正本清源 打通關聯 系統構建

付榮玲 李慶海

【摘? ?要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》將百分數從“數與代數”領域移到了“統計與概率”領域，把百分數作為統計量進行教學。這一全新意義的詮釋使一線教師產生了很大的困惑。教師可從百分數的產生與發展角度出發，打通百分數傳統意義與新課標賦予的統計意義的中間地帶，通過“在真實情境中比較、在多元關聯中理解、在隨機現象中刻畫”，來構建百分數的統計意義。

【關鍵詞】數學史；百分數；多元關聯；數據分析；系統構建

一、緣起：“左右為難”的百分數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將百分數從“數與代數”領域移到了“統計與概率”領域，把百分數作為統計量進行教學。這一傳統內容的新詮釋引起了大家的關注，并引出兩個極端的現象。

現象一：“單純”統計量的百分數

有教師執教“百分數的意義”一課時，為了體現統計量的意義，設計了三個任務：現場拋硬幣讓學生感受隨機性；分析某學生的投球命中率；請學生確定五年級學生跳繩達標線。由于任務多，現場收集數據時間長，學生對百分數產生的必要性認識模糊，對百分數表示統計量也是一知半解。

現象二：表示倍數關系的百分數

分數有表示具體的量和倍數關系兩種意義，百分數是分數表示倍數關系的一種特殊情況。很多教師認為，不要急著讓學生感受百分數的統計內涵，而是要先讓學生理解百分數表示倍數關系的內涵，再在應用中融入“統計”素材，讓學生慢慢感悟其統計意義。

上述兩個現象說明，對于百分數的新身份“統計量”，一線教師是有很多困惑的。從數學史的角度理解百分數的產生與發展，可以幫助教師從源頭上理解百分數的兩種意義，打通兩種意義的關聯，幫助學生建立百分數的統計意義。

二、溯源：百分數的產生與發展

百分數是特殊的分數，在日常生活中很常見，但是百分數的產生卻經歷了漫長的時間。

百分數起源于早期的商業活動，應用在利息、稅收、兌換貨幣等商業行為中。如古印度人計算利息是以100為基數的，即每100元可以獲得多少利息；古羅馬人從事商業活動時，看盈利還是虧損也是相對于100來比較的。那時的百分數，“百”是一個標準，是一個具體的量，不是分數意義上的分母。

進入現代以后，百分數作為統計數據深入日常生活，廣泛應用于經濟、社會等很多領域。其對隨機數據的刻畫、對功能的描述與大數據、決策等緊密聯系，引發數學家、數學教育家對百分數價值的新思考。這大概是百分數這一內容從“數與代數”領域移到“統計與概率”領域的緣由。

百分數產生之后，便隨著人類生活的發展而動態發展，它的意義與范圍也從刻畫具體的量擴展到刻畫抽象的數量關系，從刻畫確定的量發展到描述不確定的量，百分數的統計意義日益凸顯。

三、辨析：尋找“數認識”到“統計量”的中間地帶

百分數源于分數，發展于比較，廣泛應用于統計，從而成為與平均數一樣身份的統計量。它與分數、比、統計的關系如圖1。

（一）理解百分數意義的本質：兩個數的倍數關系

從圖1可以看出，百分數源自分數的“率”，表示兩個數或數量的倍數關系。百分數在表達時主要有兩種意義。

一是百分數表示確定數據時兩個數的倍數關系。學生要通過教材上安排的稅率、利率、折扣等問題，理解百分數的倍數關系的意義，即百分數表示一個數是另一個數的百分之幾。只有理解了百分數的意義，才能解決生活中的實際問題，也就是以往教學強調的百分數的意義。

二是百分數表示隨機數據時兩個數的倍數關系，即2022年版課標提出的百分數的統計意義。在生活中，百分數一般是在調查中得到的，它的統計意義體現為把百分數作為統計數據進行分析和比較。如某籃球隊員罰球的命中率，罰球次數的變化會引起命中率的變化，學生可以通過數據變化進行分析，并做出判斷與預測。

