一維鏈上的觀點演化

李婷婷, 白冬雪, 王 鵬, 霍 杰,2, 王旭明,2*

(1.寧夏大學 物理與電子電氣工程學院,寧夏 銀川 750021; 2.寧夏沙漠信息智能感知重點實驗室,寧夏 銀川 750021; 3.寧夏大學 前沿交叉學院,寧夏 中衛 755000)

觀點演化深刻影響著社會結構,因而廣受關注. 在觀點更新過程中,個體容易受與自己關系親密、觀點較接近朋友的影響[1-2],最終群體觀點可能形成一致或分化的演化結果.觀點一致和觀點分化所形成的主流文化和亞文化會對政府決策、經濟發展和文化交流等領域產生重大影響. 因而,研究群體觀點演化的動力學機制具有重要的意義.

近年來,在統計物理學、社會心理學和傳播動力學等交叉領域,觀點動力學已成為研究者的“新寵”. 作為先驅,1956年French首先采用簡單的離散數學模型探索群體的復雜行為[3]. 隨后,出現了該模型的多種變體形式[4-13]. 在這些早期模型中,個體觀點通過離散的數+1(支持)、-1(反對)和0(中立)進行表示. 其中,投票者模型[11]、元胞自動機模型[12]、多數者投票模型[13]等是離散觀點動力學模型中的典范. 雖然個體的離散觀點狀態可以清晰地反映其對事物認同或者反對的態度,但難以刻畫觀點狀態的時間變化過程. 1964年,Abelson提出了連續時間模型[14]. 十年后,DeGroot建立了第一個連續觀點動力學模型——DG模型[15]. 基于此,先后建立了DW[16]和HK[17]等模型. 在這類模型中,個體的觀點狀態用[-1,+1]內的連續變量表示.

作為統計物理學的經典模型,Ising模型已經被廣泛應用于探索社會現象的基本機制[18],如選舉過程中的投票機制、證券市場股價的形成機制、集群行為等[19-21]. Sznajd模型[22]便是研究觀點演化動力學的范例. 在此基礎上,Roni Muslim等人在二維和三維網絡中研究了觀點分化、一致等的動力學機制[23]. 在Sznajd模型中引入大小相同且彼此具有強耦合關系的一維鏈,Shang等人研究了耦合對系統觀點演化的影響[24]. 此前,研究者已對一維鏈上的觀點演化進行了多種嘗試[25-28]. 一個重要結論是,同步更新規則下,系統觀點很難達成一致[26-29],即當所有個體的觀點更新取決于前一時步的狀態時,群體觀點的演化將呈現分化特征. 也有不一樣的結果,如Slanina等人對Sznajd模型進行了Ochrombel修正,發現能夠實現觀點一致,且觀點一致所需時間隨系統大小的增加呈對數增長[29]. Wang等人借助Ising模型,討論了觀點分化、觀點一致的統計物理學理論基礎[30].

社會系統中,從眾和特立獨行是個體常見的兩種心理學特征[31]. 本文基于Sznajd模型構建了新模型,并將這兩種特征分別對應于最近鄰和次近鄰個體間的作用規則,把個體的離散觀點推廣為連續觀點. 借助蒙特卡洛模擬,在一維鏈上探索系統中觀點演化的動力學機制.

1 最近鄰和次近鄰影響下的觀點動力學模型

系統由N個排成一維閉合鏈的個體組成,記為(1,2,…,i-1,i,i+1,…,N).在任意時步t,個體的觀點表示為Si(t),Si(t)∈[-1,+1].當Si(t)>0時,表示個體i在t時步對事物持認同態度.Si(t)越大,認同感越強,而Si(t)=1表示個體對事物完全認同.相反,Si(t)<0表示個體i在t時步對事物持反對態度.Si(t)越小,反對態度越強烈,Si(t)=-1表示個體對事物完全反對.

隨機選擇兩相鄰個體i和i-1(相應的觀點為Si和Si-1),作為個體i+1觀點更新方式的參照,觀點更新規則示意見圖1,其中三角形代表個體持認同態度,正方形代表個體持反對態度,圓圈代表被更新觀點的個體.箭頭由產生影響的個體指向被影響個體.該個體的觀點更新遵從以下2個規則.

圖1 觀點更新規則示意圖

ⅰ)“最近鄰作用”規則

若Si-1(t)Si(t)≥0且Si(t)≠0,則個體i+1更新后的觀點狀態Si+1(t+1)的取向與最近鄰i的Si(t)的取向一致(圖1a),觀點更新的規則為

Si+1(t+1)=Si+1(t)+asign(Si(t))e-|Si-1(t)-Si(t)|,

(1)

其中:a為最近鄰影響強度,a∈[0,∞).a越大,最近鄰對個體觀點的影響越大.在該規則下,個體的觀點有與兩個鄰居的觀點保持一致的傾向性,這可以表征社會中個體的從眾心理.

ⅱ) “次近鄰作用”規則

若Si-1(t)Si(t)≤0且Si-1(t)≠0,則個體i+1更新后的觀點狀態Si+1(t+1)的取向與次近鄰i-1的Si-1(t)的取向一致(圖1b),觀點更新的規則為

Si+1(t+1)=Si+1(t)+bsign(Si-1(t))e-|Si-1(t)-Si(t)|,

(2)

其中:b為次近鄰影響強度,b∈[0,∞).b越大,次近鄰對個體觀點的影響越大.在該規則下,個體具有學習他人觀點,以期望在局部范圍內觀點具有差異性,這可以表征社會系統中個體追求特立獨行的心理特征.

