二階非完整Vacco 動力學及其Noether 定理

張 毅

（蘇州科技大學土木工程學院，江蘇 蘇州 215011）

非完整系統動力學研究具有重要意義，其原因在于非完整約束的普遍存在性。 例如，凡是帶有滾動輪子的系統幾乎都存在非完整約束[1]。經典非完整力學是以d’Alembert-Lagrange 原理作為基礎，其非完整約束對虛位移的限制采用Appell-Cheteav 條件[2]。1982 年，Kozlov 以嵌入約束的Hamilton 原理為基礎導出受有不可積分的微分約束系統的動力學方程，稱之為Vacco 動力學[3]。 學術界對非完整力學的理論曾有過爭論[4-6]。 實際上，前者是力學的，后者則是數學的[7]。 梅鳳翔先生指出“現在看來，Vacco 模型是允許的，可用來研究控制問題”[2]。 守恒律與對稱性研究是分析力學的一個重要課題[2，8-20]。 1993 年，張解放給出了Vacco 動力學的Noether 定理[21]。此后，Vacco 動力學及其對稱性成為一個研究熱點并產生了一批成果，如：單面約束Vacco 動力學[22-23]、Hojman 守恒量[24-25]和Lutzky 守恒量[25]、Mei 對稱性[26]、聯合對稱性與守恒量[27]、高階Vacco 動力學[28-29]等。 這里筆者進一步研究二階非完整Vacco 動力學，通過嵌入約束建立Vacco 型變分原理并導出Vacco 方程，建立復合作用量的全變分公式，定義Noether 對稱和準對稱變換并給出Noether 等式，建立二階非完整約束Vacco 動力學的Noether 定理，并以算例說明結果的應用。

1 二階非完整Vacco 動力學

研究由n個廣義坐標qs（s=1，2，…，n）描述的力學系統，其Lagrange 函數為L（t，qs，q˙s），Hamilton 作用量為

設系統的運動受二階非完整約束

構造復合作用量

其中λβ（t）是待定函數，或稱Lagrange 乘子。 則二階非完整Vacco 動力學的變分原理為

且滿足邊界條件

以及互易關系

將式（3）代入原理（4），得

利用分部積分，可得

將式（8）-（10）代入式（7），并利用條件（5），得

根據Lagrange 乘子法，可得

或寫成

方程（12）或（13）稱為二階非完整約束系統的Vacco 動力學方程。

以原理（4）和方程（13）為基礎建立的動力學稱為二階非完整Vacco 動力學。

如果約束是一階非完整的，即

則方程（13）退化為

這是一階非完整約束系統的Vacco 動力學方程[2-3]。

2 復合作用量的全變分公式

取無限小變換

及其展開式

其中ε是無限小參數，τ和ξs是生成元。

在變換（17）下，曲線γ變換為鄰近曲線γˉ，全變分ΔA*定義為變換前后作用量之差A*（γˉ）-A*（γ）相對ε的主線性部分。 注意到，盡管微分運算與變分運算之間存在互易關系（6），但是全變分與微分運算并不可交換。 此外，全變分與等時變分之間成立關系[7]

其中F是任意函數，于是有

因此，得到

利用公式（18），易得

將式（21），（22）代入式（20），得

此外，式（20）也可寫成

將Δt=ετ，Δqs=εξs代入式（24），得

公式（23）和（25）是復合作用量（3）的兩個全變分公式。

3 二階非完整Vacco 動力學的Noether 對稱性

對于二階非完整Vacco 動力學系統（12），如果成立

則變換（16）稱為Noether 對稱變換。

由式（20），可得

或表示為

或表示為

其中

式（27）-（29）稱為Noether 等式。

如果成立

則變換（16）稱為Noether 準對稱變換。

由式（20），可得

其中

這里GN＝GN（t，qk，q˙k）稱為規范函數。

4 二階非完整Vacco 動力學的Noether 守恒量

在對稱變換下，由式（25）得到

將Vacco 動力學方程（12）代入式（35），得到

積分可得Noether 守恒量

同理，在準對稱變換下，有Noether 守恒量于是有

定理1對于二階非完整約束Vacco 動力學系統（12），如果無限小變換（16）滿足Noether 等式（29），則該系統有Noether 守恒量（37）。

定理2對于二階非完整約束Vacco 動力學系統（12），如果無限小變換（16）滿足Noether 等式（33），則該系統有Noether 守恒量（38）。

定理1 建立了二階非完整Vacco 動力學的Noether 對稱性與守恒量的關系，而定理2 建立了Noether 準對稱性與守恒量的關系。 定理1 和定理2 統稱為二階非完整約束Vacco 動力學的Noether 定理。

5 應用舉例

例 已知Lagrange 函數為

約束方程為

Vacco 動力學方程（12）給出

方程（41）可化為

Noether 等式（33）給出

方程（43）有解

式（44）和（45）確定的變換是所論Vacco 動力學系統的Noether 對稱變換。 由定理1，可得

守恒量（46）和（47）分別由Noether 對稱性（44）和（45）導致。

6 結語

文章研究了受二階非完整約束的Vacco 動力學系統的對稱性與守恒量。主要貢獻在于：一是通過嵌入約束建立二階非完整Vacco 動力學的積分變分原理，導出Vacco 動力學方程；二是導出了Vacco 動力學的復合作用量的全變分公式，基于此建立二階Vacco 動力學的Noether 等式；三是建立了二階非完整約束的Vacco動力學的Noether 定理。當約束是一階非完整時，定理退化為一階非完整約束系統的Vacco 動力學的Noether定理。