基于VMD 樣本熵和改進極限學習機的滾動軸承故障診斷

封成東，李玥，封成智

（1. 甘肅農業大學信息科學技術學院，甘肅 蘭州 730000；2. 甘肅省生產力促進中心，甘肅 蘭州 730000）

隨著工業現代化進程的推進，旋轉機械設備趨向高可靠性、高精度、低故障率發展，滾動軸承作為旋轉機械設備的重要元件，其工作穩定性對設備安全可靠運行有重要影響。如何在滾動軸承的生命周期內準確、快速的識別軸承的局部或者早期故障并進行預防性維修是設備管理的重要內容，也是降低維修和運行成本、提高設備運轉率的必然要求。

當滾動軸承出現損傷缺陷甚至局部失效時，其運行過程中產生的振動信號必然會發生變化，振動信號呈現出非線性、非平穩性特征［1］。在實際工程應用中，通過監測旋轉設備的運行工況，采集滾動軸承的振動信號數據，利用信號處理工具深入挖掘振動數據中蘊含的時頻等狀態信息，并提取有效的信息特征是實現滾動軸承故障診斷的有效方法。變分模態分解（VMD）是由Dragomiretskiy［2］等提出的解析信號時頻特性的方法，該算法在求解變分問題的過程中能夠實現頻域的自適應劃分，將信號劃分為指定個數的調幅調頻的模態分量，同時確定不同模態分量的中心頻率和帶寬［3］，有效的避免虛假分量的產生，廣泛應用于復雜的、非平穩信號的處理和故障模式識別領域。向玲等［4］采用VMD 算法對滾動軸承信號進行分解、模態分量的篩選和重構，分析重構信號的Teager能量譜并提取軸承故障特征頻率，仿真結果驗證了基于VMD和Teager能量譜故障識別模型的有效性，而且要優于EEMD 算法。蔡賽男等［5］提取了VMD 分解后各模態分量的多尺度排列熵作為滾動軸承的故障特征，并將故障特征樣本導入鯨魚算法優化最小二乘支持向量機的分類模型，取得了較好的診斷準確率。常勇等［6］提出了基于VMD和優化模糊聚類相結合的軸承故障識別算法，通過VMD和奇異值分解對信號進行去噪聲和異常值，并采用粒子群優化的模糊聚類進行不同故障類型的準確識別。VMD 對滾動軸承的故障振動信號進行分解后會產生指定個數的模態分量，為了量化模態分量中包含的故障信息，引入樣本熵來提取特征信息作為故障診斷依據。樣本熵是在近似熵理論基礎上的一種改進算法，通過計算信號中產生新模式的概率大小來度量時間序列的復雜性［7］，樣本熵的數值的大小直接反應時間序列的復雜性。

當滾動軸承的故障特征提取后，需要構建分類器對故障特征樣本進行訓練學習和識別。極限學習機（extreme learning machine，ELM）是基于前饋神經網絡的學習算法，具有訓練學習速率高、泛化性能強、應用領域廣的優良特性［8-9］。在實際應用中，ELM 算法輸入層與隱含層間的連接權值及隱含層神經元的閾值是隨機初始化的，在運行過程中可能出現不穩定性、魯棒性差的缺點［10］。本文引入群智能算法中的麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）［11］來優化ELM的初始權值和閾值，并搭建基于改進SSA優化ELM的分類器模型，將提取的滾動軸承故障特征樣本導入分類器進行故障類型的識別。

1 基本原理

1.1 VMD原理

VMD 的分解是在迭代運算中求解約束變分問題最優解的過程，假設一組非線性、非平穩信號y(t)被分解為一系列調幅調頻的分量信號uk(t)，k=1，2，…，K，公式如下：

式中：Ak(t)為幅值φk(t)為相位，wk(t) =φ＇k(t)為瞬時頻率。

VMD約束變分問題可表述為：對分解后的每個模態分量進行希爾伯特變換得到解析頻譜，在頻譜中加入預估的中心頻率并將混合頻譜調制到對應的基帶，計算調制后基帶的梯度平方范數得到各模態的頻率帶寬，各模態的頻率帶寬和為最小，約束變分問題的公式如下：

