振動輸送機橡膠彈簧優化設計

段 煜， 齊 瑞

(1.泛亞汽車技術中心有限公司， 上海 200100； 2.中鐵十七局集團建筑工程有限公司， 山西 太原 030000)

當前，橡膠彈簧以多種形式應用于機械和電氣/電子設備中，起隔離和減振的作用[1]。在實際使用過程中，橡膠彈簧存在參數穩定性差、疲勞壽命較短等問題，使得橡膠彈簧性能大打折扣，無法滿足實際使用需求。因此，有必要通過優化設計去尋找最佳的橡膠彈簧結構參數。隨著數值分析方法的普及，有限元法通常被用來預測橡膠彈簧的力學特性。Gong等[2]建立了包含溫度譜和摩擦模型的橡膠非線性模型，并將其應用到高鐵底盤懸掛的動力學分析中，研究了溫度對于橡膠元件剛度的影響。Breg[3]提出了一種包含彈性力、黏性力和摩擦力的非線性橡膠彈簧動態模型，用于描述軌道車輛橡膠懸架部件力學行為，該模型用MATLAB和GENSYS實現，并將模擬結果與測量值進行了對比，結果顯示有較好的一致性。孫蓓蓓等[4]基于懸架橡膠彈簧結構參數對軸向變形的靈敏度進行分析，以車輛的最佳非線性剛度曲線為優化目標，實現了對車輛懸架的橡膠彈簧結構參數的優化。楊善國等[5]提出了一種新型的振動篩橡膠彈簧數學模型，并用MATLAB對其進行了優化，優化后橡膠彈簧的體積有了明顯減小。張亞新等[6]針對橡膠軸箱彈簧疲勞問題提出了一種基于等應力設計理念的優化方案，將該理念用于橡膠彈簧結構設計中，結果顯示橡膠彈簧的疲勞壽命得到了增加。朱武等[7]基于有限元技術，將穩健性設計方法應用到橡膠彈簧靜剛度曲線優化設計中，利用有限的實驗次數，得到快速可靠的解決方案。榮繼剛等[8]建立了橡膠彈簧參數化有限元模型，分析了結構參數對于橡膠彈簧橫向偏移量的靈敏性，并對橡膠彈簧垂向剛度進行了優化。肖乾等[9]利用優化軟件ISIGHT結合動力學軟件UM對軌道列車的懸掛參數進行了優化，獲得了最佳懸掛參數，優化之后的軌道車輛的平穩性得到了提高。傳統的優化方法由工程師經驗結合部分試驗對橡膠彈簧進行改進，適用于結構較為簡單的橡膠彈簧；隨著對橡膠彈簧力學性能要求的提高，橡膠彈簧結構趨于復雜化，非線性有限元分析難度也在加大，傳統方法就不再適用于橡膠彈簧的開發設計。因此，有必要對橡膠彈簧進行結構優化設計，以便能充分利用橡膠彈簧性能，滿足各種設備的日常使用需求。

1 橡膠彈簧扭轉剛度靈敏性分析

1.1 橡膠彈簧仿真模型

振動輸送機主要是由振動槽體、機架、平衡體、驅動連桿、主振彈簧和支腿等部件組成。振動輸送機的振動槽體和平衡體通過主振彈簧、驅動連桿鉸支連接。電動機和驅動連桿安裝在平衡體上，平衡體與支腿之間有隔振彈簧作用，隔離振槽和平衡體部分對地面的慣性力作用，確保振動輸送機輸送穩定性[10]64。振動輸送機的結構如圖1所示，驅動連桿作為振動輸送機的關鍵部件，主要起著支撐、導向、主振彈簧的作用，對振動輸送機的振動穩定性有重要影響，其結構形式如圖2(a)所示。而橡膠彈簧作為驅動連桿的核心部件，其剛度特性是影響橡膠彈簧性能的重要因素，橡膠彈簧的結構組成如圖2(b)所示。

1-振動槽體；2-驅動連桿；3-電機橫梁；4-曲柄連桿機構；5-電機；6-支腿；7-機架；8-平衡體。圖1 振動輸送機結構示意圖Figure 1 Structure schematic diagram of vibrating conveyor

