運用“待定系數法”求解多項式新定義考題

文／盛正才

新定義考題是近年來各地中考的高頻題型。本文選取一道與多項式有關的新定義考題，和大家談談“待定系數法”在解決這類問題中的作用。

例題對于代數式，不同的表達形式能表現出它的不同性質。例如代數式A=x2-6x+11，若將其寫成A=（x-3）2+2 的形式，就能看出該多項式有最小值是2；若將它寫成A=（x-1）2-4（x-1）+6 的形式，就能與代數式B=x2-4x+6建立聯系。下面我們改變x的值，研究A、B兩個代數式取值的規律：

（1）表中※=____，■=____，☆=____。

（2）觀察表格可以發現：若x=m時，B=x2-4x+6=n，則x=m+1 時，A=（x-1）2-4（x-1）+6=x2-6x+11=n。我們把這種現象稱為代數式A參照代數式B取值后移，此時后移值為1。

①若代數式C參照代數式B取值后移，相應的后移值為2，求代數式C；

②已知代數式ax2-7x+2b參照代數式2x2-3x+c取值后移，求出a+2b-c的值。

【簡答】（1）6，2，2。

（2）①C=（x-2）2-4（x-2）+6=x2-8x+18。

②設后移值為m。由題意知，a=2。

2（x-m）2-3（x-m）+c=2x2-7x+2b。

2x2+（-4m-3）x+2m2+3m+c=2x2-7x+2b。

解得m=1，2b-c=5。

∴a+2b-c=7。

【解后回顧】本例題的本質是多項式的變形，解題的關鍵是靈活運用待定系數法?，F在來看這道新定義題的簡化問題。

【簡化問題】用（x+1）冪的形式表示多項式x2+4x-2。

【分析】可先設x2+4x-2=（x+1）2+p（x+1）+q，進一步求p、q的值，有兩種不同的思路。

思路1：將（x+1）2+p（x+1）+q展開，得x2+（2+p）x+p+q+1，將各項系數對應起來，可得到關于p、q的方程組。p+2=4，p+q+1=-2，解得p=2，q=-5，即x2+4x-2=（x+1）2+2（x+1）-5。

思路2：將x取特殊值0、-1，可得-2=1+p+q，-5=q，解得p=2，q=-5。

【變式】若x=m時，B=x2-4x+7=n，則x=m+2 時，A=x2-8x+19=n。我們把這種現象稱為代數式A參照代數式B取值延后，此時延后值為2。

（1）若代數式D參照代數式B取值延后，相應的延后值為1，請直接寫出代數式D；

（2）已知代數式ax2-12x+b參照代數式2x2-4x+c取值延后，求c-b的值。

【簡答】（1）∵代數式D參照代數式B取值延后，相應的延后值為1，

∴D=（x-1）2-4（x-1）+7=x2-6x+12。

（2）2x2-12x+b=2（x-m）2-4（x-m）+c，

∴4+4m=12，解得m=2。

∴b=2m2+4m+c。

∴c-b=-16。