基于多薄壁圓管套裝假設的圓軸扭轉切應力-變形量分析

張居敏，王 鵬，鄧在京

（華中農業大學 工學院，湖北 武漢 430070）

受扭圓軸的切應力-變形量理論公式在材料力學、工程力學等力學課程中占有重要地位，也是教學重難點［1-4］.當前教材都采用楔形微體理論導出這些公式［5-9］，方法過于單一，過程有點抽象，初學者不易接受.

文 獻［1-4］給出了楔形微體理論在實際教學中的具體教法建議，指出了平面假設在該理論中的核心性地位.文獻［10］試圖用能量法推導受扭圓軸的切應力-變形量理論公式，該方法理論價值高，但比較抽象、復雜，不便于課堂教學.

筆者以薄壁圓管的切應力-變形量理論及公式為基礎，基于多個薄壁圓管套裝假設，推導了厚壁圓管的切應力-變形量公式，并指出厚壁圓管的切應力-變形量公式完全適用于薄壁圓管，最后以薄壁圓管為例闡述了切應變γ角的物理含義及具體測量方法，為剪切胡克定律公式的正確性提供了實驗驗證方法 .研究結果有助于提升圓軸扭轉理論的內在邏輯關系，有助于課堂教學.

文內涉及的所有軸和圓管，其材質及受力都與教材文獻［5-9］中圓軸扭轉切應力-變形量理論公式的適用對象相同，即滿足：均勻性、連續性、各向同性、線性小變形等諸多條件.

1 薄壁圓管

1.1 扭轉切應力薄壁圓管扭轉切應力分析在材料力學、工程力學等教材中一般都有講解［5-9］，為保持本文整體上的獨立可讀性與完整性，并方便論文后半部分對其引用，現做簡要介紹.

圓管外圓半徑與內圓半徑的平均值稱為平均半徑，用R0表示；圓管厚度即外圓半徑與內圓半徑的差值用δ表示，通常把δ/R0≤1/10的圓管稱為薄壁圓管，否則為厚壁圓管.設某薄壁圓管兩端受到扭矩T的作用，受扭前后分別如圖1所示.在圖1b中沿垂直軸線的1-1截面假想截斷后取左邊半圓管為研究對象，并讓左邊仍然保持截斷前的靜力學平衡狀態.設左邊環形斷茬面上受到均勻切應力τ的作用，如圖1c所示，由于壁很薄，可以近似認為切應力沿壁厚均勻分布.

圖1 薄壁圓管受扭前后對比及橫截面上切應力分布

圖1中T表示圓管兩端面上受到的扭矩；R0表示圓管平均半徑；δ表示圓管厚度.

在圖1c中，環形切應力流形成的力系向截面圓心O點簡化，力系主矢為零（對稱），主矩等于外扭矩T.如圖1d所示，

這就是薄壁圓管受扭時橫截面上切應力計算公式.

1.2 扭轉變形在圖1b中，沿1-1截面右側截取長度為dx的一段圓環，放大后如圖2a所示.設受扭后圓環右端面相對于左端面轉過的角度為dφ，微體abcd距離觀察者最近，設該微體上邊緣轉過的角度為γ，如圖2b所示（已再次放大）.微體abcd受扭后為abc＇d＇.根據觀察知道γ角（即切應變）很小，于是有

圖2 薄壁圓管扭轉變形

式（2）帶入剪切胡克定律公式即τ=G·γ，則有τ=GR0·，帶入式（1）得

式（3）反應了薄壁圓管扭轉時的變形情況，等號左邊為薄壁圓管單位長度扭轉角.

2 厚壁圓管

2.1 扭轉變形如圖3所示，假設厚壁圓管是多個薄壁圓管的套裝組合，其受扭處都存在一個垂直于軸線的剛性圓片，剛性圓片與各薄壁圓管都焊接在一起，外部扭矩作用在剛性圓片上，剛性圓片把外部扭矩分配到各套裝薄壁圓管上.各薄壁圓管對應的單位長度扭轉角都由式（3）確定，由于各薄壁圓管都焊接在剛性圓片上，所以受扭后其變形步調一致，即單位長度扭轉角必然相等，于是由式（3）得

圖3 厚壁圓管扭轉

其中，T1，T2，T3，…，Tn分別表示第1，2，3，…，n個薄壁圓管端面上受到的剛性圓片分配的扭矩；R1，R2，R3，…，Rn分別表示第1，2，3，…，n個薄壁圓管的平均半徑；dR表示各薄壁圓管的統一厚度.

2.2 扭轉切應力厚壁圓管由多個薄壁圓管套裝而成，設其中第i個薄壁圓管橫截面上的切應力為τi，由式（1）得

式（5）為厚壁圓管扭轉時的變形量即單位長度扭轉角計算公式；式（7）和（8）同屬切應力計算公式，這些公式與教材上基于楔形微體理論推導出的公式相同［5-9］.這種相同性并非偶然，因為2 種推理方法都滿足扭轉平面假設，即圓軸受扭變形后橫截面仍然保持平面，其形狀、大小、間距都不改變，而且半徑仍然為直線段［5-9］.筆者把厚壁圓管看作由多個薄壁圓管套裝在一起，這些薄壁圓管受扭后變形步調一致，即單位長度扭轉角相同，所以各薄壁圓管之間沒有相對運動，也就沒有摩擦力.或者說不計摩擦，把厚壁圓管直接看作由多個光滑的薄壁圓管套裝在一起.

