（1+1） 維混合KdV 方程的Weierstrass 橢圓函數解

王 輝,關思宇,秦 路

（1.河南工程學院 理學院, 河南 鄭州 451191;2.鄭州市中原區教育局,河南 鄭州 450007）

對非線性演化方程精確行波解的研究在非線性物理學領域中起著非常重要的作用,針對一些結構復雜且具有物理應用背景的演化方程,研究其精確解,可以使一些物理現象更合理地展現在人們面前,同時也可以使科學技術獲得更大進步[1]。 目前,一些系統且成熟的方法應運而生,被應用于求解各類非線性演化方程的精確解,較常見的有反散射方法、達布變換和貝克隆變換、雙線性直接導數方法、Nonlocal 對稱方法、Tanh 類雙曲函數法、橢圓函數法,以及更加復雜的代數幾何方法等[2-8]。 不同的方法有不同的特點和適用類型,得到的孤子解也形態各異,比如Peakon 解、Loop 解、扭孤子解、鐘孤子解、擬周期解等。 近年來,李德生等[9]提出了構造孤子方程Weierstrass 橢圓函數解的新方法,即廣義的投影Riccati 方程展開法。 該方法對于同秩或非同秩的演化方程均適用,已大量應用于有著重要物理意義的非線性演化方程中。

（1+1） 維混合KdV 方程為

式中:a0、a1、a2≠0,β ＞0。

方程（1） 是描述非線性晶體傳播方程u1+a1uux+a2u2ux+βuxxx= 0 的拓展方程,目前對其研究較少。翟子璇等[10]利用F - 展開法取特定參數,獲得了孤立波解。 舒級等[11]使用G′/G擴展法,獲得了該方程的Jacobi 橢圓函數解、三角函數解和有理解。 陳南等[12]使用Painlevé 截斷展開法對該方程進行求解,得到了指數形式的精確解。 本研究主要借助廣義的投影Riccati 方程展開法,得到新的具有雙周期性的Weierstrass橢圓函數解。

1 廣義投影Riccati 方程展開法

廣義投影Riccati 方程指的是函數F（ξ） 、G（ξ） 滿足

在文獻[9] 中,F（ξ） 、G（ξ） 具有如下關系:

則方程（2） 就有如下形式的Weierstrass 橢圓函數解:

而如果F（ξ） 、G（ξ） 滿足另一個新的關系:

則方程（2） 此時的Weierstrass 橢圓函數解就會變成如下形式:

其中,Weierstrass 橢圓函數滿足三次方程

顯然,式（5） 要比式（3） 更加復雜,但得益于Mathematica 數學軟件的符號計算功能,最終得到的Weierstrass 橢圓函數解也更加豐富。

2 （1 + 1） 維混合KdV 方程的Weierstrass 橢圓函數解

在行波變換u（x,t） =u（ξ） ,ξ=kx+ct下,式（1） 約化為如下常微分方程:

式中:u′= du/dξ。

對式（8） 關于ξ積分一次,取積分常數為0,有

設u（ξ） =b0+b1F（ξ） +b2G（ξ） ,將其代入式（9） 中,并充分利用式（2） 和式（3） ,可將式（9） 轉化為

由此,可以得到一個關于未知參數b0、b1、b2、k、c的代數方程組:

利用Mathematica 軟件的符號計算功能,可知該方程組有如下解（pq ＜0,a2＜0） :

由此,可得方程（1） 有如下精確解:

方程（7） 的解與Jacobi 橢圓函數cn（ξ;m） 有如下關系:

式中:m為Jacobi 橢圓函數的模,;e1、e2、e3是方程4z3-g2z-g3= 0 由大到小的3 個根。

以式（14） 為例,可以寫成如下形式:

由于當m→1 時,即e2→e1時,有cn（ξ;m） →sech（ξ） ,sn（ξ;m） →tanh（ξ） ,dn（ξ;m） →sech（ξ） ,因而在退化的情形下,可得方程（1） 的新孤波解:

3 結語

本研究利用Weierstrass 橢圓函數δ（ξ;g2,g3） 及其導數來對（1+1） 維混合KdV 方程進行求解。 Weierstrass 橢圓函數和它的導數具有雙周期性,因此通過投影Riccati 方程展開法獲得的解也具有雙周期性,同時這些雙周期性的解可以退化為孤波解和單周期三角函數解。 經驗證,此方法對于同秩和非同秩的非線性演化方程均具有一定的適用性,但是否對所有具有孤子解的可積系統都適用仍需要進一步研究。