三變量等冪和對稱式組三題

張在明，張凌峰

（1.玉溪師范學院，云南 玉溪 653100；2.云南師范大學 實驗中學，云南 昆明 650000）

1 關于蓋爾方德恒等式

1953 年蘇聯科學院院士蓋爾方德（1906-1968）曾指出，對于，以下等式恒成立：

由于介紹過于簡略，讓讀者不知來龍去脈，70 年來，對于恒等式（1），頗有“前不見古人，后不見來者”的感嘆.

近年來，筆者通過研究，對式（1）有了一點心得和發現.

首先，用對稱的角度來研究，等式兩邊的代數式都是對稱的，對稱中心的代數式就是，從而可以考慮下列式組：

為了以后對比的需要且不影響問題的實質，將（2）變成（3）

再取C為c+2b（?。?/p>

對于（4），計算后得

以及

從而，G,H是“跨層相等”式組

為5 次等冪和對稱式組，對照恒等式（1）有下列恒等式（8）與之等價，仍舊叫做蓋爾方德恒等式：

按照慣例，這時有

有意思的是，與（4）式相伴，下列式組：

也可組成5 次等冪和對稱式組：

實事上，這時

其相應恒等式為

想到恒等式（1），孤身只影70 年，而今有了（8）與（12），恰好可以引用北宋詞人晏幾道（約1038～約1106）的名句來咀嚼回味：“落花人獨立，微雨燕雙飛”.

2 幻方與5 次等冪和

2000 年12 月，湖北南方城鄉建筑學校李渺老師發現一個7 階5 次特優完美幻方，見圖1（1）.不久，其又提供第2 個特優完美幻方，見圖1（2）.

其對角線上的數組成5 次等冪和數組

以及

將此數組對稱化（同時減去對稱中心數25）得到（只寫半組）：

以及

發現1：它們都是“跨層（2，4）相等”數組

發現2:（16）數組依次相應加上1，2，3，便是（15）

發現3：前兩數之和等于末位數.

于是猜想，有下列“跨層相等”式組：

或簡化成（令C=-3b+c，代入（17），再將C1換成C）:

事實上，對（18）有

若將（18）作點改變，即

這時有

因此（18）（20）都可以構成5 次等冪和對稱式組！

有趣的是，據我國著名科普作家、娛樂數學專家談祥柏老先生介紹，“跨層相等”數組

還是一位叫戈德曼的外國人偶然發現的，他受到了贊揚后還說：“你們能找出第二個例子嗎？”

從前面的介紹可以看出，李渺老師將兩個7 階完美幻方中找到5 次等冪和對稱數組，不僅開啟了我國幻方研究者對等冪和數組的關注，也找到了“跨層相等”的用處，溝通兩者的關聯.

應該說，從2000 年12 月31 日到2003 年4 月10 日短短不到3 年的時間里，高次特優完美幻方的研究就取得了驕人的成果.

3 李文13 階7 次等冪和數組的推廣

2002 年3 月15 日，李文老師給出13 階7 次特優完美幻方，其對角線數組為7 次等冪和數組：

（只寫出數組的一半）.

由于對稱，將（22）各項減去85 后得：

根據（23），可得“跨層相等”式組

在（24）中以 -6b+C代替C，最后得

并稱（25）為“跨層相等”的標準式組.

（24）（25）中C的系數太漂亮了，可能是得益于13 階完美對稱幻方的數字結構！對于式組（25），經計算得

這樣一來，有3 變量7 次等冪和式組

按照習慣記法，得

若取a=85 ，b=1 ，c=6 ，根據（5）（6）（7）（9）可得，，，……，這正是李文老師的結果.

趁此機會，再介紹一系列C的系數，皆為1，2，3……的“跨層相等”的式組.

與6式比較一下！

王青建主編《數學開心辭典》第25 頁介紹金蟬脫殼等式：

k=1，2.加變量得

k=1，2，

顯而易見（2*）式比（1*）式更進了一步.

又一組3 次等冪和式組

9 變量3 次等冪和對稱式組

設

這樣的等冪和代數式組，還可以繼續做下去，取材于23，29，47，64，65 階特優完美幻方的對角線數組.事實上，本文中的十多例“跨層相等”式組正是使用曹陵老師專著《幻方再論》（香港天馬圖書有限公司2003 年12 月31 日出版）一書中介紹的諸如李渺，李文，蘇茂挺，丁偉明以及曹陵關于高次特優完美幻方的研究成果，筆者將有關等冪和數組，基于對稱性，推廣成3 變量的等冪和代數式組，實現了從一數組到無窮多數組的飛躍.遺憾的是，目前對二十階以上的特優完美幻方的工作還有待進行，因此本文更多的是起到一個拋磚引玉的作用.