色噪聲。文獻[12-13]結合鎖相環環路特性分析了鎖相環中的相位噪聲，并指出在環路帶寬內，輸出信號相位噪聲可以約等于參考源相位噪聲；在環路帶寬外，輸出信號相位噪聲約等于VCO相位噪聲。過往學者關于鎖相環最優帶寬的研究表明，準確地選取鎖相環環路帶寬對原子鐘頻率凈化的效果有著至關重要的影響。本文將從影響環路帶寬選取的相位噪聲入手，針對幾種不同類型不同階數的鎖相環環路特性，結合相噪交點法，利用開環增益穿越頻率點與相位噪聲相交頻率點的偏離程度，對最優帶寬進行求解并評估。

1 基本理論

1.1 鎖相環環路帶寬

鎖相環環路帶寬的選取對原子鐘頻率凈化的效果有著重要的影響。以一個基本結構的鎖相環為例，如圖2所示。定義其開環傳遞函數G(s)、閉環傳遞函數H(s)如下：

圖2 鎖相環S域信號傳遞關系

(1)

(2)

式(1)和(2)中:θi(s)、θo(s)、θe(s)分別表示輸入、輸出、相差信號相位的拉普拉斯變換；s是拉普拉斯變換域中的復頻率；Kd為鑒相器系數，單位為V/rad；Kv為VCO系數，單位為rad/(V·s)；F(s)是環路濾波器的傳遞函數；N為分頻器的系數。

對于鎖相環環路帶寬有很多種定義，固有頻率ωn、噪聲帶寬BL、環路增益K，其中文獻[14]中對環路帶寬定義如式(3)，單位為Hz，適用于任何類型的鎖相環，故本文所提及的環路帶寬即

K=KdKvK1Fhf(0)，

(3)

式(3)中，K1是環路濾波器的無量綱比例系數，Fhf(0)是濾波器“高”頻部分的極值。

1.2 冪律譜噪聲模型

對于原子鐘頻率凈化系統而言，頻率源是鎖相環的基本單元，一個設計良好的凈化系統，相位噪聲應該主要來自頻率源[14]。冪律譜噪聲模型是使用最廣泛的頻率源噪聲模型，它的有效性已經被許多實驗結果所證實，并為國際學術界所普遍接受[15]。在原子鐘頻率凈化系統中，其參考源相位噪聲與VCO相位噪聲均可用冪律譜噪聲模型來表征。其噪聲鐘差的功率密度譜函數用5種相互獨立的隨機噪聲來描述振蕩器的頻率波動過程，表達式為

(4)

式(4)中，hα為常數，α=-2,-1,0,1,2分別對應著頻率隨機游走噪聲、頻率閃爍噪聲、頻率白噪聲、相位閃爍噪聲、相位白噪聲5種不同的噪聲類型。fh為頻率測量過程中低通濾波器的截止頻率。

本文采用了文獻[15]提及的原子鐘鐘差產生方法，產生了不同參考源(MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘)與OCXO 8607高穩晶振的噪聲鐘差序列，并繪制了不同參考源與高穩晶振VCO的相位噪聲譜密度如圖3所示。

圖3 不同類型原子鐘與VCO相位噪聲功率譜密度

從圖3可以看出，根據相噪交點法，不同類型的原子鐘與VCO的相位噪聲功率譜密度確有一交點，且對于MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘的頻率凈化的環路最優帶寬分別在K1=0.14 Hz,K2=2.7×10-4Hz,K3=3.8×10-5Hz附近。

在僅考慮參考源和VCO相位噪聲的鎖相環系統中，根據環路傳輸模型，輸出信號相位的通式為

(5)

式(5)中，φref(s)，φvco(s)為參考源、VCO的相位噪聲；H(s)，E(s)為環路閉環傳遞函數和誤差傳遞函數。

因此，輸出信號相位噪聲功率譜密度為

Sθo(f)=|H(f)|2Sφref(f)+|E(f)|2Sφvco(f)。

(6)

式(6)中，Sφref(f)和Sφvco(f)分別表示參考源和VCO的功率譜密度函數。從式(6)可得知，環路的閉環傳輸函數、誤差函數和參考源相位噪聲、VCO相位噪聲均對系統輸出信號的相位噪聲有著重要的影響。

2 最優環路帶寬求解方法

鎖相環環路的最優帶寬被定義為使得輸出信號相位抖動最小的頻率點[16]。相位抖動的計算是對輸出信號的相位噪聲功率密度譜進行積分，可以理解為相位噪聲功率密度譜與坐標軸所圍成的面積。單一使用“相噪交點法”沒有考慮鎖相環的閉環傳輸函數、誤差函數對輸出信號的相位噪聲的影響，這樣的使用規則近乎理想化，可以表達為下式：