式中：?t表示偏導，*為卷積，δ為Dirac 分布，變分問題的約束條件為各模態分量之和為原始信號。

引入Lagrange 乘法算子和二次懲罰系數，將約束變分的求解轉化為求解非約束變分的過程［3］，公式如下：

式中：L為增廣拉格朗日函數，λ為Lagrange 乘法算子，α為二次懲罰系數。

對公式（3）采用乘法算子交替方向法和傅里葉等距變換，迭代更新μk和wk得到模態分量和中心頻率，具體公式如下：

本文結合VMD 中心頻率法和模態分量的頻率混疊性來確定VMD的分解個數，以美國Case Western Reserve University 實驗室提供的滾動軸承振動數據為研究對象，振動數據是通過加速度傳感器采集。這里以一組滾動軸承內圈故障信號為例，電機負載為735W，采樣頻率為12 000Hz，采樣時間為0.2 s，采樣長度為2 400，損傷直徑為0.177 8mm，信號波形如圖1 所示。采用VMD 分別對內圈故障信號進行2、3、4、5層分解，得到各模態分量的中心頻率分布。分析表1可知，當分解層數為5時，模態4和模態5的中心頻率比較接近，此時畫出信號的4層分解和5層分解圖以及對應的快速傅里葉變換后頻譜圖，如圖2～3所示。由圖3可知，分解層數為5時，模態4和模態5出現了頻率混疊性，而4層分解后各模態分量并沒有頻率混疊現象，因而對內圈故障信號進行VMD分解的層數為4，同理軸承的正常、滾動體故障和外圈故障的VMD 分解層數通過分析均確定為4。

表1 VMD不同分解個數各模態的中心頻率分布Table 1 Central frequency distribution of various modes of different decomposition numbers of VMD

圖1 滾動軸承內圈故障波形圖Figure 1 Rolling bearing inner race fault waveform

圖2 內圈故障信號VMD四層分解波形圖及頻譜圖Figure 2 VMD four-layer decomposition waveform and spectrum of inner race fault signal

圖3 內圈故障信號VMD五層分解波形圖及頻譜圖Figure 3 Five-layer decomposition waveform and spectrum of VMD of inner race fault signal

1.2 樣本熵

在實際應用中，樣本熵的大小能度量數據序列的自我相似性和復雜性，而且樣本熵的計算不依賴于信號的數據長度，因而在量化滾動軸承故障信號的特征時具有更好的統計穩定性和適應性，樣本熵的計算步驟如下［12］：

（1） 給定原始時間序列x={x1，x2，…，xN}，選擇合適的嵌入維數m構造新的狀態向量，x={xi，xi+1，…，xi+m-1}，i=1，2，…，N-m。

（3） 給定相似性容限參數r，統計xi和xj之間的距離小于等于r的數量Bi，并做如下定義：

（4） 計算(r)的平均值：

（5） 將嵌入維數增加為m+1，重復上述4個步驟并計算得到Bm+1(r)，當時間序列的長度為有限值時，樣本熵計算為如下公式：

選取軸承的正常、內圈故障、滾動體故障和外圈故障振動信號，電機負載為735 W，采樣頻率為12 000Hz，采樣時間為0.2 s，采樣長度為2 400，故障損傷直徑為0.177 8 mm，分別對4 種信號進行4 層VMD 分解，并提取各模態分量的樣本熵，見圖4，通過提取樣本熵構建滾動軸承的特征樣本并作為分類識別的依據。

圖4 VMD分解后各模態的樣本熵Figure 4 Sample entropy of each mode after VMD decomposition

1.3 極限學習機

相對于傳統的前饋神經網絡，極限學習機（ELM）的網絡結構簡單，只需要設定隱含層神經元數量、輸入層神經元和隱含層神經元之間的連接權值以及隱含層神經元的閾值，其他層間的連接權值和閾值不需要調整，因而ELM 的網絡學習、訓練運算效率有明顯的提升［13-14］。

