向量在高中數學解題中的應用

摘 要：向量是高中數學教學中十分重要的工具性內容，既有一定的代數性質，也具備相應的幾何特征.在高中數學解題中，通過向量的靈活應用可以很好地錘煉學生數學思維能力，強化學生數學運算及解題能力，對提升學生數學學習能力有較大的幫助.本文主要介紹了高中數學解題中應用向量的意義，剖析了數學解題中應用向量的具體策略及相關注意點.

關鍵詞：向量；高中數學；解題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）06-0053-03

向量最早是物理學中的概念——矢量，主要是用來對物體速度、位移、力等進行描述.在18世紀向量被引入到數學領域中，經過多年的發展，向量逐漸成為解決數學問題的重要“橋梁”.在數學領域中向量身兼雙職，既能表示代數性質，又可以展現幾何意義.通過向量的這一特性，可以將數學題中的幾何問題代數化，從而輕松地解決問題.

1 高中數學解題中應用向量的意義

在數學領域中，向量憑借十分獨特的優勢受到了諸多數學家的重視.新時期隨著教學改革的不斷推進，高中數學教學理念、教學內容都較之過去有了一定改變，而向量也成為了數學教學的重難點內容，向量的價值不僅體現在其本身是數學教材中的基礎知識，更重要的是向量在數學解題中有十分重要的應用.事實上，在高中數學解題中，向量的靈活應用可以為學生解題提供多種思路，教師可以引導學生將向量看做是一個集數、形于一體的特殊存在，其具有極強的數形轉化功能，一是平面內的任意向量都能數化，并且可以進行相應的代數運算；二是向量具備長度、位置、方向等特性，在運算中具有特殊的幾何意義.向量知識與其他知識都有廣泛的交匯點，高中數學教師在日常教學中引導學生利用向量來解決數學問題，可以在很大程度上錘煉學生數學思維能力，并且能讓學生對向量知識有深層次地認識.

2 高中數學解題中向量的具體應用

2.1 向量與代數交匯問題的處理

在高中數學中，代數強調的是“數”，其貫穿于整個高中階段.而在實際情況下，只要涉及到“數”，必然有“算”的存在.向量作為代數研究的主要對象，靈活的利用向量線性運算、向量數量積處理問題，可以有效減輕學生數學運算壓力.具體來說，在代數問題處理上，向量在不等式、等式證明、三角函數、數列等方面都有很好的應用.

2.1.1 等式及不等式證明中的應用

例1 任意實數a、b、c、d存在（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，如果向量（a，b）與向量（c，d）共線，則等號成立.

解析 本題中，先畫出不等式與向量的交匯圖，設平面上的任意兩個向量α=（a，b）、β=（c，d），向量α與向量β之間的夾角是θ，取兩邊絕對值得出|α·β|=αβcosθ，由于cosθ≤1，因此得出αβ≥α·β，等號成立的條件是向量α與向量β共線.將向量α與向量β的坐標代入αβ≥α·β可以得出a2+b2·c2+d2≥ac+bd，即（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2.

評析：在本題中，不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2是柯西不等式，學生在解題中可以根據柯西不等式構造出向量，通過向量數量積放縮不等式，得出相應的結論.

2.1.2 取值范圍問題中的應用

例2 假設實數x，y滿足x2+y2+xy=1，試求x+y的最大值.

解析 在本題中，學生可以運用m·n≤mn來進行解題.設m=（x+12y，32y），n=（1，33），由于m·n≤mn，從而得出x+y≤233.學生在解題過程中需要先構造兩個不同的向量組，然后結合不等式知識進行求解.

2.1.3 三角函數問題中的應用

例3 向量m=（2sinx，cos2x-sin2x），向量n=（3cosx，1），x∈R.已知函數f（x）=m·n的最小正周期是π，如果在△ABC中，f（B）=-2，BC=3，sinB=3sinA，試求BA·BC的值.

解析 本題屬于典型的向量知識與三角函數知識交匯，在解題過程中需要綜合應用三角函數知識與向量知識，有向量內積的出現必然涉及到余弦函數，因此學生就需要靈活的應用向量內積對問題進行處理.

設△ABC中A、B、C三個角分別對應的邊是a、b、c，由于f（B）=-2，從而得出2sin（2B+π6）=-2，得出B=2π3（B∈（0，π））.由于BC=3，得出a=3，sinB=3sinA，從而得出b=3a=3.根據正弦定理可以得出3sinA=3sin2π3，從而得出sinA=12.由于A的取值范圍是（0，π3），得出A=π6.因此BA·BC=-32.

2.1.4 數列問題中的應用

例4 數列an的和是Sn，已知an-an+1=d（d∈R），OB=a1OA+a200OC.如果A、B、C三個點在同一條直線上，并且該直線不過（0，0）點，求S200的值.