盡管百分數可以描述與表達確定數據的關系，也可以描述隨機數據的關系，但是本質上仍然是“兩個數量的倍數關系”。

（二）對比課標變化：打通兩種意義間的隔斷墻

百分數這一內容，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）和2022年版課標“課程內容”中的要求，既有聯系，又有區別（如表1）。

在2011年版課標中，百分數被編排在“數與代數”領域，要求“結合具體情境”理解百分數的意義，會對百分數進行形式的轉化，能解決簡單的分數結構的實際問題。在2022年版課標中則指向百分數的統計意義，要求“結合具體情境”探索百分數的意義?！疤剿鳌笔敲枋鲞^程目標的行為動詞，是指要讓學生在特定的問題情境下，獨立或合作參與數學活動，理解或提出數學問題，尋求解決問題的思路，獲得確定的結論。雖然同樣是要求“解決百分數簡單的實際問題”，目標卻指向讓學生“感受百分數的統計意義”“形成數據意識”。

因此，在教學中要打通百分數傳統意義與新課標賦予的統計意義的中間地帶。教師要通過不同素材，打通百分數兩種意義間的隔斷墻，讓學生在理解百分數意義的基礎上不斷感受其統計意義，在應用百分數解決問題的過程中形成數據意識。

四、踐行：對百分數的認識更有統計味

基于對百分數從“數與代數”領域移到“統計與概率”領域的變化，筆者依托學習內容，讓學生在比較中再現百分數便于比較的優勢，在關聯中體會百分數的作用，在隨機現象中理解百分數的統計意義，使對百分數的認識充滿濃濃的統計味。

（一）在真實情境中比較，感受百分數的描述優勢

百分數作為一種特殊的分數，是人們在兌換物品時為了方便比較而產生的，因此與分數相比，百分數有其數據描述的天然優勢。教師在教學中創設了投籃比賽的情境，讓學生在比較中感受統一標準的必要性。

1.分析數據，滲透需求

教師出示表2，讓學生比較誰的投籃水平高。學生通過觀察數據發現，需要求出投中次數是投籃次數的幾分之幾（命中率）。為了便于比較，學生或將分數化成小數，或將分數先通分再進行比較。這種方式激活了學生已有的分數表示倍數關系的意義，同時讓學生在交流中理解了命中率的意義。

2.產生沖突，激發需求

教師提問：“如果再來一個同學，是不是還是2號第一名呢？”隨即依次增加多個學生的投籃信息。學生在比較多個不同分數表示的命中率時，通分顯得非常麻煩，因此需要一個新的標準的數以方便比較，從比較中感受百分數進行數據刻畫的優越性。

3.聯系經驗，體會倍數關系

百分數的本質是表示兩個數的倍數關系。對于一個新的概念，學生需要進一步豐富經驗。因此，教師讓學生運用新的概念描述命中率的意義，建立分數與百分數的聯系與區別，在比較中體會百分數表示兩個數的倍數關系更方便。

（二）多元關聯中理解，突出百分數的刻畫價值

百分數與分數既有聯系又有區別?？梢赃m當拉長意義的理解過程，將百分數與生活經驗對接，在辨析、比較中突出百分數的獨特意義，在應用過程中挖掘百分數的本質。

1.將意義與經驗關聯，豐富概念的內涵

將百分數與學生生活經驗關聯，讓學生解釋生活中百分數的含義，用圖形表征百分數，不斷豐富百分數的內涵。啟發學生思考：離開了這些情境，百分數的本質就是表示兩個數的倍數關系。

2.將辨析與比較關聯，理解概念的外延

學生在生活中接觸到的百分數，大多數是部分量與整體的倍數關系。教學中，要通過設計題組（如圖2），打破學生已有的思維習慣，讓他們在比較、辨析的過程中打開思路，理解百分數概念的豐富外延。

學生答題時要結合實際情況對相應的百分數進行選擇。接著，教師引導學生思考：“我國小學生的近視率為什么不選100%，不選106%呢？”“神舟飛船發射成功率有沒有可能會超過100%？”“生活中什么情況下百分數可以超過100%呢？”讓學生通過思考，明確當百分數表示“部分與整體關系”時，這個百分數不會超過100%，即≤100%；當表示“部分與部分關系”“整體與整體關系”時，可以超過100%。從而豐富了百分數的外延，使學生進一步理解了百分數表示兩個數之間的關系。