假設給定的樣本為(xi，yi)，1 ≤i≤N，且均為實數范圍內，ELM網絡模型可表示為如下：

式中：Yj是網絡輸出，L為隱含層神經元個數，wi為輸入層神經元和第i個隱含層神經元的連接權值，bi為第i個隱含層神經元的閾值，φ為激活函數，βi為第i個隱含層神經元與輸出層神經元的連接權值。

ELM 的訓練目標就是通過尋找最優的權值和閾值等參數，使得期望輸出和網絡輸出的誤差損失函數值最小，并得到最優解。

由于ELM 的輸入層神經元和隱含層神經元之間的連接權值以及隱含層神經元的閾值是在網絡結構中隨機初始化的，實際應用中可能會出現過擬合、預測或者分類結果不穩定的病態現象［15］，因為本文引入仿生智能優化算法對ELM進行優化，提高滾動軸承的故障診斷準確率。

2 基于改進麻雀搜索算法優化ELM的診斷模型

2.1 麻雀搜索算法基本理論

麻雀搜索算法（SSA）是2020 年提出的新型仿生智能算法，麻雀種群行為包括覓食和反捕食行為，覓食行為通過麻雀種群中的發現者和加入者實現，反捕食行為通過偵查預警機制實現［16-17］。SSA在解空間中具有優良的尋優搜索能力和快速收斂性能。

假設麻雀的種群規模為N，種群個體搜索最優解的空間維度為D，種群的集合向量為X={Xi}，i=1，2，…，N，麻雀個體表示為Xi=[xi1，xi2，…，xid，…，xiD]。麻雀發現者的位置更新公式如下：

式中：xbt+1d表示麻雀個體在搜索空間第d維的最佳位置，xwtd表示麻雀個體在搜索空間第d維的最差位置，A表示長度為d、元素為-1或者1的向量。

麻雀種群在實現覓食行為時，會從種群中選擇10%-20%的個體執行偵查預警機制，保證種群的安全，位置更新公式如下：

式中：β為個體移動步長控制系數，該系數是方差為1、均值為0的正態分布隨機數，k為［-1，1］內的均勻隨機數，fi為個體適應度，fg為當前迭代過程中種群最佳適應度值，fw為種群最差適應度值，e為防止分母為0的極小數值。

2.2 麻雀搜索算法的改進

雖然SSA 具有收斂速度快、局部尋優能力強的優點，但在迭代后期種群個體跳出局部極值的能力較弱，尋優過程中易陷于局部最優的缺點，因而為提高SSA的全局搜索能力對SSA進行改進，改進策略如下：

（1） 混沌初始化種群

標準SSA在種群初始化時，只是通過產生［0，1］之間的隨機數和搜索空間的上限值、下限值的組合來產生初始個體，并不能保證初始個體在空間中是分布均勻，空間的遍歷性較差。本文引入Sin混沌模型來初始化種群，增加麻雀個體在搜索空間中的遍歷性，豐富種群的多樣性。

（2） 反向學習策略

麻雀種群中的發現者在迭代開始就直接趨向最優解靠近，搜索范圍小，易陷入局部最優。為了增強種群的全局尋優能力，引入反向學習策略進行擾動，計算對應的反向解和適應度值，比較該適應度值和種群最佳適應度值，保存適應度更好的解。

式中：Xb(t)和X'b(t)表示當前迭代的最優解和反向解，lb和ub分別表示搜索空間的上限和下限，b1表示信息交換參數，r表示［0，1］范圍內的隨機數。

2.3 改進麻雀搜索算法ISSA優化ELM的步驟

（1） 采用VMD 對滾動軸承故障信號進行分解并提取樣本熵，構建樣本熵特征樣本，將樣本劃分為訓練樣本和測試樣本；

（2） 設置SSA的參數，初始化種群規模、最大迭代次數、預警值、發現者比例、偵察者比例、搜索空間的上限和下限，計算麻雀個體的長度即ELM輸入層神經元和隱含層神經元之間的連接權值以及隱含層神經元的閾值的長度；