為了保證個體觀點在演化過程中的有界性,當個體更新后的觀點Si(t)>1時令Si(t)=1,而當Si(t)<-1時令Si(t)=-1.

2 模擬結果與分析

模擬選取N=100,并且為了消除初始觀點對演化結果的影響,采取相同的隨機初始化.圖2給出了不同最近鄰影響強度a下的時間序列.圖中不同形狀的圖線分別代表100個個體的觀點狀態.圖2表明在不同影響強度a下,系統穩定后觀點均達成一致,并且隨著a的增大,系統達到穩定狀態所需時間t*變短.這意味著增強最近鄰影響有利于促進觀點的收斂.

圖2 固定b=0.02,不同a下的觀點演化時間序列

圖3展示了系統達到穩定狀態所需時間t*與最近鄰和次近鄰影響強度a、b間的關系.由圖3a可見,在給定的次近鄰影響強度b下,t*隨著a的增大而減小,即收斂速度與影響強度a存在正相關性.具體為t*與a之間存在冪律關系,t*∝a-k.這一結果產生的原因可能在于a較大時個體觀點受到最近鄰的影響較大,個體容易快速地靠近其觀點,從而實現個體間觀點的快速融合、形成穩定的觀點團簇,減少系統達到穩定狀態所需時間.

由圖3b可見,在給定的最近鄰影響強度a下,隨著b的增加,t*總體呈現先減小后增大的趨勢.依據規則,我們知道次近鄰作用會促進個體間觀點形成差異,不利于觀點的融合和達成共識.因此,當系統的最終狀態為觀點分化時,b的增加有利于促進系統達到穩定;而當系統最終狀態為觀點達成一致時,b的增加會抑制系統達到穩定.最終,這導致隨著b的增加,系統達到穩定狀態所需時間t*呈非單調變化.

接著,我們研究最近鄰和次近鄰共同影響下系統觀點演化表現出的動力學特征.系統的穩態相圖見圖4,其中a∈[2.5,10]且b∈[0,7.4]、a∈[1,2.49]且b∈[0,10]和b∈[7.41,10]、a∈[0.2,0.5]且b∈[8,10]區域內分別表示在相空間中系統的穩態觀點達成共識、形成分化和非極端觀點,圖中的穩態觀點在t=100 000時步處取得.圖4顯示系統的最終狀態觀點在a-b參數空間內呈達成一致(+1或者-1)、形成分化(+1和-1)或非極端觀點(Si(∞)∈(-1,1))等多種形式.這與文獻[7-10]用其他模型得出的結果類似.

圖4 在a-b參數空間下系統的穩態相圖

為了研究系統出現上述演化結果所經歷的觀點演化過程,本文將在給定參數組合(a=1.06,b=0.65)下觀察觀點演化過程(圖5a).在t≥157時步,系統穩定后觀點分化為+1和-1(圖5a);在t<157時步,觀點在[+1,-1]上振蕩,并且個體的觀點狀態混亂且變化沒有規律(圖5b).隨著t的增加,個體的觀點狀態分布逐漸呈現出有序性(圖5c～圖5e).

圖5 a=1.06,b=0.65時觀點演化時間序列以及不同時步觀點狀態分布

為了探討觀點演化過程中個體間的相互影響. 我們在系統中選取若干相鄰個體,觀察其觀點演化過程(圖6).

圖6 6個連續個體的觀點演化時間序列及其放大圖

以個體84和個體85為觀點傳播源,從圖6b可以看出,在t=85時步,個體84與個體85的觀點狀態取向一致,均為負(S84(85)<0,S85(85)<0).根據“最近鄰作用”規則,個體84和個體85分別對其最近鄰的個體83和個體86產生影響.在t=86時步,“被影響后”個體83與其最近鄰個體84的觀點狀態取向一致,均為負(S83(86)<0,S84(86)<0),個體86與其最近鄰個體85的觀點狀態取向一致,均為負(S86(86)<0,S85(86)<0);從圖6c可以看出,在t=105時步,個體84與個體85的觀點狀態取向不一致(S84(105)>0,S85(105)<0).根據“次近鄰作用”規則,個體84和個體85分別對其次近鄰個體86和個體83產生影響. 在t=106時步,“被影響后”個體86與其次近鄰個體84的觀點狀態取向一致,均為正(S86(106)>0,S84(106)>0),個體83與其次近鄰個體85的觀點狀態取向一致,均為負(S83(106)<0,S85(106)<0).以上分析表明,在最近鄰和次近鄰的共同作用下,個體觀點會在宏觀層面上逐漸形成有序結構.

3 結論

本文考慮了社會系統中個體的從眾和特立獨行兩種心理特征,結合Sznajd模型,提出最近鄰和次近鄰影響下的觀點動力學模型,并對模型中的動力學演化過程進行了模擬分析.結果表明,系統達到觀點穩定狀態后會出現觀點一致、觀點分化和非極端觀點3種結果,此結果與其他模型的結果類似. 此外,最近鄰影響強度增大,有利于觀點快速融合進而縮短系統達到穩定狀態的時間.系統達到穩定狀態所需時間與最近鄰影響強度呈冪律衰減關系.次近鄰作用促進觀點形成差異,當終態觀點為分化觀點時,有利于系統達到穩定狀態;而終態觀點為一致性觀點時,會抑制系統達到穩定狀態.這使得系統達到穩定狀態所需時間隨著次近鄰影響強度的增大呈非單調性變化.

本研究表明從眾心理有助于達成觀點一致、促進系統穩定.而特立獨行的心理特征則有利于觀點分化、對系統穩定性產生非單調性影響. 這些結果對進一步理解社會系統中從眾和特立獨行的心理特征對觀點動力學的影響具有重要意義.