基于“逆向設計”的聲學超材料幾何參數容差設計*

鐘林君 楊 揚 舒樂時

（1.華中科技大學機械科學與工程學院數字制造裝備與技術國家重點實驗室 武漢 430074）（2.華中農業大學工學院 武漢 430070）

1 引言

聲學超材料由于能夠實現對任意頻率聲波及彈性波的有效控制，具有傳統材料無法替代的性質，在聲探測、聲通信、聲隱身等方面都有重要的應用價值［1］。聲學超材料波控器件通常由大量微結構構成，量化微觀結構的尺寸與聲波響應的關系以確定允許的加工誤差范圍，是能否制備出滿足需求的材料的關鍵與難點。MILTON等［2］率先提出的五模材料（Pentamode Material，PM）是一種新型的人工聲學超材料。隨后，聚合物基五模材料［3～4］與金屬基五模材料［5～6］陸續研制成功，因金屬基五模材料與流體的力學性能相似，在水聲控制領域被廣泛接受。

常見的二維五模材料均為蜂窩結構，可通過對單胞角點施加不同質量的配重塊來調整超材料對波的響應特性，而如何量化單胞各尺寸參數與微結構性能之間的關系是五模材料制備過程中的難點。ZHAO 等［7］同時考慮力學與聲學性能，設計了一種類水五模材料微結構；HAN［8］等提出蜂窩-波紋混合的輕質夾層結構，并研究其壓縮性能，為五模材料的結構設計提供新思路。但上述研究對五模材料結構參數與性能之間的關系還沒有非常清晰的量化［9］，同時微結構的加工精度與缺陷均影響著制備出的聲學器件的性能。此外，現有的五模材料主要通過水槍切割、線切割及微細加工制備，其中，微細加工精度最高，但成本大；線切割技術加工精度次之，而切割厚度大；水槍切割加工精度最低。因此，為保障加工不確定性下的聲學超材料的性能，需要平衡制備成本與產品性能之間的關系，提供合理的允許加工誤差。

日本學者TAGUCHI 博士20 世紀70 年代提出了三次設計法［10］，其中容差設計是在參數設計完成后，綜合考慮產品質量和成本的情況下確定設計參數的容差值，并提出以質量損失函數為目標的容差優化模型［11］。由于穩健性分析能夠有效保障不確定性環境下的產品質量，越來越多的容差設計結合穩健性分析方法應用于實際的工程問題［12～13］。采用穩健性分析的方法，可以在加工不確定性下保證微結構性能變動在可接受的范圍內。然而，現有的基于非概率理論的穩健性分析方法大多屬于“正向模型”，即通過將變量的變化映射到目標空間和可行性空間來驗證最優解的穩健性［14］。當修改輸入變量的不確定信息時，基于正向模型的方法需要重新分析設計方案的穩健性［15］。同時，在許多復雜工程產品的設計中，設計目標和約束的非線性與隱式程度較高，難以直接得到參數變化與質量損失及成本的關系。采用基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法，可通過將目標可接受變化范圍（Acceptable Objective Variations Region，AOVR）及約束可接受變化范圍（Acceptable Constraint Variations Region，ACVR）映射至參數空間，建立不確定性參數與目標及約束的關系，從而獲得不確定性參數的容差范圍。

對此，本文提出基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法，并對聲學超材料的幾何參數進行容差設計，獲取不確定性參數的最大容差范圍。

2 “逆向設計”思維

通常，考慮區間不確定性的設計優化問題可以描述為

其中，設計優化問題包括M 個目標與G 個約束，f為第m個目標函數，g表示第i個約束條件，xL、xU為變量x 的設計范圍，且x的區間不確定性變化Δx被限制在上下邊界ΔxU、ΔxL內變動。

基于“逆向設計”模型，可以將給定的AOVR 及ACVR 映射至變量變化區域，進而在不確定性變量空間進行穩健性分析。其中，AOVR 可以表述為[Δf-，Δf+]，如圖1 所示；ACVR 由所有起作用的約束組成：gi(x+Δx)≤0，i=1，…，G，如圖2 所示。變量變化空間是一個N維空間，其坐標軸是各不確定性變量的變化值。由目標及可行性空間映射至變量變化空間的集合稱為靈敏度區域，可以表示為