圖2 驅動連桿和橡膠彈簧的結構Figure 2 Structure of driven link and rubber spring

振動輸送機作為一種低頻大振幅的近共振機械，它是利用偏心輪的回轉驅動平衡體，然后通過驅動連桿和橡膠彈簧激振振槽沿一定方向做線性往復運動，從而帶動物料做定向拋擲運動，以達到輸送物料的目的[10]64。振動槽體和平衡體通過驅動連桿鉸接，運動方向相反，使振槽和平衡體朝相反方向振動。橡膠彈簧承受壓縮、剪切載荷作用，在振動輸送機的簡諧運動中主要發揮著主振彈簧的作用。因此，橡膠彈簧剛度特性對于振動輸送機的穩定運行有著重要意義。

利用非線性有限元分析軟件ABAQUS建立橡膠彈簧動態有限元模型。由于在橡膠彈簧中4個橡膠棒作用形式相同，為了提升計算效率，筆者建立了1/4橡膠彈簧有限元模型如圖3所示。構建了橡膠彈簧超彈性-黏彈性本構模型來表征橡膠彈簧黏彈特性，其超彈性材料參數取自其單軸壓縮試驗擬合的參數：C10=3.524 56，C01=1.523 46。其黏彈本構參數由三階Prony級數來表示,具體參數取值如表1所示。由于橡膠棒變形遠遠大于外殼和內方管，所以將外殼和內方管設置為剛體，橡膠棒采用C3D8RH單元模擬，外殼和內方管采用R3D4單元模擬，橡膠彈簧整個有限元模型共有20 612個單元，22 455個節點。由于重點關注橡膠棒變形情況，所以橡膠棒有限元模型用較小的網格劃分。橡膠棒與外殼和內方管之間設置面與面接觸，切向接觸采用庫侖摩擦，參數設置為0.2，法向接觸采用罰函數算法。為了分析方便，給外殼設置參考點Ⅰ，給內方管設置參考點Ⅱ，外殼與參考點Ⅰ，內方管與參考點Ⅱ之間設定剛體約束，外界激勵載荷都是通過作用到參考點Ⅰ和Ⅱ來實現橡膠彈簧的扭轉運動。根據橡膠彈簧動態試驗工況設置相關邊界條件，具體采用2個步驟：①靜態分析，保持橡膠彈簧內部的方管不動，給外殼施加一定的徑向位移，保持橡膠棒處于預緊和壓縮狀態；②穩態動力學分析，保證外殼不動，設置相應掃頻范圍對內方管施加振幅為1.5 mm的位移激勵。

圖3 1/4橡膠彈簧有限元模型Figure 3 1 / 4 finite element model of rubber spring

表1 三階Prony級數

為了驗證橡膠彈簧動態分析有限元模型的正確性，設計了橡膠彈簧動態扭轉試驗如圖4所示。信號發生器可以控制輸出的激勵頻率與振幅，功率放大器對信號發生器的信號進行增益，激振器通過與功率放大器連接輸出不同的激勵頻率、振幅，由力傳感器測得激振器激振力，通過LMS振動噪聲測試設備進行數據采集，而激振器激振的橡膠彈簧的位移由單點激光測振儀進行測量。整個實驗過程的測量的力-位移數據都被傳輸到LMS中，確保了數據采集的同時性。整個實驗過程中保證了車間溫度保持在常溫，在采集數據之前首先進行了3次的預循環實驗，以減小馬林斯效應的影響。通過對橡膠彈簧加載不同激勵頻率，可以獲得橡膠彈簧隨激勵頻率變化的動態特性曲線。為了驗證橡膠彈簧動態分析有限元模型的正確性，實驗測試了橡膠彈簧在振幅為2.8和3.2 mm下動態特性，將實驗采集的動態特性曲線與仿真曲線進行對比，結果如圖5所示。從圖中可以看出仿真結果與實驗結果誤差較小，驗證了有限元模型的準確性，該模型可用于后續橡膠彈簧扭轉剛度靈敏性研究。

