基于蜂窩模型中繼臺最小極值問題研究

岳夢楚，劉喜勛

（陜西工業職業技術學院 信息工程學院，陜西 咸陽 712000）

中繼臺（RP，repeater）是連接網絡線路的一種裝置，常用于2 個網絡節點之間物理信號的雙向轉發工作［1］。主要是放大傳輸過程中衰減的信號，然后以不同的頻率重新發送。中繼臺可使低功耗用戶之間在互相不直接面對的情況下進行雙向信息交流。諸多中繼臺參與信息傳輸會存在信號干擾，中繼器［2］專線（Private Line，PL）可以幫助緩解此類困難。

在實際生活中使用中繼臺的情況復雜多變，需要考慮自然地理位置、天氣、環境、人口數量等因素。為了降低成本，以最少的中繼臺數量完成用戶信號傳輸，是人們在實際工作中亟待解決的問題。

研究者針對此類問題提出了很多方案，文獻［3］分析了中繼臺的各種傳播模型，并選擇了Okumura-Hata模型［3］，對典型場景下的中繼臺覆蓋情況做了仿真預測分析。文獻［4］為了達到最優化的通信開銷，設計并實現了螺旋式網絡中中繼臺的部署。Guan［5］提出使用BRSS 算法來選擇中繼臺的最佳位置。Zhang 等人［6］則提出了一種近似算法，將中繼臺部署于聯通情況下。Yang 等人［7］解決了如何在位置受限的情境下仍能高效部署中繼臺。以上算法皆著重于中繼臺位置的選擇，而對中繼臺數量的選擇并未進行研究。Cheng 等人［8］提出了單層無線網絡中怎樣放置中繼臺并使其數目最少的方法。Lin 等人［9］不僅使用最小生成樹法實現了最小化部署中繼臺，且證明其是NP-hard問題。Chen等人［10］提出一個新的高效率模型——“三星結構”來達到最優化利用中繼臺。LOYD 等人［11］則針對雙層網絡情況提出了一種多項式時間近似算法解決中繼臺最少部署問題。

然而，以上研究均未考慮用戶在線數量的情況。本文基于此，結合蜂窩模型、Egli公式以及地形校正因子，同時考慮用戶不同時期數量變化，選取4 種情況進行研究。第一種是用戶數量為1 000的情況，第二種是用戶數量上升到10 000 的情況，第三種是地理位置從平原變化到山區的情況，最后一種情況是對模型的優化，即考慮人口分布不均勻的情況。

1 基本模型

1.1 中繼臺覆蓋半徑

為討論方便，本節涉及的參數如表1所示。

表1 傳播損耗方程各參數說明Tab.1 The parameters of transmission loss

Egli模型［12］是計算無線電波傳輸損耗的實用工程公式，根據不規則多反射地形的大量測試結果發展起來的。該公式在平面大地模型基礎上加入了各種修正因子。其基本傳播損耗方程［13］如式（1）所示：

將表1 中各參數帶入式（1）可得出上行信號覆蓋距離dTx=15.2 km，下行信號覆蓋距離dRx=69.5 km。

1.2 中繼臺能同時服務的最大用戶量

設連續信道的帶寬為B，輸入信道的加性高斯白噪聲n(t)的功率為N，信號s(t)的功率為S，則該信道的容量為

式（2）就是著名的香農（Shannon）信道容量公式，簡稱香農公式［14］。

香農公式表明，當信號與信道加性高斯白噪聲的平均功率給定時，在具有一定頻帶寬度的信道上，理論上單位時間內可能傳輸信息量的極限數值。只要傳輸速率小于等于信道容量，總可以找到一種信道編碼方式，實現無差錯傳輸；若傳輸速率大于信道容量，則不可能實現無差錯傳輸。

1.3 蜂窩模型

蜂窩通信［15］的概念是貝爾實驗室研究人員在構造移動通信系統的無線電覆蓋區時試圖緩解頻率擁擠問題而提出的。在全雙工通信中，一個無線道包含了一對信道頻率雙向傳輸。由于電波傳播損耗，一個頻率在一個區域使用之后，干擾降低到可以接受的程度，于是這個頻率就可以再用一次，這就是頻率復用的概念。設置某個半徑為R的地理區域C1內使用信道F1。這個信道F1在另一個相距D且半徑為R的區域可以再次使用而不會產生較大的同頻道干擾，如圖1 所示。

圖1 蜂窩通信Fig.1 Cellular communication

圖1說明多個相鄰小區組成一個區群（cluster），同一個區群內各小區使用互不相同的信道頻率，不同區群中相同編號的小區可以使用相同的信道頻率，小區群中小區的個數即稱為頻率復用系數［16］，也稱作頻率復用因子K。為了使一個或多個區群能無縫覆蓋整個服務區域，且使小區盡量接近圓形，在蜂窩系統設計中往往采用六邊形的小區。這種小區結構形如蜂窩，故稱蜂窩小區（cell），如圖2所示。