圖1 可接受目標變化區域（AOVR）

圖2 可接受約束變化區域（ACVR）

其中，Sf是目標靈敏度集合，Sg為可行性靈敏度集合，可由式具體表示：

其中，Δfm是第m 個目標對應的預置AOVR。集合Sf為滿足M 個目標穩健性條件的所有Δx的集合，Sg為滿足G 個可行性穩健性約束的所有Δx的集合。

對于一組不確定性變量(x1，x2)，其靈敏度區域如圖3中的不規則陰影部分所示。

圖3 不確定性變量空間靈敏度區域

通過將AOVR 及ACVR 映射至參數空間，可以獲取已存在設計方案的靈敏度區域，當存在多維度不確定性參數時，靈敏度區域可以為一個不規則空間體。在此基礎上，需要進一步在靈敏度區域內獲得一個規則矩形或超立方矩形作為參數的容差區間，如圖3 虛線矩形框所示，為生產過程提供允許的最大加工誤差。

3 基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法

為了根據設計者對產品性能的要求獲得容許的最大加工誤差，本文提出基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法，從目標及約束的容許變化范圍出發，反向求得不確定性變量的最大容差區間。

對于一個預選設計方案(x0，f0)，包含具有不確定性的變量x0（x0=(x1，x2，…，xN)）以及最優的目標值f0（f0=(f0，1，…，f0，M)）。這里所說的預選設計方案是指被確定用于制造過程的設計，或者是由概念設計階段產生的確定性設計方案。由于不確定性因素的影響，x0會出現一定程度的波動并影響實際的產品性能。

將目標穩健性要求與可行性穩健性要求均看作穩健性約束，則式（1）描述的區間不確定性下的產品設計問題可以表述為

其中，Ri包含M 個目標穩健性約束和G 個可行性穩健性約束，如式（5）所示：

式中，Δfi為第i 個目標對應的AOVR 值，在實際工程問題中，可能代表產品性能或質量要求。在此基礎上，求取最大的參數容許變化，如實際加工中允許的最大加工誤差，進而通過選擇合適的設備或制造手段控制加工精度以保證產品實際性能。

本方法采取內外雙層嵌套的結構求取不確定性參數的最大容差區間：1）外循環用于搜索不確定性參數的最大區間；2）內循環計算最壞可能情況變化（worst-case variations，WCV），并以此來驗證搜索過程中的各區間是否滿足穩健性要求。

所提出方法的結構框圖如圖4 所示。由于許多工程問題需要得到上下偏差相等的對稱容差區間，本文選擇關于原點對稱的區間為求解目標，外循環目標設定為區間長度。首先經過預處理得到初始閾值，即確定初始的參數變化上界Δxmax及下界Δxmin。在初始閾值[Δxmin，Δxmax]內，由外循環隨機生成不確定性區間值Δxl，并將其傳遞至內循環，由內循環在[- |Δxl|，| Δxl|]內搜索對應的WCV值；為減少計算成本，搜索WCV時引入支持向量機SVM分類模型，代替目標或約束值的計算過程。根據所得的WCV 判斷不確定性參數值在每個區間變動時是否均滿足目標穩健性及可行性穩健性，若不滿足，則將對應的WCV 值作為懲罰項添加至外循環的搜索目標中；最后在外循環搜索獲得最大的參數容差區間。

圖4 基于“逆向設計”思維的穩健性分析框架

該方法的具體實施步驟如下：

步驟1：試驗設計與SVM分類模型構建

采用拉丁超立方采樣生成一組i×nx維訓練集樣本點u，其中i 是訓練集樣本點的個數，nx 為不確定性變量個數。根據max(R(u))的值對樣本點分配標簽，即對max(R(u))≤0 給定分類標簽w=-1，反之，w=1。通過(uw(u))構建SVM 分類模型，判斷在不確定性波動下，預選設計方案的目標及約束是否均滿足穩健性要求。

步驟2：初始化參數變化閾值

在具體工程問題中，初始閾值可以為加工設備的最低加工精度，可表述為[Δxmin，Δxmax]。

步驟3：在外循環中生成區間值

根據外循環目標F，通過遺傳算法搜索最大的區間值。首先需在外循環隨機生成初始種群，即區間值Δxl，對任一Δxl有Δxmin≤Δxl≤Δxmax。然后將區間值Δxl傳遞至內循環。

