中學生數學思維靈活性的培養

李 瑾

（隴川縣教科中心，云南 章鳳 678799）

現實的中學教學中，存在著學生拘泥于已有數學現實，按步就班，解決問題的過程中缺乏必要的靈活性。他們不會從不同角度、方法、層次等方面根據新的條件迅速確定思考問題的方向；難以靈活地運用所學的公式、定律、法則從一種解題方法轉向另一種方法，舉一反三、觸類旁通的意識和能力偏弱。只有培養起學生良好靈活的思維能力，學生才能對具體的數學知識進行有效的學習。如何培養學生數學思維的活性，是一個宜不斷深入的進行教學研究的現實問題。

一、數學思維的靈活性

數學思維的智力品質是衡量主體的思維發展水平的重要標志，它主要表現于思維的言廣闊性、深刻性、靈活性、敏捷性、獨創性和批判性等六個方面。這六個方面既有各自的特點，但又互相聯系、互相補充的。[1]

首先，我們看下述問題的解法:

案例1:已知函數f（x）對x ＞0 有意義，且f（2）=1，f（m×n）=f（m）+f（n），則 下列答案正確的是:

思路一:注意到已知條件，由個人的經驗和直覺，不妨令f（x）=log2x，

|f(4)|=|log24|=2，選（B）。

思路二:令m=n=1，則f（1）=2f（1）? f（1）=0，

類似地，偶函數f(x)在[-2，0]上是單調遞減函數，則的大小關系是

以上例子我們可明顯地看出，思路一具有鮮明的靈活性，而思路二多少帶有解題模式的色彩，且在某種程度上有些費時費力。類似此類的問題在中學數學各類問題中并不少見。

關于思維的靈活性，它是指思維活動的靈活程度。表現為對知識的運用自如，流暢變通，善于自我調節。思維不囿于固定的程序或模式，能夠根據情況及時換向，靈活調整思路以克服思維的定勢。在解決數學問題時，善于運用辯證思維對具體問題分析是思維靈活性的重要特征和。[1]

二、培養學生數學思維靈活性的途徑

本文認為，中學生數學思維靈活性，主要是指在解決具體問題時，能據條件及解決問題的要求，將對自己來說陌生或較復雜的問題，逐步轉化為熟悉的問題或基本的解題模式求解，而在直接應用模式不能奏效或雖能奏效但費時費力時，能迅速擺脫模式的束縛，尋找轉化的途徑和辦法。

如何看待學生數學思維的靈活性的培養，盡可能地讓學生變得聰明些呢？我們以為在現實的教學中，宜關注以下幾個途徑。

（一）關注學生已有的數學認知結構

斯托利亞爾指出:“在教學的每一步，不估計學生思維活動的水平、思維的發展、概念的形成和掌握教材的質量，就不可能進行有效的教學?！?/p>

教師對教材與課程標準不可謂不重視?？蔀槭裁唇虒W效果總不盡人意呢？固然原因是多方面的，但現實的中學教學中，無論是主觀還是客觀上，我們不得不面對的一個直接的問題是對學生的研究不夠或嚴重不夠，這是個不宜忽視的問題。

思維的靈活性，是以學生主體必須具備一定的思維水平，并對教材中的基礎知識和技能的掌握為前提條件的，學生需要積累自己基本的數學活動經驗、理解基本的數學思想方法。教師需要分析研究自己所處教學環境條件下的學生實際狀況，在數學學習過程中，例如學生數學“四基”學習所面臨的主要障礙是心理因素、還是表達能力方面，或是思維方面；對數學題型及解題模式的實際掌握程度怎樣等，是否達到教學目標、學生是否形成了良好的認認知結構，為后繼的學習奠定了必要的先備知識和技能、思維方法，倘若知識結構殘缺，培養學生解決數學問題思維的靈活性的努力就成了無本之木。

因此，只有充分研究施教對象，既重視教案的準備，又更要注重教法的研究，才能在對學生數學思維的靈活性培養方面有所成效，也才能不至于本末倒置。目前，隨著新課程的展開，各種教學模式的探討、嘗試如雨后春筍。但我們必需清醒的是，任何人成功的教學方法、經驗，都是其所處特定教學環境條件下的產物。

（二）深入研究題型和解題模式與思維靈活性關系

日常的教學中，教師結合學生實際，日積月累，精選一些緊扣教材基礎知識、基本技能和方法、靈活性比教材要求稍高，又利于培養學生多角度觀察和解決問題的題目，教師指導學生對題型進行歸類，有較強針對性地來加強學生思維靈活性的訓練，并通過實際訓練對一些問題摸索解題模式，此種做法無疑為學生解決同類問題有著積極的指導意義，因為許多數學問題的最終解決，仍需歸結到基本的題型和解題模式上去。

但是，無論是中考還是高考，對學生數學能力的考察已成為大勢所趨。而這種能力在學生思維的靈活性方面得到了體現。因此在重視指導學生概括解題模式的同時，對學生思維的靈活性的培養也應視學生情況在某種程度上不失時機地予以加強。所謂時機，正如我們所熟知的教學階段（章節、單元、學期、學年等）結束之時，也往往是題型、解題模式為學生已基本掌握之機，這時不僅要進行知識系統化的復習，而且更要注重思維靈活性的訓練，這對于不斷提高學生數學思維的能力，有著積極的現實意義。