圖2 蜂窩小區Fig2 The cell

頻率復用因子K可由式（3）［17］計算得到，即

其中，D是同頻復用距離；R是小區半徑。

區群內的每個六邊形小區都擁有一個中繼臺，每個中繼臺的信道都不同。通過充分分離的頻率或者附帶不同的中繼器專線來設定不同的信道，從而使得相鄰的中繼臺互不干擾。

參照有關通信組網方面的知識，一般用正多邊形就可以無空隙、無重復地覆蓋一個平面區域，可取的形狀有正三角形、正方形和正六邊形，其中正六邊形更接近理想的圓形。結果證明，用蜂窩模型來完全覆蓋某個平面范圍所需點源的數目最少。

2 不同場景仿真

2.1 平原地形人數為1 000人

本文以覆蓋范圍R0為40英里的圓形區域為例，如圖3 所示，不進行145～148 MHz 分頻，僅使用中繼器專線來區別不同的信道頻率。區群內部的每個小區至少都安排一個不同的中繼器專線，則蜂窩群里頻率復用因子K就是中繼器專線的個數。

由前述可知中繼器覆蓋范圍等于上行覆蓋距離dTx，最大客服量Np。用N0表示平原地形人數1 000，假設人口數均勻分布，則人口密度為

蜂窩群基圓半徑即為小區半徑R，則中繼器覆蓋范圍內人數由式（5）得到，即

取蜂窩群基圓半徑為中繼器上行信號覆蓋距離即R=dTx，將其代入式（5），得到Nd=33

本文采用離散數值方法［18］求解中繼臺極值問題。運用Matlab 7.0 編程計算可得出最少圓數約為30個，如圖3 所示。對于本文，下行信號覆蓋范圍dRx就是同頻復用距離D，而R=dTx，由式（3）可得K=7，即至少用7 個中繼器專線才能滿足在平原地形下用戶數為1 000的通信需求。

此方法適用于任何半徑情況。其優點是保證該區域內所有點都有中繼站信號覆蓋，其缺點是在區域邊緣會有中繼站覆蓋面積的浪費。

2.2 平原地形人數增加到10 000人

仍舊假設人口均勻分布，由式（4）和式（5）可得基圓半徑R=10.4 km，方法和前述一致，得到最少中繼器數為59 個。同理由式（3）可得K=16，即需要的中繼器專線數量至少為16個。

2.3 山區地形

當地形是山區地形時，中繼臺的覆蓋范圍變小，此時重新計算d。在Egli 公式基礎上引入地形校正因子CT，即

這里，CT=Ks+Kh+KA+Kis，參數說明見表2。

表2 修正因子參數Tab.2 The geography correction factor

本文考慮到山區的影響，只選用丘陵地形修正因子，則

對于山區地形，查找相關數據［19］，當地形波動高度Δh=100 m 時對應取Kh=?5。在其他參數不變的情況下，根據式（7）算得d=11.4 km。

（1）當在線用戶為1 000時，由式（4）和式（5）得出R=32.75 km >d，利用R=d的基圓去進行覆蓋，方法和前述一致，得出最少中繼臺數為50。由式（3）得知，所需中繼器專線數目為13。

（2）當在線用戶為10 000時，同樣得出R=10.4 km

3 結果分析

整理上述仿真結果，如表3所示。

表3 不同場景計算結果Tab.3 The results of various senarios

由表3 可知，隨著用戶數量的增加以及地形從平原變換到山地時，中繼器和中繼器專線的數量也會隨之增加。

4 模型的優化

該模型僅僅是針對人口均勻分布的情況，然而實際情況是各個區域的人口密度是有差別的。假設半徑為R1的范圍內人口密度為ρ，則圓面積為s的區域內的人數為

假設中繼臺i能同時服務的人數為ni，其覆蓋半徑為ri，覆蓋面積si=，則有關系然后利用小圓面累加覆蓋大圓面，即滿足邏輯關系(s1∪s2…si…sn?1∪sn) ?s，s就是半徑為R1的圓面積。

在滿足這個邏輯關系的前提下中繼臺數最少，此時的模型適用性很強，只需知道范圍內人口密度分布情況，就可求出滿足所有用戶同時在線情況的最少中繼臺數。

5 結論

本文以在線用戶量為1 000和10 000為例，基于蜂窩模型、Egli 公式以及離散數值方法計算每個中繼臺的覆蓋半徑，以此作為蜂窩通信模型基圓半徑。在山區地形下，通過在Egli 公式中加入地形校正因子進行修正中繼臺的覆蓋半徑，并采用和平原地形同樣的計算方法得出通信所需最少中繼臺數量。此外，當人口密度分布不均勻時，本文對上述模型進行了優化。實驗結果表明，本文所提出的模型以及解決方案能夠在各種約束條件下［20］以耗費最少代價實現最優目標。并且推斷出本文所用方法在任意用戶數量情況下均適用。