圖4 橡膠彈簧動態扭轉實驗Figure 4 Dynamic torsion test of rubber spring

圖5 不同振幅下橡膠彈簧扭轉剛度的試驗與仿真結果對比Figure 5 Comparison of test and simulation results of torsional stiffness of rubber spring under different amplitudes

1.2 靈敏性分析

橡膠彈簧作為振動輸送機核心部件，其扭轉剛度對振動輸送機能耗有重要影響。而影響橡膠彈簧扭轉剛度因素很多，如橡膠的結構參數(高度和直徑)、材料參數(硬度)、預壓量、激勵頻率、振幅和溫度等，為了綜合考慮多個因素對橡膠彈簧扭轉剛度的影響，同時為了提高計算效率，基于橡膠彈簧動態分析有限元模型，探究了橡膠高度、直徑、預壓量、硬度、激勵頻率、扭轉角度對橡膠彈簧扭轉剛度的靈敏性。

響應面法是采用合理試驗設計，獲得一定的試驗數據，通過多項式方程來擬合輸入參數和響應值之間關系式，以此來代替物理模型完成相關的分析與優化工作。響應面法只需要通過擬合的多項式方程輸入參數變量，就能得到輸出的近似響應值，適用于解決非線性的多變量問題。

筆者選取響應面設計方法作為靈敏性分析的試驗方法，選取了橡膠直徑D、高度h、預壓量P、激勵頻率f、硬度HD和扭轉角度φ共6個因素，考慮到橡膠彈簧剛度、強度要求，筆者定義的各影響因素的取值范圍如表2所示。

表2 影響因素的初始值和取值范圍

考慮到選取的6個因素與響應值之間可能存在較強的非線性關系，筆者建立試驗因素與響應值之間的二階響應面模型，力求較為準確地描述試驗因素與響應值之間的關系。利用拉丁超立方抽樣得到200個樣本點，構建這200個樣本點與響應值扭轉剛度之間的近似多項式模型。獲得扭轉剛度與橡膠彈簧各參數之間的關系如下：

(1)

式中：X=[D，h,P,f,HD,φ]，Kd(X1)為橡膠彈簧扭轉剛度的估計值。

為了驗證所生成的響應面模型的準確性，需要對其精度進行評估。筆者采用留一法來評估模型精度。對響應面模型的誤差評估指標通常有相關系數R2和均方根誤差RMSE。相關系數R2越接近于1，均方根誤差RMSE越接近于0，表明所生成的響應面模型越準確。

(2)

(3)

響應面模型的相關系數R2=0.980 53，均方根誤差RMSE=0.025 31，證明所建響應面模型精度較高，可以較為準確地描述試驗因素與響應值之間的關系。

靈敏性分析是研究系統中參數變化對系統響應變化敏感程度的方法。一般是通過調節輸入變量在范圍內的值，觀察輸出響應值的變化情況，這樣就可以得到各輸入變量對于輸出響應值的影響程度。通過靈敏性分析可以忽略對模型輸出值影響較小的因素，確定對于模型輸出響應有較大影響的因素，提高后續優化效率。在實際工程應用中，靈敏性分析中各優化變量為離散變量，單位不統一，為了能夠量化各個因素對于輸出響應值的影響程度，使得各個因素之間能夠具有可比性，需要對靈敏性做一個統一化量綱處理[11]：

(4)

式中：Si(xi)為靈敏性，δKi為扭轉剛度的相對誤差，δxi為影響因素的相對誤差，xi為影響因素，Δxi為影響因素在xi處的變化量，Ki為xi對應的扭轉剛度，ΔKi為影響因素在xi處增量所引起的扭轉剛度值。

在分析模型對于影響因素xi的靈敏性時，其余參數取標準值，保持不變，當Si(xi)的值越大，表明xi對于模型的影響程度越大。

依據上述靈敏性函數對于橡膠彈簧的6個影響因素進行靈敏性分析，影響因素的初始值可表示為如下矢量：

X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(19,60,15,7,70,7)。

(5)

