基于參考點信息預測的動態多目標優化經濟決策模型研究

徐奇　侯星　吳亞婷

摘 要：在經濟決策的許多應用領域中存在著大量的動態多目標優化問題，根據動態多目標優化問題具有隨環境變化而改變的特性，提出了一種基于參考點信息預測的動態多目標優化決策模型（RGPS）。當環境發生變化時，通過選取當前環境下關聯個體較多的參考點，將同一參考點下的個體作為子種群，每個子種群的質心作為預測點集。利用歷史種群信息，對歷史時刻關聯到同一參考點的個體質心建立時間序列，通過灰色預測策略產生預測個體；同時為了增加種群的多樣性，在每個預測個體加上擾動。實驗結果表明RGPS模型在處理動態多目標經濟決策問題的有效性。

關鍵詞：動態多目標優化；灰色預測；參考點；時間序列

中圖分類號：F224.3? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1671-9255（2023）01-0043-05

一、文獻綜述

隨著中國開放經濟已成體系并日益復雜，在科學管理與經濟決策的許多應用領域中存在著很多動態多目標優化問題（DMOPs）[1]，例如，在經濟決策問題中既要使社會總產值有較高的增長速度，又需要保持產品一定的增長速度，同時還要使環境污染程度盡可能降低。牛鴻蕾等人根據低碳經濟發展目標對工業行業進行重新歸類，并根據動態多目標優化模型，以預測未來5年中國工業結構調整的碳排放效應。[2]文旭等人針對現有環境經濟調度模型無法滿足污染氣體排放風險管理的現狀，建立計及污染氣體排放風險的多目標隨機動態環境經濟調度模型，其仿真實驗證明了所提模型的有效性。[3]動態多目標優化問題中目標之間難以進行比較，且目標之間相互沖突，相關參數可能隨著外部環境的變化而改變，因此，解決動態多目標優化問題要考慮如何在環境變化時較快地找到當前時刻的最優解集，以響應環境變化。

通常，一個具有 維決策變量， 個目標函數的DMOPs定義為：

其中， 為時間變量，f=（f1，f2，…，fm）是與 相關的 維目標函數，x=（x1，x2，…xn）為 維決策變量， 為決策空間， 和 分別為不等式和等式約束。[4]

當前，根據求解DMOPs不同動態處理策略，可以分為基于記憶的策略、種群多樣性保持策略和基于預測的策略。[5-10]相對于其他策略，預測策略有著更加廣泛的適用性，通過尋找問題的變化趨勢來生成符合環境變化規律的初始種群。預測策略能否有效的引導種群進化依賴于每個歷史環境獲得最優解集的質量和從歷史環境中獲得有效的引導種群進化的信息。Wang等人提出了一種基于灰色預測模型的預測方法（GM-DMOPs），通過將種群分為多個聚類，利用每個聚類的質心建立灰色預測模型，生成新環境下的種群個體，實驗結果表明了將灰色預測策略引入DMOPs的有效性。[11]丁進良等人提出了一種基于參考點預測策略的模型，通過對關聯到相同參考點的個體建立時間序列，使用線性回歸預測模型產生新環境下的初始種群以實現快速響應環境變化，加快種群在新環境下的收斂速度。[12]李二超等人提出了一種基于參考線預測策略的模型，通過記錄每個參考線關聯的個體在環境變化初始時和個體自主進化后個體位置的變化，以預測最優個體所在的方向。[13]盡管這些模型能夠較好地響應環境變化，但在環境變化過程中，如何迅速收斂仍然是動態多目標優化問題的難點之一。

本文基于文獻[11]中的灰度預測模型提出了一種基于參考點的灰度預測模型（RGPS），在環境變化后，利用結構化參考點和種群個體關聯的策略來記錄歷史信息，選取當前環境最靠近真實Pareto前沿面（PF）的參考點集，利用歷史種群信息，對不同環境且關聯在同一參考點下的個體的種群質心作

為一個時間序列，對每一個時間序列利用灰度預測策略預測產生新環境下的個體，從而引導種群進化方向，加快模型的收斂速度。通過對FDA和DMOP測試函數集上的7個標準動態測試函數的實驗[4，140]，表明了RGPS模型具有更好的收斂速度，能夠快速地對環境變化做出響應。

二、基于參考點信息預測的動態多目標優化決策模型（RGPS）

在本節中，我們將詳細描述RGPS模型的構建過程，該模型受到高斯逆建模方法的影響。[15]為了清晰和易于理解，整個RGPS模型分為預處理和模型搭建兩個主要部分，其中（一）～（三）小節主要介紹RGPS模型的參考點生成方法、環境與參考點的關聯策略及灰度預測模型的運行機理，（四）～（五）小節主要介紹種群初始化及RGPS模型的運行機理及步驟。RGPS模型主要是利用均勻分布的參考點信息加快個體與參考點的關聯效率，利用歷史種群信息尋找個體種群質心的簡化方法來預測新環境下的個體，從而加快預測模型在新環境下的收斂速度。

