基本不等式的內涵、教學價值及策略探析

劉師妤 周龍虎

【摘 要】作為高中數學的經典內容之一，基本不等式的內涵豐富，在運算對象、運算方式以及地位的基礎性上都有體現?；静坏仁降膬群卣鳑Q定其具備求最值、放縮不等式的教學價值。為實現基本不等式的育人價值，教學中應強調復雜情境和真實學習任務的促進作用，彰顯結構分析優先于代數、幾何運算的地位與作用，突出知識的精練與知識應用的協調一致性。

【關鍵詞】基本不等式；內涵；教學價值；教學改進

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將高中數學知識以主題形式進行整編，其中基本不等式不再劃歸于不等式板塊中，而是作為“主題一 預備知識”的核心知識呈現，這一變化實質上是繼“重要不等式”改名為“基本不等式”之后再次確定了基本不等式的基礎性作用?；静坏仁绞菍πW數學和差基本運算辯證關系下的符號化概括，對于研究函數的最值以及放縮數式（包括證明其他不等式）都有著奇效，可謂基本不等式不“基本”。

一、基本不等式的內涵及教學價值透析

對數學對象內涵及價值的入微探討是理解課程內容本質并進行科學教學設計的重要前提，也是學習數學的基本方式。

（一）基本不等式的內涵

理解知識的內涵是進行有效延拓的重要前提?；静坏仁角俺胁坏汝P系與不等式的基本性質，其作為從數學問題和實際生活中抽象得到的典型模型，有著豐富的實際意義；基本不等式后啟各種不等式的研究及應用，是發展學生思維、培育探索精神的重要載體?；静坏仁降摹鞍l現”方式、證明方式（包含幾何闡釋）以及變形方式多樣［1］決定了其內涵尤其豐富。要理解基本不等式中“基本”的含義，需要從三個方面展開：

第一，理解代數基本對象。一般地，要精確、簡潔地刻畫數學對象的屬性，兩個對象足矣。比如說要研究直線間的關系，可討論兩條直線的位置關系，多一條直線則顯得繁雜且多余。兩個對象間的關系是對變化情況這一無限問題的簡化表達，如“商品的價格有升有降，可抽象為商品具有兩個價格a，b（a≠b）”。從這一意義上講，二元對象能遷移到三元乃至多元對象上，從而擴大適用范圍。

第二，理解基本運算方式。對于a，b兩個正數，作四則運算是最基本的運算方式，如a+b，ab（由于減法和除法分別是加法和乘法的逆運算，故只需研究加法和乘法運算）。運算規則為實施運算提供依據，又為簡化運算提供新視角：為簡化函數求導這一過程，研究導數的四則運算公式顯得自然且必要；為精確刻畫（a+b）2與2ab的差距，基本運算方式要拓展到平方和（a2+b2）上，并形成“和式”、“積式”和“平方和式”三種運算結構大小關系的初步理解。因而要以基本運算方式作為發展學生數學運算核心素養的重要源頭。

第三，理解基礎核心地位。在基本不等式的變形及應用過程中，進一步深化了對不等式基本性質的理解，又為證明其他經典不等式如柯西不等式、排序不等式等奠定了基礎。新的數學問題的解決，往往要轉化到熟悉的、已知的問題上去。面對結構不良的代數式求最值問題，我們要有轉化為基本不等式的意識，常見的結構有齊次式等。但也要把握好基本不等式訓練的度，不要急于把復雜的變式、變形技巧很強的問題交給學生，訓練的重心應是與不等式性質相結合的常規代數變換。［2］

（二）基本不等式的教學價值

基本不等式闡明了特殊數學對象間的不等關系，屬于“特殊”的數學公式。數學公式不能像“從帽子里突然拿出的兔子”，發現它的過程本就是理解其內涵的過程；數學公式要有用武之地，否則不能帶來積極的數學學習體驗（如感悟“數學知識是相互聯系的”“數學是有用的”等）。因而剖析基本不等式的教學價值，可從公式的發現和應用兩個層面入手。