步驟4：求解內循環

對外循環傳入的每個區間值Δxl，在內循環中，搜索各區間值Δxl對應的WCV，其中，目標及約束值由SVM 分類模型的標簽值確定，式（6）給出了WCV的求解表達式。

其中，Δx為[-|Δxl|，|Δxl|]內的變量值。

步驟5：判斷穩健性

若WCV＞0，說明對應的區間可能存在部分區域不滿足目標穩健性或可行性穩健性要求，則跳出搜索，將該WCV值傳回外循環，并作為懲罰項添加至外循環目標中；若最終搜索得到的WCV＜0，則說明該區間被參數靈敏度區域完全覆蓋，即區間內的參數變化始終滿足穩健性約束，令這樣的WCV 值為0并返回外循環。外循環目標中，WCV的添加方式如式（7）所示：

其中，P為懲罰因子。

返回步驟3 直至遺傳算法達到設定的最大遺傳代數。

步驟6：輸出不確定性參數的最大穩健區間

最終搜索得到滿足穩健性要求的不確定性參數最大容差區間：[- |Δxl|，| Δxl|]。

4 聲學超材料幾何參數的容差設計

微結構的設計是聲學超材料器件設計中的關鍵步驟，它對超材料器件的可實現性及水聲調控能力都有著重要的影響，而微結構的加工精度也對超材料器件的聲學及力學性能有重要影響。文獻［16］設計了圖5 所示的鋁基聲學超材料設備，并對各參數進行了分析，不同的參數類型對微結構的體積模量與質量密度會產生不同程度的影響，例如六邊形連接桿的長寬比增大，將可能導致各單胞部分無法按預期設計控制所有入射聲波能量。

圖5 鋁基聲學超材料構件［16］

本文針對圖6 所示鈦基聲學超材料微結構，圖中上半部分為聲學超表面，下半部分為剛性墻，根據設計要求的聲學性能進行穩健性分析。聲學超表面由周期性的六邊形單胞構成，每個六邊形單胞邊長L=24mm，在x 和y 方向上分別排列H 和V 個單胞時超表面的長度及厚度分別為

圖6 聲學超材料微結構

其中，Δx為裝置整體長度，l 為其厚度；在x 方向有43 個單胞即H=43；在y 方向單胞數為3 即V=3。由于離散性，所設計微結構長度略長于預設尺寸。

在聲學超材料微結構設計中，主要包括圖7 所示t、m、b、r四類參數，其中t為單胞六邊形連接桿厚度，m為質量塊頂點四邊形高度，b為質量塊四邊形寬度的一半，r為三角形頂點到四邊形距離。

圖7 六邊形單胞最小重復單元

由于聲學超材料多應用于制造隱身斗篷等，制造企業及其客戶較關心產品的聲學性能，要達到“隱身”效果，需要盡可能降低其散射強度，所以設定優化模型的目標為微結構的遠場散射系數。該聲學超材料微結構在2.5kHz～5kHz 具有較好的波控性，選擇頻率為2.5kHz、3kHz、4kHz 及5kHz 情況下的遠場聲散射系數的平均值為目標。根據圖7所示幾何關系，各單元中的四類參數還需滿足一定約束使附加質量塊的整體高度小于六邊形單胞邊長。優化模型如式（9）所示。

其中，f1～f4分別對應上述四種頻率環境下的遠場聲散射系數；半側22 組t、m、b、r為輸入的不確定性參數，即t、m、b、r為包含22個元素的向量。

對該微結構，存在一組預選設計，即經設計確定的用于制造過程的設計方案，其中預選設計變量如表1 所示，預選目標值f0=92.93 為預選設計變量下的聲散射系數平均值。要求聲學性能不超過(1+1%)f0，式給出目標可接受變化范圍，

表1 預選設計變量

其中，x0=(t0，m0，b0，r0)，Δx為區間不確定性變化。根據加工條件，給出Δx的初始閾值為[-0.15，0.15]。

由聲學性能要求與幾何尺寸約束可知，該問題的穩健性約束如式（11）所示：

式中，R1為目標穩健性約束，R2為可行性穩健性約束。根據給定的設計性能要求，分析遠場散射系數與各最小單元的不確定性參數之間的關系，獲取性能要求下不確定性參數的容差區間，即實際加工過程允許的最大加工誤差。