（一）基于高斯逆建模方法的個體關聯

本文采用高斯逆建模方法設計生成均勻分布在超平面上的參考點。對于給定的 個目標問題，在每個軸上具有均勻間距 的歸一化超平面上生成 個點。設 是每個目標軸的等距劃分數（即 ），生成的參考點個數 計算為：

圖1為三目標優化問題參考點生成示意圖，其中 （ ）， 。

參考點與個體的關聯方式如下：首先，連接每個參考點和原點作為該參考點的參考向量。然后，計算個體與每個參考向量的垂直距離，最后個體將與距離最小的參考點進行關聯。圖2給出兩目標問題中個體 與參考點 的關聯示意圖。

（二）選取預測個體

當環境發生變化后，種群會自主向當前環境下的PF方向進化。研究表明[16]，隨著種群進化，距離真實Pareto前沿面的參考點關聯個體越多。因此，每個參考點信息對預測過程并非同等重要?；谶@一特點，本文選出當前環境下關聯個體較多的參考點，將同一參考點下的個體作為子種群，每個子種群的質心作為預測點集，利用歷史種群信息，比對同一參考點下質心位置的變化，以反應環境變化的方向。具體步驟見方法1。

方法1 預測個體選取策略

Step 1：利用第一小節方法對當前種群個體進行參考點關聯。利用非支配排序算法，記錄每個個體所在支配層信息。

Step 2：計算各參考點關聯的個體數 ，并進行降序排列，選取前 個參考點。其中，若兩個參考點關聯個體數一致，則選擇關聯的個體支配層靠前多的參考點信息。//H為參考點個數。

Step 3：根據公式（3）將當前環境 時刻選取的參考點 關聯的個體求其質心。

其中， 為該參考點關聯的個體數，xm（m=1，…，p）是 關聯的個體。

（三）構建基于參考點的灰度預測模型

灰色預測模型是灰色系統理論的重要部分，在處理部分信息不完全或不確定的系統是非常有效的。[017-0]其通過識別系統因素之間發展趨勢的相異程度，找出無序、不規則的原始數據中的內在規律，將原始數據變成規則的數據序列，以建立預測模型進行預測。

在灰色預測模型中，研究人員最常使用的預測模型是GM（1，1）。假設 為樣本原始數據序列，GM（1，1）模型為， 。其中，a為發展灰數； 為內生控制灰數； 是原始數據通過使用累加生成新序列 （， ）。

然后進行累減還原，可以計算出所需要的預測值：

GM（1，1）預測模型是單變量模型，只能預測單個值，不能直接用于求解動態多目標問題。Wang提出了一種可以處理動態多目標問題中多變量問題的方法[11]，其依據k-mean聚類的方法求種群質心，但隨機初始化質心位置會對最后的聚類結果有很大的影響。因此，本文根據參考點信息從四個時刻的子種群中選擇同一參考點產生的質心點構建一個時間序列，建立灰色預測模型，對 時刻的種群個體進行預測。

假設決策空間為 維，種群規模為 ，根據3.2節從 時刻選取 個參考點。將從環境 時刻選取的參考點 關聯的個體種群 通過式（3）求得種群質心為 ；同樣，根據歷史信息求出 ， ， 時刻下參考點 關聯的個體種群的種群質心 ， ， 。

根據個體維數計算每個質心點的平均值 ，構建一個時間序列 ，通過式（4）預測新環境 的平均值 。

當樣本數據可以預測，那么每個變量的歷史數據之和與所有數據之和的比值可以作為對變量的比值估計。假設 的預測值為 ，通過 計算得到質心點的和值，根據分配比例 可以將和值分配給每個分量 ， 通過式（5）確定：

根據式（6）可得到下一環境 時刻的預測個體：

（四）初始化種群

為了使群保持良好的多樣性和收斂速度，將新環境 時刻的初始種群 分為記憶種部分、預測部分和隨機部分。其中，記憶種群從 時刻種群中選擇排名靠前的 個體構成。對于預測部分， 是新環境中參考點 的預測個體，假設在每個預測個體附近生成 個個體，其通過式? （7）在預測個體附近產生：

其中， 是預測產生的個體； 是標準偏差，定義為：

其中， 是決策空間維數。其余的隨機部分中的個體通過隨機方法生成，個數為 。

（五）RGPS模型建立步驟

RGPS模型以GM-DMOPS為基本框架[11]，當環境發生變化時，利用參考點信息對下一時刻種群進行預測，具體建立步驟如下：

Step 1：設置初始化參數，最大進化代數 ，種群規模為 ，初始環境 ，環境變化幅度 ，環境變化頻率 ；

Step 2：初始化： ；初始化種群 ；當前進化代數 ；

Step 3：環境檢測。如果環境發生變化，則跳轉步驟4，否則，跳轉步驟9；

Step 4：if? ?do；

Step 5：根據第二小節選出參與預測的參考點 ；

Step 6：根據第三小節預測生成下一時刻的個體；

Step 7：根據第四小節確定產生種群大小為 的預測種群作為下一時刻的初始種群 ；

Step 8：end if；

Step 9：對當前種群進行進化操作，根據第一小節方法將個體與參考點關聯，并存儲種群信息；

Step 10：判斷是否滿足停止條件。若滿足，則停止；否則， ，跳轉步驟3。

三、實驗數據分析

（一）測試問題

本文選取了7個FDA系列和DMOP系列作為測試函數。在7個測試函數中，FDA系列問題的決策變量之間是線性相關的，DMOP系列問題是對FDA系列問題的拓展。其中，FDA1、FDA4和DMOP3屬于第一類問題，PS隨時間變化，PF不隨時間變化；FDA2和DMOP1屬于第二類問題，PS不隨時間變化，PF隨時間變化；FDA3和DMOP2屬于第三類問題，PS和PF都隨時間變化。