學生不僅要見證還要全身心地參與到基本不等式的發現之旅中去，因為基本不等式既是對現實重要數量關系的強抽象，又具備深厚的文化底蘊。生活經驗告訴我們：周長相等的矩形中，正方形的面積最大；等圓中弦長不大于直徑；斜邊為定長的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長；在商品價格波動的前提下，每次花相同的錢比每次買相同數量的商品更加實惠等?；静坏仁奖澈箅[藏著豐富的文化背景，如趙爽弦圖、等周問題等，這些皆是體現數學文化價值的良好載體。從基本不等式的應用層面分析，一般涉及求最值和放縮到另一代數式兩種情形，故基本不等式的教學價值可分為特殊功能和一般功能。

第一，基本不等式是求最值的常見方法之一。對于特定的“和式”或“積式”，只要滿足“一正二定三相等”，便可通過基本不等式求最值。這是顛破不滅的做法，但我們是否認真思考過“為什么運用基本不等式能求最值”？根據函數最值的定義，“一般地，設函數f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x[∈]I都有f（x）[≤]M；（2）存在x0[∈]I使f（x0）[≤]M。那么，我們稱M是函數f（x）的最大值。類似地，我們可以得到函數y=f（x）的最小值的定義”，“和式”與“積式”間的確定大小關系已經說明了條件（1），進而尋求等號成立的條件則滿足了條件（2）。因此，基本不等式是有別于函數思想求最值的另一代數式模型。

第二，基本不等式是放縮的重要方式。如同排列組合于概率的作用一般，放縮是不等式演化的重要手段。當不能滿足“二定”時，基本不等式的功能退化到更一般的情形——放縮。利用不等式的基本性質可以實施放縮，利用基本不等式也可以放縮。在解題過程中，我們發現利用基本不等式打出組合拳——“放縮+求最值”，是處理復雜代數式求范圍的常見策略。

三、基本不等式的教學改進策略探析

完整的數學教學既要體現數學內容的來龍去脈，又要彰顯其背后的思想方法以及價值觀念。為深刻理解數學知識，就應當努力做到知其然，知其所以然，知何由以知其所以然。如何做到這三點，章建躍認為應以數學的抽象之美和無處不在的現實用途吸引學生，切實提高學生的理性精神和對真與美的感知力，真正發揮數學的內在力量。［3］

（一）強調復雜情境和真實學習任務的促進作用

發揮數學學科核心素養的獨特價值離不開學科教學活動的開展及相應經驗的積累，如學科情境尤其是復雜情境的創設以及真實學科學習任務的制訂。核心素養的培育與發展以生活為土壤，以豐富的情境作為生發地，是對真實復雜情境的認知、辨別、頓悟以及情感態度的綜合體現。不同版本的新教材對基本不等式問題的引入情境各異，要么從完全平方式直接引入，以體現數學的內在認知發展規律；要么以趙爽弦圖、第24屆國際數學家大會會標的簡介引入，以體現數學文化的教育價值；要么以天平的測量問題等科學情境引入，以彰顯數學的應用價值；要么通過比較算術平均數和幾何平均數大小的動手實驗引入，以凸顯“做數學”的學科實踐活動價值。因此，基本不等式的教學可依據不同階段相機設置不同的情境，可從HPM視角擷取豐富的數學史材料，如幾類中項的歷史、古巴比倫泥板上的“和差術”、等周問題［4］等，滲透于基本不等式的新知探究和證明應用中，既為學生提供必要的思維材料，又為他們提供多感官參與和主動發現創造的機會。

任務驅動教學法是改變學生學習樣態，使學生主動建構、探究、實踐、思考、運用的教學方法。依據實際學情和教學過程的階段性，學習任務各不相同，如前置性學習任務、過程性學習任務、探究性學習任務以及后置性學習任務等。通過布置前置性學習任務，讓學生回憶并搜集基本不等式的生活原型；布置基本不等式從“代數特征闡明”到“幾何意義詮釋”的過程性學習任務，有助于引導學生進行數學的思考、表達與交流；布置基本不等式的多樣證明探究性學習任務，引導學生關注數學經典內容，促進數學知識的深入理解及遷移；布置基本不等式的應用后置性學習任務（如兩次購買同一種商品，每次購買的數量相同或總價相同，哪一種購物方式較為經濟），促使學生重新認識與鞏固基本不等式的內涵特征，培育“變”與“不變”的辯證觀。