案例2 解方程 0.2x=3

同一問題，學生是采取兩邊同除以0.2 還是乘以5 僅僅是手段而已，其目的在于使x 的系數變為1。因此兩種方式可認為都是“通法”的活用。

案例3 :已知 ｛2x+3y=3 x-2y=5 求x+y的值。

若分別解出兩個求知數再進行求和，則做這類型三五題與十題八題是沒有什么差異的。事實上，在學生對方程組會解（即通法）的基礎上，要轉入進行初步的整體思想、方法的滲透，樹立對數學問題的結構的洞察和概括意識。事實上，｛2(x+y)+y=3 。(x+y)-3y=5 將視x+y 為一整體求出即可達到目的。

類似地 解方程｛3x-2y=3 xy=3 →｛3x+(-2y)=3 3x(-2y)=-18

將3x 和–2y 視為方程T2-3T-18=0 的兩個根進行求解。

（三）適度解決問題訓練與思維靈活性

日常的教學甚至于部分的公開課中，課堂的大容量、快節奏的過度技能訓練充分彰顯了教師教學的智慧與“聰明”，極少給乃至不給學生留有思考余地的現象并非鮮見，學生對于老師對問題的剖析、講解及結論的獲得，常不由自主地感嘆“我怎么（簡直）想不到呀” ？“老師怎么想到的” ？這一現象的成因，從教學方面來看，這是部分教師或是趕進度，或是存在著“多講比少講好”的認識，從學生學習方面來看，學生習忙于記筆記、照貓畫虎地進行解題，自己運用觀察、實驗、歸納、類比、聯想、猜測、試誤等合情推理方法，探索未知所進行的思考，進而來領會數學的基本思想的時間較少，在一定程度上喪失了數學活動經驗積累過程的機會。對此現象，史寧中教授也認為，“現在，很多中學提出來，數學問題‘一看就會，一做就對’。怎么能這樣呢，不經過思考的不是數學，數學不是技能訓練。一定程度的熟練是必要的，但過分強調就走向反面?！盵2]

因此，教師要給予學生一定的時間和思考機會，開展適度的針對性訓練是必要的，但要從學生的實際出發，把握好一個度，這個度來自于對自己所教班級學生數學認知結構的了解和理解。

（四）通過變式教學培養學生數學思維的靈活性

數學變式教學，是在建構主義等理論指導下的教學。具體而言就是在數學教學過程中，變換問題的條件或形式，而問題的實質不改變，或通過引入新條件、新關系，將所給問題或條件變換成具有新形態、新性質的問題或條件，以達到改善學生的認知結構，訓練學生思維和提高能力的目的。變式教學的途徑有著很高的教育價值，同時是一種重要的思想的方法。通過變式可使封閉式問題變為開放式問題；使常規問題變為非常規問題，促使收斂性思維轉向發散思維。變式教學對學生數學思維的靈活的培養有著直接而現實的意義和作用。

教材中的例題、習題、思考題等從不同的角度進行改變條件等等方式的引申、改編，將一個單一性問題變化為多種形式、輻射成具有多種內容的問題。此類變式使問題層層深入，有助于學生的思維靈活性。

案例4:在復數集中解方程 X2－4X＋5＝0

筆者以為，在不增加學生的學習負擔的前提下，可對此例的要求進行如下內容變式教學:

題型1 若方程x2-4x+5=0 的一根為2+i，則另一根是（）；把x^2-4x+5 分解因式結果為（）

題型2 （a）若方程x2-4x+k=0 的一根為2-i，則實數k 值為（）

（b）若方程x2+2kx+5=0（k ∈R）的一根是2-i，則k=

（c）若方程2kx2－4x+5=0 的一根為2－i，則實數k ＝

（d）若方程x2+px+q=0 的一根為2-i，則實數p 值是: 實數q 值是:

（此類題可用虛根成對原理與韋達定理求解，也可將根代入求解）

題型3 若方程x2－2x+k=0 的一根是i，則另一根是:

（此類題型學生易套用虛根成對原理而出錯）

題型4 方程x2－4x ＋k+1=0（其中k ∈R）的一個虛根的模是√5 ，則k值為

題型5 若方程x2-4x+k=0 的有兩個虛根X1 和X2，│X1－X2│＝2，則實數k=

題型6 兩根為2＋i 與2－i 的最簡一元二次方程是:

此例的變式，是對本章涉及的相關內容的輻射及已學過知識的靈活應用，對于學生的思維訓練起到了積極作用。

各類水平測試中，公式恒等變形后的應用、性質、定理的等價表述、逆向思維的考查等都屬于內容變式，可以說內容變式反映了在教學中要使學生有相應的應變能力。

三、結束語

培養學生數學思維的靈活性，這一工作過程本身對教師的教學提出了較高的要求。是否能在開放中培養學生思維的靈活性，關鍵是教師的觀念要更新,要給學生創新求異的機會,要鼓勵學生敢于與眾不同，引導學生多角度、多方位地靈活思考問題[3]。教師要在教學實踐中深刻感悟中學數學教學法的特征，真正地讓學生擁有數學活動經驗積累過程的機會，結合自身所處教學環境條件，不斷創新，超越自我，形成自己所處條件下的一套教學風格，才能使學生數學思維的智力品質不斷得到優化和提升。