(7)

從式(7)可知，“相噪交點法”是在式(6)的基礎上衍生而來，其忽略了環路傳輸函數與誤差函數的交點是否與參考源、VCO相位噪聲功率譜密度交點重合的問題，而這一點忽略極有可能導致輸出信號Allan偏差在交點附近惡化，出現“鼓包”現象。

基于以上對環路輸出信號相位噪聲和單一使用“相噪交點法”弊端的分析，本文提出了結合閉環傳遞函數與誤差傳遞函數幅頻特性曲線的交點ωc與環路帶寬K的偏離程度來求解并評估環路最優帶寬。

環路閉環傳遞函數與誤差傳遞函數幅頻響應曲線相交的頻率點被定義為開環增益穿越頻率ωc，并以Hz為單位。同時，ωc亦是使得|G(jωc)|=1的頻率點。

圖4繪制了一組MHM2010氫原子鐘、高穩晶振的相位噪聲譜密度與二階二類鎖相環環路函數幅頻響應的特性曲線。

圖4 “環路函數交點法”結合“相噪交點法”評估環路最優帶寬

圖4通過對比分析了同一組頻率源相位噪聲及VCO相位噪聲在二階二類鎖相環ωc>K與ωc≈K的兩種情況。結合式(6)，可以得到，若ωc>K，那么系統輸出的相位噪聲低通部分不再主要受參考相位噪聲的影響，還將受VCO相位噪聲的影響，其輸出相位噪聲為

Sφo(f)=|H(f)|2[Sφref(f)+Sφvco(f)]+|E(f)|2Sφvco(f)。

(8)

同理，若ωc

對于原子鐘頻率凈化而言，一階鎖相環的研究看似意義不大，但是往往能從一階鎖相環環路行為近似推廣到較為復雜、較難分析的其他階數、其他類型鎖相環。因此對于一階鎖相環有，F(s)=K1，Fhf(0)=1，它的開環增益穿越頻率有：

(9)

ωc=K。

(10)

從式(10)可以得知，對于一階鎖相環而言，開環增益穿越頻率ωc和環路帶寬K相等。而對于其他幾種類型、階數的鎖相環，開環增益穿越頻率ωc與環路帶寬K的關系均可由式(9)進行計算，具體結果如表1所示。

表1 幾種不同類型不同階數鎖相環增益穿越頻率與環路帶寬關系

從表1可以得知，單一使用“相噪交點法”存在一個默認ωc≈K的前提條件，而通過上述的論證可以看出，只有一階鎖相環才滿足該條件，而其他類型、其他階數的鎖相環需在一定限制條件下才滿足ωc≈K。

根據以上的分析可以得知，僅僅根據“相噪交點法”來確定環路最優帶寬是一種不嚴謹的方法，通過結合本文提出的“環路函數交點法”共同求解并評估環路最優帶寬將更為準確、可靠。

3 仿真驗證

為了驗證單一使用“相噪交點法”的局限性，及本文提出的“環路函數交點法”結合“相噪交點法”求解環路最優帶寬的正確性，以帶滯后濾波器二階鎖相環為例，仿真對比分析了在滿足ωc≈K及ωc?K兩種條件下，不同類型原子鐘的頻率凈化效果。

3.1 原子鐘頻率凈化算法實現

文獻[17]指出，在使用雙線性變換法的二階環路設計中，歸一化噪聲帶寬小于0.1時，數字鎖相環系統可以使用模擬鎖相環的方法進行分析。因此，參考原子鐘及高穩晶振VCO輸出信號相位可分別表示為：

φref(n)=2πf0t(n)+2πf0xref(n)，

(11)

和

φvco(n)=Δφ(n-1)+2πf0t(n)+2πf0xvco(n)。

(12)

式(11)和(12)中：f0為標稱頻率；t(n)為仿真時間；xref(n)，xvco(n)分別代表了參考源和VCO的相位噪聲鐘差；Δφ(n-1)表示在n-1時刻VCO輸出信號與參考源信號相位偏差量。兩信號在通過鑒相器之后的信號相位差可表示為

Δφ(n)=φref(n)-φvco(n)。

(13)

環路濾波器表達式為

(14)

通過雙線性變換可以得到其在離散域的表達式為

(15)

式(15)中，Y代表了環路濾波器的輸出，X代表了環路濾波器的輸入。利用Z的逆變換可得

(2τ+TL)y(n)=(x(n)+x(n-1))TLK1-(TL-2τ)y(n-1)。

(16)