3.與解決問題關聯，發掘概念的內涵

將百分數與生活中的解決實際問題關聯，讓學生在應用百分數的過程中，形成一定的數據意識，發掘百分數的意義。

結合我國小學生的近視率約是22.78%這一素材，讓學生猜一猜自己班學生的近視率是多少。隨后現場收集數據，計算出班里學生的近視率，如表3所示。教師啟發學生思考：“為什么我們班的學生近視率會那么高？根據這組數據，你有什么好的建議？”并對比整個六年級、整個學校的近視率的數據，讓學生在解決實際問題的過程中，感受到百分數就如同一把判斷視力下降程度的尺子，為大家對近視率的判斷提供了依據，感悟到百分數表示兩個數倍數關系的刻畫價值。

（三）在隨機現象中刻畫，突出百分數的統計價值

作為統計量的百分數，讓學生認識到百分數可以刻畫現實世界中的一些隨機現象，從而作出自己的判斷和預測。在教學百分數時，要讓學生感受其是對隨機現象的表達，在實踐活動中感受百分數的統計意義。

1.選擇隨機數據的素材，讓學生感受不確定性

在教學中，可以通過創設真實的問題情境，選用現實世界中的隨機現象導入百分數，如“籃球運動員的罰球命中率”“杭州城市空氣質量指數的數據”等，幫助學生理解百分數的統計意義。比如可以讓學生根據前文表2所提供的投籃比賽的數據，在多組數據的比較中體會數據的隨機性，知道兩個數的倍數關系可以用百分數來表示。

2.分析隨機現象中的數據，在決策中體會數據刻畫

通過隨機現象中的百分數來刻畫數據的分布，引導學生對一組數據中的信息進行分析、比較，利用百分數幫助人們對隨機現象進行判斷、作出決策。如對“籃球投籃比賽”的分析，在學生理解了百分數可以表示命中率之后，教師提出新問題：“如果再比賽一場，2號還是第一名嗎？”“他們的排名情況又會是怎樣的呢？”“這時我們派誰去參加比賽合適呢？”讓學生思考再比賽一場后投籃情況的不確定性，感受到百分數是對隨機數據的刻畫與表達，有助于人們對隨機事件進行判斷和預測，幫助學生形成百分數的數據意識。

3.應用實踐活動中的數據，體會百分數的統計價值

教師要引導學生在實踐活動中理解百分數，在解決問題中應用百分數，培養學生的數據意識，即在實踐中體會百分數的統計價值。如結合體育達標檢測活動，要求學生設計一個“確定跳繩標準”的活動方案。在統計過程中，先請學生依次報出自己1分鐘跳繩的個數，由教師輸入EXCEL表格。接著教師將數據進行排序，要求學生依據經驗確定等級標準，讓他們進一步體會百分數在刻畫數據中的作用。然后教師引導學生比較他們確定的等級標準與國家制定的跳繩標準，分析為什么他們定的標準遠遠高于國家制定的跳繩標準，依據這些數據想對相關體育部門提出什么建議。最后舉一反三，請學生想想生活中有類似“制定跳繩標準”的事情嗎？學生發現公交車的免費兒童身高、空氣質量天數、GDP增長速度等都是隨機數據。收集的數據越豐富，越容易幫助人們進行決策，體會百分數的統計價值。

綜上，對于小學生來說，百分數表示分率的意義是比較抽象的，其刻畫“隨機現象”又是以百分數的意義為基礎與前提的。因此，在教學百分數時，要將隨機數據作為素材引入，讓學生先理解百分數的意義，尋找百分數從“數的認識”意義到“統計量”意義的中間地帶，在真實情境中體會百分數產生的必要性，在多元經驗中理解百分數的倍數關系，在隨機現象的描述中感受運用百分數的意義，從而感悟百分數的統計意義與價值。

參考文獻：

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（1.浙江省杭州市臨平區星橋第一小學2.浙江省杭州市臨平區育才實驗小學）