（3） 采用Sin混沌算法初始化麻雀種群，以訓練樣本期望輸出和網絡輸出的準確率作為適應度函數，計算麻雀個體的適應度值，保存最優適應度值和最差適應度值以及對應的位置；

（4） 根據發現者比例和個體適應度值，選取適應度優的麻雀作為發現者并更新位置，剩下的個體作為加入者并更新位置，同時根據偵察者比例隨機選取麻雀個體作為偵察者并更新位置；

（5） 根據反向學習策略對當前代的最優解進行擾動并計算對應的適應度值，比較當前適應度值和種群最佳適應度值，保存適應度更好的解，進行下一次的迭代；

（6） 判斷是否達到循環結束條件？若是，跳轉至第2步并繼續尋優，否則將最優解賦值給ELM 的初始權值和閾值，并結合訓練樣本進行網絡的再學習及訓練，最后導入測試樣本進行滾動軸承的故障分類。

3 滾動軸承故障診斷仿真試驗

3.1 數據分析

為了驗證基于VMD 和改進SSA 優化ELM 的診斷模型的有效性和準確性，本文采用美國Case Western Reserve University 實驗室的滾動軸承振動數據進行仿真試驗［19］。電機驅動端采用深溝球滾動軸承，軸承型號為6205-2RS JEM SKF，軸承的內圈、滾動體和外圈設置電火花單點損傷故障，損傷直徑為0.177 8 mm，數據源包括滾動軸承正常狀態、內圈故障、滾動體故障和外圈故障的振動信號數據，分別在電機負載功率為0、0.74 6、1.49 2、2.238 kW 的工作狀態下采集，采樣頻率為12 000 Hz。

選取電機負載功率為0.746 kW 的驅動端的振動信號數據，繪制滾動軸承時域波形圖，圖5-A為正常狀態、B為內圈故障、C為滾動體故障、D為外圈故障的時域波形。采樣時間為0.3 s，采樣點為3 600。本文2.2節通過中心頻率和頻率混疊性確定了VMD分解的層數為4，分別對滾動軸承的四種狀態進行4層VMD分解，見圖6～9。

圖5 滾動軸承四種狀態的時域波形Figure 5 Time domain waveform of four states of rolling bearing

圖6 正常狀態的VMD分解圖Figure 6 VMD decomposition in the normal state

圖7 內圈故障的VMD分解圖Figure 7 VMD breakdown diagram of inner ring failure

圖8 滾動體故障的VMD分解圖Figure 8 VMD breakdown diagram of rolling volume failure

圖9 外圈故障的VMD分解圖Figure 9 VMD decomposition diagram of outer ring failure

3.2 特征樣本的提取

在電機負載功率0、0.74 6、1.49 2、2.23 8 kW 的工作狀態下，選取滾動軸承內圈故障、滾動體故障和外圈故障以及正常狀態的4種類型的振動數據，每種類型在不同的負載功率狀態下各采集50組，每組的數據長度為2 000，共計200組，4種類型的數據組數為800組。對數據進行4層VMD 分解，并提取各模態分量的樣本熵，樣本熵的嵌入維數為2，相似性容限選為各模態序列標準差的0.25 倍，最終得到800行4 列的特征樣本矩陣。表2 列出了軸承振動信號經VMD 4層分解后的各模態的樣本熵。定義4種類型的分類標簽，滾動軸承正常狀態為1，內圈故障類型為2、滾動體故障類型為3 和外圈故障類型為4。滾動軸承特征樣本信息詳見表3。

表2 滾動軸承四種狀態的樣本熵特征（部分）Table 2 Sample entropy characteristics of four states of rolling bearings （Part）