解析 在本題中，應用向量的共線定理可以很好的完成解題，結合結論OA=λOB+μOC（λ+μ=1），對于平面中任意一點O，OA與OB不共線，需要滿足OP=λOA+μOB（λ，μ∈R），則A、B、P三點共線λ+μ=1.在解題過程中學生可以先將數列問題轉變成向量問題，結合向量共線定理將數列的首項與末項和求出來.同時向量知識的應用還能讓學生的解題過程更加簡單，減少了復雜的運算，提高了學生解題效率.

評析 在本題中根據題目的已知信息OB=a1OA+a200OC，A、B、C三個點共線且該直線不過（0，0）點，則需要滿足a1+a200=1，由于Sn=（a1+an）n2，從而得出S200=（a1+a200）2002=100.

2.2 向量與幾何交匯問題的處理

在幾何問題研究中，向量是很重要的手段，其可以很好地對幾何中的點線面進行描述，同時向量中的部分知識也具備良好的幾何特性，因此在證明圖形全等、三角形相似、平行、垂直、夾角等問題上，都可以通過向量的數量積、線性運算進行處理.

在高中數學中，關于平面幾何的問題大多是通過選擇題、填空題的方式呈現，難度處于中等，學生在解題中可以嘗試利用向量的相關知識來處理平面幾何問題，從而提高學生解題效率.

例5 在△ABC中，D點在BC邊上，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，S△ADC=3-3，求∠BAC的度數.

解析 本題中學生可以利用向量數量積求解角，將題目中的問題轉變成向量夾角求解.需要注意的是，學生在應用向量知識時要明確a·b=0時，a⊥b.

根據題目信息可以知道∠ADB=120°，AD=2，S△ADC=3-3，得出DC=2（3-1）.BD=3-1，BC=3（3-1）.△ABC中AB2=（DC-DA）2，AC=32-6，同理在△ADB中得出AB=6.△ABC中，BC2=（AC-AB）2，從而得出cos∠BAC=12，從而得出∠BAC=60°.

3 高中數學解題中應用向量的注意事項

3.1 改變向量知識教學思維

在以往的高中數學教學中，教師經常會單方面地給學生灌輸知識，對學生發現、解決問題的能力培養不太重視，而學生本身也不善于創新解題技巧，解題思維局限嚴重，即便是遇到能用向量解決的數學問題，也習慣于利用傳統的方法來解決問題.如推理證明、代數運算等，但是面對一些復雜程度比較高的數學題，學生就會出現不知所措的情況.

3.2 注重向量知識向其他知識的滲透向量知識是高中數學的重點內容，教師在日常教學中不僅要引導學生充分掌握向量概念、基本公式、基本定理等內容，同時還要指引學生將向量知識與其他知識點結合起來，讓學生能嘗試利用向量知識解決數學問題.在此過程中教師要指引學生對相關結論進行總結，將這些結論應用到數學問題處理中，促使學生可以充分感受到向量在解題中的優勢.

3.3 強化向量法解題的教學

高中數學教師在講解向量的相關知識時，應該靈活應用多媒體手段，指引學生充分把握向量知識的本質，并在此基礎上指引學生靈活應用向量知識來解決相應的數學問題.

3.4 培養學生用向量解決問題的能力在日常教學中，高中數學教師還需要特別注重培養學生用向量解題的能力，關注學生向量運算、向量解題邏輯思維、空間想象等方面能力發展，為學生的綜合發展奠定基礎.首先在學生解題時，應該先對數學問題進行識別歸類，在解題過程中學生需要對題目中的問題進行簡單識別，結合問題涉及到的知識點進行細致歸類，便于在后面遇到類似問題時，快速找準解題思路；其次教師還需要引導學生對數學問題進行分析及綜合，要在解題中做到先分析題目，然后在綜合解題要點，實現問題分析與綜合的相互滲透.

3.5 關注學生發散性思維培養

對高中生來說，學習數學知識并不僅僅是為了應付考試，更重要的是為了推動自身創新能力、思維能力的發展.高中數學教師在引導學生學習向量知識時，要充分關注學生向量知識體系的完整構建，引導學生能深層次的學習向量知識.同時教師在講解關于向量的題型或者是用向量解決相關數學問題時，教師要注意通過分類講解的方式進行，便于學生發現向量在處理不同問題時的具體應用，使得學生能充分意識到向量在數學應用中的廣泛性，推進學生發散性思維發展.

參考文獻：

［1］ 潘敏.向量在高中數學解題中的有效應用［J］.數理化解題研究，2021（34）：2.

［2］ 郭潔.向量在解決高中數學問題中的應用分析［J］.東西南北（教育），2020（10）：1.

［3］ 周振歡.向量在高中數學解題中的運用探究［J］.中學生數理化（高考理化），2020（6）：17.

［4］ 魏琦.高中數學向量解題基本思想與技巧分析［J］.數學學習與研究，2020（7）：1.

［5］ 徐波.探討向量法在高中數學解題中的應用［J］.試題與研究（高考版），2020（6）：24.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者簡介：趙芳芳（1986.9-），女，甘肅省慶陽人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.