三區復合型Tschebycheff方程邊值問題的相似構造法

鄭鵬社，楊 雨，李順初，桂欽民

(1.西華大學 理學院，四川 成都 610039；2.北京東潤科石油技術股份有限公司，北京 100029)

2010年，李順初[1]在求解一類二階常微分方程邊值問題時，提出了利用具有相似結構的表達式來構造邊值問題的解的辦法——相似構造法.之后，一些研究者不僅將此方法應用于求解其他一維[2-4]二階常微分方程邊值問題，還利用其求解復合型[5-8]、三區復合型和n區復合型[9-10]常微分方程邊值問題.在最新的研究中，何簽等[11]和李順初等[12]利用相似構造法，對三區復合型第一、二類Weber方程邊值問題進行求解，此求解過程表明相似構造法是求解三區復合型微分方程邊值問題的一種高效、準確的方法.相似構造法的應用為求解多種類微分方程邊值問題提供了一種新的思路.

有關Tschebycheff方程邊值問題的研究中，研究者們[13-14]討論了一維和復合型Tschebycheff方程邊值問題的解，基于以上研究成果，本文針對如下的三區復合型Tschebycheff方程邊值問題進行研究：

(1)

其中：D,E,F,G,H,a,b,c,d,α1,α2,β1,β2為常數；ni(i=1,2,3)為正整數；α1,α2,β1,β2≠0,G2+H2≠0,D≠0；0

1 預備知識

yi=AiTni(x)+BiUni(x),

(2)

其中：Ai,Bi為任意常數，Tni(x)為Tschebycheff多項式，Uni(x)為第二類Tschebycheff函數.

引理2[14]關于二元函數

(3)

有：

(4)

(5)

(6)

其中：i=1代表內區(a

證明依據Tschebycheff多項式Tni(x)和第二類Tschebycheff函數Uni(x)的遞推公式[15]

同理，可以證明式(4)和式(6).

2 主要定理及證明

定理1若邊值問題有唯一解，則其內區(a

(7)

中區(b

(8)

外區(c

(9)

其中：Φ1(x)稱作內區相似核函數

(10)

Φ2(x)稱作中區相似核函數

(11)

Φ3(x)稱作外區相似核函數

(12)

yi=AiTni(x)+BiUni(x),(i=1,2,3),

(13)

由遞推公式，可計算出yi(x)的一階導數，即

(14)

(15)

將式(13)和式(14)代入兩組銜接性條件中，能夠分別得到：

A1Tn1(b)+B1Un1(b)-A2α1Tn2(b)-B2α1Un2(b)=0,

(16)

A1n1[Tn1-1(b)-bTn1(b)]+B1n1[Un1-1(b)-bUn1(b)]-

A2α2n2[Tn2-1(b)-bTn2(b)]-B2α2n2[Un2-1(b)-bUn2(b)]=0,

(17)

A2Tn2(c)+B2Un2(c)-A3β1Tn3(c)-B3β1Un3(c)=0,

(18)

A2n2[Tn2-1(c)-cTn2(c)]+B2n2[Un2-1(c)-cUn2(c)]-

A3β2n3[Tn3-1(c)-cTn3(c)]-B3β2n3[Un3-1(c)-cUn3(c)]=0，

(19)

(20)

依據式(15)～(20)和式(3)～(6)，能夠得到關于待定系數A1,B1,A2,B2,A3,B3的系數行列式為

(21)

因為邊值問題(1)的解是存在且唯一的，所以Δ≠0.根據Gramer法則，可以計算出待定系數A1、B1、A2、B2、A3、B3的值，分別為：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(22)～(27)代入Tschebycheff方程的通解(13)中，再結合式(10)～(12)和式(3)～(6)進行化簡組裝，可以得到三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)的內區解(7)、中區解(8)和外區解(9).

推論1對于三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)，若內邊界條件y1|x=a=1，則邊值問題(1)的內區解為

y1=Φ1(x),(a

(28)

推論2對于三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)，若外邊界條件y3|x=d=0(G≠0,H=0)，則外區相似核函數為

(29)

(30)

推論4對于三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)，有

(31)

3 相似構造法的步驟

由上述求解過程可以歸納出求解三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)的相似構造法，步驟如下：

2)內區、中區、外區相似核函數的構造.外區相似核函數Φ3(x)由外區引解函數和外邊界條件中的系數G,H組合構成，中區相似核函數Φ2(x)由中區引解函數、第二組銜接性條件中的系數β1,β2和Φ3(c)組合構成，內區相似核函數Φ1(x)由內區引解函數、第一組銜接性條件中的系數α1,α2和Φ2(b)組合構成，依據上述構造，可以得到式(10)～(12).

3)得出三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)的內區、中區、外區解.內區解由內邊界條件的系數D、E、F、內區相似核函數Φ1(x)和Φ1(a)組合得出；中區解由部分內區解、銜接性條件中的系數α1、α2、內區引解函數、中區相似核函數Φ2(x)和Φ2(b)組合得出；外區解由部分中區解、銜接性條件中的系數β1、β2、中區引解函數、外區相似核函數Φ3(x)和Φ3(c)組合得出，基于上述組合，可以得到式(7)～(9).

4 應用舉例

求解如下的邊值問題(a=1,b=2,c=3,d=4,n1=1,n2=2,n3=3,α1=1,β1=1,α2=2,β2=2,D=1,E=1,F=2,G=1,H=2)：

(32)

第一步：由定解方程(1-x2)y″1-xy′1+y1=0的兩個線性無關解T1(x)和U1(x)，構造邊值問題(32)的內區引解函數

第二步：內區、中區、外區相似核函數的構造.依據式(12)，構造出外區相似核函數

并計算

依據式(11)，構造出中區相似核函數

并計算

依據式(10)，構造出內區相似核函數

并計算

第三步：求解邊值問題(32)的內區、中區、外區解.依據式(7)，可以得到邊值問題(32)的內區(1

依據式(8)，可以得到邊值問題(32)的中區(2

依據式(9)，可以得到邊值問題(32)的外區(3

(33)

5 結論

1)在探討三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)時，一方面，發現其內區、中區、外區解在結構上具有相似性，解的結構由內外邊界條件和銜接性條件的系數、引解函數和相似核函數組裝得到；另一方面，解的部分內容相同，其相同部分由內邊界條件系數和Φ1(a)構成，且呈連分式結構形式.

2)在求解三區復合型Tschebycheff方程邊值問題(1)時，發現二元引解函數總是由定解方程中的線性無關解來加以構造，內區、中區、外區相似核函數的系數只與內邊界條件和銜接性條件的系數有關.

3)應用相似構造法求解三區復合型Tschebycheff方程邊值問題時，可以發現相似構造法能夠大大降低求解的難度，提高計算的速度和準確度.