蔡忠平
一、應用勾股定理探究圖形面積
例1 如圖1,在直線l 上有三個正方形,面積分別為a,b,c,若a = 5,c = 11,則最大正方形的面積b是多少?
思路點撥:根據“AAS”可證Rt△ABC ≌ Rt△BED,則BC = ED,
由勾股定理易得b = a + c = 16.
變式1:如圖2,以Rt△ABC的三邊為斜邊,分別向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB,面積分別為S1,S2,S3,則S1 + S2 = S3. (請同學們嘗試證明)
變式2:如圖3,在Rt△ABC中,AB = 4,分別以AC,BC為直徑作半圓,面積分別記為S1,S2,則S1 + S2 = 2π. (請同學們嘗試證明)
二、應用勾股定理解決折疊問題
例2 如圖4,一長方形紙片ABCD中,AD = 4,AB = 8,將長方形沿EF折疊,使點B與點D重合,求DE的長.
思路點撥:由折疊可知DE = BE.
設DE = BE = x,則AE = 8 - x.
在Rt△ADE中,AD2 + AE2 = DE2,
即42 + (8 - x)2 = x2,可得x = 5.
故DE的長是5.
變式1:如圖5,在邊長為6的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交BC于點G,連接AG,且AG平分∠BAF,則BG的長為2.? (請同學們嘗試證明)
變式2:如圖6,在矩形ABCD中,M為BC邊上一點,連接AM,DM,將△DCM沿DM折疊,使點C落在AM上的點E處. 若DE = DC = 1,AE = 2EM,則BM的長為[2√5/5]. (請同學們嘗試證明)
三、應用勾股定理探索最短距離
例3 圖7是一個長為4 cm、寬為3 cm、高為12 cm的長方體無蓋盒子,將一根長15 cm的細吸管放入盒內,吸管露出盒子的最短長度能是多少?(牛奶盒的厚度、細吸管的粗細均忽略不計)
思路點撥:在Rt△ABC中,由勾股定理得AC = 5(cm).
在Rt△ACD中,可得AD = 13,15 - 13 = 2 (cm).
因此,吸管露出盒子的最短長度是2 cm.
變式1:如圖8,長方體的長和寬均為3 cm,高為10 cm,一只螞蟻從點A出發,經過4個側面繞2圈到達點B,則螞蟻爬行的最短路線是26 cm. (提示:側面展開圖如圖9所示. 請同學們嘗試證變式2:如圖10,圓柱形玻璃杯的高為14 cm,底面周長為32 cm,在杯內壁離杯底5 cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處爬到內壁B處的最短距離為20 cm.? (提示:側面展開圖如圖11所示. 請同學們嘗試證明)