在做靈敏性分析時，由于各影響因素單位各不相同且數量級相差較大，為了便于對各影響因素做對比分析，于是對于靈敏性曲線的橫坐標進行如下定義：

(6)

將各參數代入式(4)進行計算，可以得到各影響因素對橡膠彈簧扭轉剛度的靈敏性曲線如圖6所示。

圖6 影響因素靈敏性曲線Figure 6 Sensitivity curves of influencing factors

從圖6中可以看出，橡膠彈簧的扭轉剛度隨著橡膠預壓量的增加，靈敏性呈逐步上升趨勢，但是上升趨勢在逐漸變緩，最后趨于一定值；橡膠彈簧的扭轉剛度隨著橡膠硬度、扭轉角度的增加，靈敏性呈逐步下降的趨勢，表明橡膠硬度越大，扭轉角度越大，其扭轉剛度也就越??；橡膠彈簧扭轉剛度對于激勵頻率的靈敏性呈現一種復雜的非線性關系，隨著激勵頻率的增大，橡膠彈簧扭轉剛度對其靈敏性先減小后增大，這與橡膠彈簧扭轉剛度隨激勵頻率變化規律是一致的，表明激勵頻率對其影響較大。而橡膠彈簧扭轉剛度對橡膠硬度和直徑的靈敏性幾乎不變，表明橡膠直徑和高度對橡膠彈簧扭轉剛度的影響可以忽略不計。

為了更加直觀地表示橡膠彈簧扭轉剛度對各因素的靈敏性，引入影響百分比：

(7)

式中，λi表示了第i個因素對于模型響應值的影響百分比。

計算各因素對于橡膠彈簧扭轉剛度的影響百分比，需取一基準值代入式(7)，根據圖6中擬合各因素Yi與靈敏度Si(xi)的多項式方程，將各因素的基準值代入式(7)計算；將各因素的基準值代入式(4)中可以得到橡膠彈簧扭轉剛度對各因素的靈敏性Si(xi)。

在MATLAB中對圖6中各個因素靈敏性曲線進行擬合，分別求得了S1(D)，S2(h)，S3(P)，S4(f)，S5(HD)和S6(φ)的函數關系式如下：

(8)

將各個因素的基準值代入式(8)中可得到基準值的Si(xi)，然后將Si(xi)代入式(7)中，可以獲得各個因素基準值對于橡膠彈簧扭轉剛度的影響百分比，如表3所示。

表3 各影響因素對橡膠彈簧扭轉剛度的影響百分比

由表3可以看出，橡膠彈簧扭轉剛度對激勵頻率f(影響百分比為21.99%)、預壓量P(影響百分比為16.78%)、硬度HD(影響百分比為35.35%)和扭轉角度φ(影響百分比為20.94%)較為敏感，其中橡膠彈簧扭轉剛度對橡膠硬度靈敏性最大；而對橡膠直徑D(影響百分比為2.83%)和高度h(影響百分比為2.11%)靈敏性較差，表明這2個因素對橡膠彈簧扭轉剛度的影響可以忽略不計，后續橡膠彈簧的優化設計將參考此次靈敏性分析結果。

2 橡膠彈簧優化設計數學模型

筆者對橡膠彈簧的結構、材料和預壓量等參數進行優化，尋求影響振動輸送機能耗的橡膠彈簧參數的最佳組合，以使橡膠彈簧在滿足剛度和強度條件下振動輸送機的能耗達到最低?；谏鲜龈饔绊懸蛩貙τ谙鹉z彈簧扭轉剛度的靈敏性分析結果，忽略橡膠直徑和高度對橡膠彈簧扭轉剛度的影響，選取激勵頻率f、橡膠硬度HD、預壓量P和扭轉角度φ4個因素作為橡膠彈簧優化設計的設計變量。在振動輸送機運行過程中，當橡膠彈簧扭轉剛度處于最佳范圍(亞共振)時，振動輸送機能保持較好的性能和較低的能耗[12]；同時考慮到橡膠彈簧在開發設計時各部件制造標準，對橡膠彈簧各部件的結構、材料等參數做一定約束。雖然目標函數為振動輸送機的能耗，但是在優化分析時為了計算方便，以振動輸送機的最小輸出扭矩作為優化目標。