表3 滾動軸承特征樣本信息Table 3 Rolling bearing feature sample information

3.3 滾動軸承故障分類識別

采用MATLAB 編程［20］分別建立ELM、SSAELM 和ISSA-ELM 的故障診斷模型，ELM 的輸入層、隱含層和輸出層神經元的網絡結構為4-9-1，傳遞函數為Sigmoid。SSA-ELM 和ISSA-ELM 中的麻雀種群規模為50，最大迭代次數為300，發現者比例為種群規模的30%，偵察者比例為種群規模的20%，安全預警值為0.7，個體搜索空間的上限為5，下限為-5，根據輸入層神經元和隱含層神經元計算麻雀個體長度為45。

特征樣本隨機劃分為訓練樣本和測試樣本，滾動軸承每種類型隨機取值170 組共計680 組作為訓練樣本，剩下的120 組作為測試樣本，ELM、SSAELM 和ISSA-ELM 所用的訓練樣本和測試樣本是相同的，SSA-ELM 和ISSA-ELM 的適應度函數為訓練樣本期望輸出和預測輸出的分類準確率。將訓練樣本和測試樣本導入SSA-ELM 和ISSA-ELM進行最優解的尋優和故障分類診斷，圖10～11 為SSA-ELM 和ISSA-ELM 的迭代過程中種群最佳適應度曲線和平均適應度曲線。對比圖10～11，ISSA-ELM 的最佳適應度準確率為98.68%，SSAELM 的最佳準確率為97.79%，ISSA-ELM 平均適應度范圍優于SSA-ELM，因而改進的麻雀搜索算法ISSA有更好的全局尋優能力。

圖10 SSA-ELM的適應度曲線Figure 10 Fitness curve of SSA-ELM

圖11 ISSA-ELM的適應度曲線Figure 11 Fitness curve of ISSA-ELM

ELM、SSA-ELM 和ISSA-ELM 對120 組測試樣本的分類結果如圖12～14所示，3種診斷模型的分類結果對比，見表4。由仿真實驗結果可知，ELM、SSA-ELM和ISSA-ELM 3種診斷模型的準確率均超過了90%，對滾動軸承的故障有較好的分類效果。ELM 對測試樣本錯分了8 個，SSA-ELM 錯分了5個，ISSA-ELM錯分了3個，錯分類型主要集中在內圈故障和滾動體故障兩種類型，分析存在的原因為內圈故障和滾動體故障樣本熵特征樣本中的小部分樣本存在相似性，造成模型分類結果的互相混淆。綜上所述，ISSA-ELM 相對ELM 和SSA-ELM 的診斷精度更高、泛化性能更優，分類結果驗證了本文提出算法的有效性。

表4 三種分類模型結果對比Table 4 The results of the three classification models were compared

圖12 ELM分類結果圖Figure 12 ELM classification result diagram

圖13 SSA-ELM分類結果圖Figure 13 Classification results of SSA-ELM

圖14 ISSA-ELM分類結果圖Figure 14 Figure of classification results of ISSA-ELM

4 結論

為了更好提高滾動軸承故障診斷準確率，本文提出了基于變分模態分解 （VMD）VMD、樣本熵和改進極限學習機（ELM）的滾動軸承故障診斷組合分類方法。以軸承正常狀態、內圈故障、滾動體故障和外圈故障的振動信號為研究對象，采用變分模態分解VMD 算法將信號分解成多個模態分量并提取樣本熵作為分類特征，構造了改進SSA 優化ELM（ISSA-ELM）的診斷模型，仿真實驗結果表明，該模型精度更高、泛化性能更優、診斷識別效果更好，為滾動軸承故障診斷提供了一種新的有效方法。由于在診斷過程中，內圈故障和滾動體故障的類型識別出現了部分相互混淆現象，今后將進一步研究對以上類型的信號進行精細化處理，以更好地提取特征并實現更精確的診斷。