（二）彰顯結構分析優先于代數運算、幾何變換的地位與作用

已有調查研究表明，受考試壓力和課時限制等掣肘，教師普遍不太重視基本不等式本質意義的教學［5］，導致基本不等式原理的教學淪為淺表化、膚淺化的解題應用教學。即使教師已經向學生指出了基本不等式的本質意義——平方非負性，卻不能明確揭示、深究其背后的核心等價思想［6］，從而痛失教學時機。等價思想，作為代數核心思想之一，是保證代數變形恒等性和有效性的內在條件，是形成良好數學認知結構的必備前提。隨著對數學結構不良問題的研究深入，結構分析被重新提到一個新的高度上。正如數學家張景中所言：“結構不是人主觀上隨意指派的，也不是理念世界永恒存在的，它是總結大量感性經驗上升為概念的結果?！睌祵W結構作為一種客觀抽象的數學知識存在形態或對象，早已超越早期代數學與幾何學的二分探討，返璞為與人類活動結構特征相對應的數學結構劃分，如體現估計認識活動的數學分支結構有概率、測度論或統計學。結構分析主張以整體的觀念洞悉各局部之間的內在關聯，以變化的觀點看數學結構間的轉化。更為重要的是，結構分析所帶來的公理化方法和結構方法使數學思維變得“經濟且簡縮”，問題分析和解決過程也進一步程式化和優化。

教學實踐表明，數學訓練頗為重視代數運算，尤指算法的精選，卻總是忽略算理的分析。結構分析便是算理分析的重要前提和制勝點。數學解題活動中，大到問題的表征形式，小至某個代數式的結構特征，都是某一經典問題或公式定理的鏡射，直指思考方向。隨著數學的不斷演化與發展，對數學本質屬性的描述與概括已在數量關系和空間形式基礎上增加了模式結構，可見結構分析的重要性。若從宏觀與微觀這一辨證觀出發，結構分析是明晰思考界域、明確思維方式的有力舉措。因此，由基本不等式推及一般數學內容，結構分析都應先行于代數運算和幾何變換。

（三）突出知識的精練與知識應用的協調一致性

數學學習的進階過程離不開對數學核心思想與方法的概括和對數學本質的理解，所以知識精練是必不可少的。知識精練應是教學中的常態工作，要以整體與局部的辯證觀念看待知識與知識、知識與板塊甚至系統間的關系，既做到知識內部的精練，又做到知識結構（尤指知識單元結構、主題范圍內）的精練，切實為優化數學認知結構奠定堅實基礎。數學應用不僅是檢測，也是鞏固，更是形成解題經驗、培養良好思維品質的契機。反過來，以應用作為促進知識理解的另一有效方式，對于數學能力的提高也頗有裨益。因而，教學中應確保知識精練和知識應用協調一致，讓高水平數學認知活動真實發生。

基本不等式的精練過程體現在兩個方面：一是對基本不等式多種證明方法背后所蘊含的思想方法的挖掘和分析，以體現證明推理的邏輯性和基礎性；二是借助基本不等式言語表達和圖示上的多重變式，引發深度探究。在求最值層面，基本不等式名為“不等式”，實為特殊條件下的等式，即要關注等號條件的探尋。因此，應用基本不等式要充分發揮代數中的對稱思想，體現等號成立條件的解題功能［7］，這也應被視作是解決“學生忽略等號成立條件”問題的良策。利用基本不等式實施放縮，不僅要注重等號成立的條件（即不等式的強弱），更要留心基本不等式的常見變式及推廣后的n元形式。

總而言之，教師對于教材中的核心概念和基本定理要予以充分解讀與多角度理解，尤其是教材改版中改動的地方。此外，要積極關注高考的動向，力爭教考統一，共同為學生思維發展貢獻力量。

參考文獻：

［1］鐘志華，李渺.基于變式教學的數學教學設計：以“基本不等式”為例［J］.數學通報，2019（5）：23-27.

［2］章建躍.“預備知識”預備什么、如何預備［J］.數學通報，2020（8）：1-14.

［3］章建躍. 發揮數學的內在力量 為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）：1-6，10.

［4］李小艷，吳現榮，漆青梅. HPM視角下“基本不等式”的教學［J］.數學通報，2022（6）：49-53.

［5］黃婭，張波.中學數學教師“基本不等式”部分MKT調查研究［J］.數學教育學報，2016（4）：84-88.

［6］張偉平.從基本不等式談中學生對等價思想的理解［J］.數學教育學報，2009（2）：83-85.

［7］王文清.不等式中等號成立條件的解題功能：兼談對稱思想［J］.數學通報，2009（4）：41-43.

（責任編輯：潘安）