參考橡膠彈簧開發設計時各部件相關標準，結合橡膠彈簧實際工況，對橡膠彈簧4個優化變量的取值范圍做了如表4所示的定義。

表4 優化變量初始值和取值范圍

筆者所探究的是關于橡膠彈簧扭轉剛度對于振動輸送機能耗的影響，而目前的文獻中沒有找到關于橡膠彈簧扭轉剛度對于振動輸送機功率的計算公式。為了尋求橡膠彈簧扭轉剛度與振動輸送機功率之間的關系，筆者采用響應面方法擬合出2者之間的關系式。在擬合橡膠彈簧扭轉剛度與振動輸送機輸出扭矩的多項式時，利用了圖7所示振動輸送機的ADAMS模型，該ADAMS模型已經通過加速度試驗驗證了模型的正確性。振動輸送機輸出扭矩M與橡膠彈簧扭轉剛度Kd的關系如下：

(9)

圖7 振動輸送機ADAMS模型Figure 7 ADAMS model of vibrating conveyor

以振動輸送機橡膠彈簧的扭轉剛度為約束條件，以振動輸送機的輸出扭矩作為優化目標，建立橡膠彈簧優化數學模型：

(10)

式中：M(Kd)為振動輸送機輸出扭矩的響應面函數，Kd(xi)為橡膠彈簧扭轉剛度的響應面函數，xi=[f,φ,P,HD]。

式(10)是一個非線性優化問題，利用常規的數值方法求解較為困難，筆者采用遺傳算法對橡膠彈簧的優化設計問題進行求解。

利用遺傳算法對式(10)所建的數學模型進行優化計算，得到了橡膠彈簧在振動輸送機最小輸出扭矩下的最優參數。振動輸送機最小輸出扭矩優化迭代過程如圖8所示。從圖8中可以看出振動輸送機的最小輸出扭矩在迭代到20代之后收斂。優化之后的各參數結果如表5所示。從表中可以看出：優化后振動輸送機的輸出扭矩由110 456 N·mm減小到99 135 N·mm，振動輸送機能耗減小了10.25%；且橡膠彈簧的激勵頻率更加靠近其固有頻率(11.75 Hz)，此時振動輸送機只需輸出一個較小的扭矩就可使橡膠彈簧產生較大位移，所以振動輸送機的能耗得到了降低。

圖8 振動輸送機最小輸出扭矩的迭代過程Figure 8 Iterative process of minimum output torque of vibrating conveyor

表5 優化后各參數結果

3 結論

筆者以振動輸送機橡膠彈簧為研究對象，對橡膠彈簧的動態特性進行了實驗與仿真分析，并基于分析結果對振動輸送機的能耗進行了優化，獲得了振動輸送機最小能耗下橡膠彈簧各參數結果。得到的主要結論如下：

1) 在橡膠彈簧扭轉剛度的靈敏性分析中，橡膠彈簧扭轉剛度對激勵頻率f(影響百分比為35.35%)、預壓量P(影響百分比為16.78%)、硬度HD(影響百分比為20.94%)、扭轉角度φ(影響百分比為20.94%)較為敏感，而對橡膠直徑D(影響百分比為2.83%)和高度h(影響百分比為2.11%)靈敏性差。

2) 在基于橡膠彈簧扭轉剛度靈敏性分析結果對振動輸送機能耗的優化中，采用遺傳算法對振動輸送機能耗進行優化，以振動輸送機的輸出扭矩來代表能耗高低，優化之前，振動輸送機的輸出扭矩為110 456 N·mm，優化后振動輸送機輸出轉矩減小到了99 135 N·mm，能耗降低了10.25%。

筆者所采用的這一套振動輸送機橡膠彈簧優化設計方法對實際工程中橡膠彈簧的開發設計具有一定參考意義，但是由于試驗條件限制未對優化后振動輸送機能耗進行驗證，后續應對優化結果進行試驗驗證。