（二）評價指標

本文采用兩個評價指標來評價算法性能，具體如下：

1．反向世代距離[19]，IGD（Inverted Generational Distance）

IGD用來評估種群的收斂性和種群的多樣性，算法性能越好，IGD值越小。公式如下：

其中， 為真實PF中的種群個體數， 為真實PF中的每個個體到求出的種群個體的最短距離。

2．Schott的間隔度量[20]，SP（ spacing metric）

SP是通過計算所求解集在目標空間的分布性來評價模型的性能。SP值越小，說明求得的解集分布越均勻，公式如下：

其中， 是算法求出的每個個體到真實PF中的個體最小距離， 為 的均值， 為求出的種群個體個數。

（三）參數設置

（1）基準函數參數設置：測試函數環境的變化頻率 ，環境變化的嚴重程度 ，最大迭代次數 。即對每個測試函數設置20個環境變化，算法運行300代停止，每個算法獨立運行30次。

（2）種群進化部分參數設置：種群規模 =200，交叉概率為0.9，變異概率為0.1。

（3）預測過程選取參考點個數： 。

（四）實驗結果分析

對于每一類測試問題，本文將所提RGPS模型與DNSGA2-B和GM-DMOPS進行了對比[8，11]，分別在7個測試函數上運行30次。3種模型性能評價指標IGD和SP統計均值見表1。

通過對比表1中數據，可以看出，本文所提RGPS模型的IGD值和SP性能指標在大部分測試函數上都優于DNSGA2-B和GM-DMOPS模型。

通過選取3種算法在7種測試函數的部分時刻的Pareto最優解集， RGPS模型在大多數測試函數中前期表現出了更好的收斂性，但是分布性較差，這是因為在進行參考點個體關聯時，初始種群分布不均勻，有些參考點并未關聯個體，從而陷入局部最優解，但經過進化，種群的分布性得到了改善。在處理第二測試問題（FDA2，DMOP1）和第三類測試問題（FDA3，DMOP2）時，測試函數在環境發生變化后，其PF會發生變化，RGPS模型能夠根據歷史參考點信息，更好的對環境變化后的種群進行預測，在保持種群收斂的同時，仍然有較好的分布性。整體來看，RGPS模型相較于DNSGA-II和GM-DMOPS模型表現更好，所得解集分布較為均勻，更加接近測試函數的真實前沿。

四、結論

經濟決策的許多應用領域都存在著大量的動態多目標優化問題。對于求解動態多目標優化問題，在環境發生變化后快速找到當前環境下的最優解集，是設計算法模型的研究重點。本文設計了一種基于參考點信息預測的動態多目標優化模型，當環境發生變化后，該模型選取當前環境最靠近真實Pareto前沿面的參考點集，利用歷史種群信息，對不同環境且關聯在同一參考點下的個體的種群質心作為一個時間序列，對每一個時間序列利用灰度預測策略預測新環境下最優解的潛在分布區域，加快模型響應環境變化的速度。通過與其他模型在7個標準測試函數上的對比，證明了RGPS模型在平衡種群多樣性和收斂性的同時，能夠快速響應環境變化，可以適用于多種動態多目標優化問題。

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Research on Dynamic Multi-objective Optimization Economic Decision Model Based on Reference Point Information Prediction

Xu Qi，Hou Xing，Wu Yating

（School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University，Huaibei， Anhui 235000）

Abstract：There are a lot of dynamic multi-objective optimization problems in many application fields of economic decision-making. According to the characteristics of dynamic multi-objective optimization problems changing with the environment， this paper proposes a dynamic multi-objective optimization decision model （RGPS） based on reference point information prediction. When the environment changes， by selecting the reference points with more related individuals in the current environment， the individuals under the same reference point are taken as the subpopulation， and the centroid of each subpopulation is taken as the prediction point set. Using historical population information， a time series is established for the individual centroids associated with the same reference point at historical time， and the predicted individuals are generated by the grey prediction strategy. At the same time， to increase the diversity of the population， perturbation is added to each predicted individual. Experimental results show that RGPS model is effective in dealing with dynamic multi-objective economic decision problems.

Key words： Dynamic multi-objective optimization; Grey forecast; Reference point; Time series

收稿日期：2023-02-06作者簡介：徐奇（1995－? ），男，安徽蚌埠人，淮北師范大學計算機科學與技術學院碩士研究生。