利用COMSOL Multiphysics 的聲固耦合模塊對該微結構聲散射特征進行模擬，在預選設計變量下，可得到不同頻率下的散射聲壓。選用模量為108GPa，泊松比為0.34，密度為4500kg/m3的鈦為基材；六邊形單胞質量密度為ρ=1000kg/m3，楊氏模量E=10MPa，泊松比v=0.475。由于主要應用于水下裝備，計算遠場聲壓級時使用水的參考壓力，設定聲速Cb=1500m/s。

在式（10）給出的聲學性能要求下，通過基于“逆向設計”思維的穩健性分析，獲取不確定性參數t、m、b、r 的容差區間?？紤]COMSOL 的仿真成本（單次仿真耗時30min～60min），引入支持向量機SVM分類模型，用以進行內循環最壞可能情況分析中的目標穩健性的判斷。

SVM 分類模型構建的具體實施過程為：1）通過拉丁超立方采樣，在區間[x0-0.15，x0+0.15]內生成200 組樣本點u；2）對樣本點u，利用COMSOL 仿真得到相應的輸出響應值f(u)；3）若響應值滿足式目標穩健性要求，給定其分類標簽w(u)=-1，反之，給定分類標簽w(u)=1；4）利用[uf(u)]訓練SVM 分類模型，后續可用于判斷未經試驗的不確定性設計是否滿足所有的目標穩健性約束；5）采用K 折疊交叉驗證評價SVM 模型的分類準確度，將[uf(u)]均分為K 組，用其中(K-1)組子集數據訓練SVM 分類模型，并用訓練出的模型對其余一組子集數據進行分類，通過與仿真結果對比驗證模型分類準確度，依次得到K個模型的分類準確度，取其平均值作為SVM 分類模型準確度的評價指標。經驗證，當K=10 時SVM 模型的分類準確度為96%。

根據給定的初始閾值[Δxmin，Δxmax]=[-0.15，0.15]，在外循環中由遺傳算法生成初始種群，即隨機區間值Δxl，并傳入內循環。在內循環中搜索區間內的WCV值，WCV具體表達式如式（12）所示：

式中，R包括目標穩健性約束（式（11）R1）與可行性穩健性約束（式（11）R2），其中，目標穩健性約束通過SVM分類模型給出的分類標簽w( Δx)表示。

將WCV 傳回外循環，在外循環中進行穩健性判斷。經過內外雙層嵌套結構搜索，最終可得最大的容差區間為：[-0.1，0.1]。

使用Monte Carlo 法驗證該區間穩健性。在區間[-0.1，0.1]內隨機生成50 組Δx，將(x0+Δx)代入模型中，經過COMSOL 仿真輸出對應響應值，目標穩健性驗證結果如圖8 所示。同時根據式（11）中的R2驗證可行性穩健性，驗證結果如圖9所示。

圖8 聲學超材料目標穩健性驗證

圖9 聲學超材料可行性穩健性驗證

為證明所得區間為最大容差區間，對于區間[-0.1，0.1]，對應得到WCV=-1.2160×10-5＜0 ；將該區間擴大0.05%，并進行最壞可能情況搜索，得WCV=3.7834×10-5＞0。則可認為，基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法得到微結構參數容差區間[-0.1，0.1]為容許條件下的最大區間。

5 結語

本文針對聲學超材料制備過程中的加工不確定性問題，采用基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法，根據設計者提出的性能要求，反向獲得不確定性參數的最大容差區間。根據上文研究內容，可得到以下結論：

1）本文提出了基于“逆向設計”思維的穩健性分析方法，通過將目標穩健性和可行性穩健性要求轉化為不確定性參數的靈敏度區域，建立不確定性參數波動與性能變化之間的關系，并進行穩健性判斷，最終獲得不確定性參數的最大容差區間。

2）針對具體的聲學超材料微結構設計，應用所提出的方法，根據微結構聲學性能要求和幾何關系約束，獲得不確定性參數的最大容差區間，即允許的最大加工誤差。采用Monte Carlo 法驗證該區間穩健性，結果顯示不確定性參數在所得容差區間內變動時不會違背目標穩健性及可行性穩健性要求；結合最壞可能情況分析證明，所獲得的區間為允許條件下的最大區間。

3）根據獲取的不確定性參數最大容差區間可以確定允許的最大加工誤差，在保證性能的同時，能最大限度放寬加工精度要求，降低制造成本。