在本文中，y(n)代表了環路濾波器在n時刻輸出的頻偏Δf(n)，x(n)代表了環路濾波器在n時刻的輸入即鑒相器的輸出Δφ(n)。在得到了n時刻VCO輸出信號相對于參考源信號的相對頻偏后，則有

Δφ(n)=Δφ(n-1)+2πf0(t(n-1)-t(n))。

(17)

本文的算法實現如下所述：

①利用式(11)和(12)分別產生標稱頻率f0=10 MHz，時間間隔為1 s，數據長度為1×106的參考原子鐘和VCO信號相位數據；

②設置環路參數，例如Kd=1(V/rad)，Kv=1(rad/(V·s))，因此環路帶寬為K=K1，環路更新時間TL=1 s，因此環路的更新次數num為106次。

③循環求得兩信號之間的相位差Δφ(n)，并通過環路濾波器得到相對頻率偏差Δf(n)，用于對VCO進行頻率調整，如圖5所示。

圖5 原子鐘頻率凈化算法流程圖

④通過鎖相環的作用，VCO輸出信號相位最終與參考源信號相位同步，實現頻率凈化。

3.2 原子鐘頻率凈化結果

由圖3可知，參考原子鐘(MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘)相位噪聲功率密度譜與VCO相位噪聲功率密度譜交點的橫坐標分別在K1=0.14 Hz，K2=2.7×10-4Hz，K3=3.8×10-5Hz附近。在仿真試驗中，根據“相噪交點法”的原則，這3個頻率點將作為環路的最優帶寬帶入不同類型鎖相環進行原子鐘頻率凈化仿真。圖6(a)，(b)，(c)分別為MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘頻率凈化仿真試驗結果，其中通過設置環路帶寬K及環路濾波器時間常數τ，使得其均滿足Kτ≈0，從而滿足ωc≈K，輸出信號Allan標準偏差以方框線型表示；為了形成對比，唯一改變環路濾波器時間常數τ，使ωc?K，輸出信號Allan標準偏差以五角星線型表示。

圖6 不同類型原子鐘的凈化結果

圖6對比分析了不同類型原子鐘在帶滯后濾波器二階環路下的頻率凈化仿真結果。其中實線線型代表著參考源相位噪聲的Allan標準偏差，虛線線型代表著VCO相位噪聲的Allan標準偏差，方框標記的線型代表著輸出信號在滿足ωc≈K條件下的Allan標準偏差，五角星標記的線型代表著輸出信號在ωc?K條件下的Allan標準偏差。從圖中可以看出，在滿足ωc≈K條件下(方框線型)，不同類型的原子鐘的頻率凈化效果最佳，輸出信號同時具備優秀的長、短期穩定度；而在ωc?K時(五角星線型)，凈化效果不佳，且集中表現為在交點附近出現“鼓包”。而這樣一種現象，也正是因為其ωc?K或ωc?K，導致輸出信號在通過環路時，低通部分不再主要受參考相位噪聲的影響，還受VCO相位噪聲的影響或高通部分不再主要受VCO相位噪聲的影響，還將受參考相位噪聲的影響。

圖6證實了本文提出的“環路函數交點法”結合“相噪交點法”求解的環路最優帶寬均使得不同類型原子鐘頻率凈化取得了良好的凈化效果。在帶滯后濾波器的二階鎖相環下，氫原子鐘頻率凈化效果改善明顯，凈化后的輸出信號Allan標準偏差由2.44×10-13@ 26 s提高至1.77×10-14@ 26 s，最佳改善略大于1個量級；銫原子鐘頻率凈化效果較明顯，由8.17×10-13@ 4 096 s提高至1.76×10-13@ 4 096 s，最佳改善大于0.5個量級；銣原子鐘頻率凈化后的信號Allan標準偏差由7.87×10-13@ 16 384 s提高至4.14×10-13@ 16 384 s，改善小于0.5個量級。

4 結論

本文針對幾種不同類型不同階數的鎖相環，在“相噪交點法”的基礎上，根據開環增益穿越頻率與環路帶寬的偏離程度，提出了一種原子鐘頻率凈化的鎖相環環路最優帶寬的求解方法。通過仿真驗證了該方法，驗證結果表明在鎖相環開環增益穿越頻率約等于環路帶寬時，求取的最優帶寬在不同類型原子鐘頻率凈化中均能得到良好的凈化效果，輸出信號Allan標準偏差均有不同程度的改善，最大改善量可略大于1個量級；反之，均有不同程度的劣化，集中表現為交點附近的“鼓包”現象。本文提出的“環路函數交點法”結合“相噪交點法”可更為快速、簡便、直觀地評估環路的最優帶寬。