另外，扭轉平面假設提到圓軸受扭后形狀、大小、間距都不變，即直徑不變、軸向長度不變，說明直徑方向和軸線方向的正應變都為零，由公式σ=E·ε（即正應力等于彈性模量乘以正應變）可知：這2 個方向的正應力都為零.再由公式σ=F/A（即正應力等于拉力或壓力除以受力面積）可知，受扭后圓軸在直徑方向和軸線方向都不受力，說明將厚壁圓管看作由多個薄壁圓管套裝在一起時，各薄壁圓管之間不存在直徑方向上的相互壓力或拉力，沒有壓力就沒有摩擦力，即各薄壁圓管相互之間沒有摩擦力.

3 厚壁圓管切應力-變形量公式對薄壁圓管的適用性分析

薄壁圓管切應力-變形量計算由式（1）和（3）確定；厚壁圓管切應力-變形量計算由式（5）、（7）和（8）確定.實際上式（5）和（8）不但適用于厚壁圓管，也適用于薄壁圓管.

例1 設某薄壁圓管平均半徑為R0，壁厚為δ，兩端受到扭矩T作用.試分別按薄壁圓管和厚壁圓管計算切應力-變形量，并比較2種算法的差距.

解 令δ/R0=λ即δ=λR0，λ為常數.按厚壁圓管處理時內外直徑及IP、WP依次為

其中，ξτ表示2種算法應力差值在厚壁圓管最大切應力中所占百分比.

再由式（3）和（5）得2種算法的單位長度扭轉角

由式（9）和（10）可知，λ趨近零時ξτ，ξφ也都趨近零.這說明薄壁圓管管壁越來越薄時，無論用薄壁圓管公式還是用厚壁圓管公式，由此計算出的切應力及單位長度扭轉角差距都會越來越小.表1 列出了不同λ值時的ξτ和ξφ值，進一步證實了此觀點.

表1 不同λ值時的ξτ、ξφ值

由于假設薄壁圓管扭轉切應力沿壁厚均勻分布，所以管壁越薄則薄壁圓管的切應力-變形量公式就越準確.厚壁圓管的切應力-變形量公式是由積分得到的：把圓管劃分為無窮多個厚度無限趨近零的薄壁圓管，再依次用薄壁圓管公式計算切應力-變形量，然后疊加.因此有理由認為，厚壁圓管切應力-變形量公式也適用于薄壁圓管，而且計算精度更高.

例2 兩圓管套裝在一起，內管內外直徑依次為d、d1，外管內外直徑依次為d1、D.兩圓管長度相等、切變模量都為G，兩圓管左端面焊接在同一個剛性端蓋上、右端面焊接在另一個剛性端蓋上，在兩端剛性端蓋上各加一個旋向相反的扭矩T.求：1）右端蓋相對于左端蓋繞圓管軸線轉過的角度；2）圓管的最大切應力.

解 1）內外圓管右端面相對于左端面繞軸線轉過的角度相同，所以兩者的單位長度扭轉角相同.由式（5）得

其中，T1和T2分別表示內、外圓管受到的扭矩，IP1和IP2分別表示內、外圓管的極慣性矩

從例2計算結果即式（12）和（13）可知，2個圓管套裝后的單位長度扭轉角和最大切應力，等同于套裝后整體上作為一個圓管的單位長度扭轉角和最大切應力.同理，多個圓管套裝后整體上等同于一個圓管，或者說一個厚壁圓管可以分解為多個（甚至無窮多個）薄壁圓管的套裝組合.例2 間接驗證了“基于多個薄壁圓管套裝假設的圓軸扭轉切應力-變形量分析”理論及公式的正確性.

4 用薄壁圓管扭轉實驗檢驗剪切胡克定律的正確性

設某薄壁圓管兩端受到扭矩T作用，如圖4a 所示，受扭前圓管表面平行于軸線的母線如圖中虛線所示，受扭后母線如圖中實線所示，變為螺旋線.薄壁圓管切應變即γ角如圖4a所示，大小由式（2）確定.由式（2）可知，切應變γ角實際上就是母線在薄壁圓管受扭后所形成螺旋線的螺旋角正切值，由于其很小，故γ角近似等于其正切值.如圖4b所示，在直角三角形ABC中，AB邊代表薄壁圓管的軸向長度L，令BC=R0·φ，φ角表示受扭后薄壁圓管右端面相對于左端面繞軸線轉過的角度，結合式（2），則有

圖4 薄壁圓管扭轉后的切應變γ角

當φ=2π 時，L就等于螺旋線的螺距H，即γ≈tanγ=可以想象，螺距H相對于平均半徑R0而言是很大的.

當前教材一般都沒有給出切應變參數的測量方法，也沒有給出切應變與切應力之間符合正比例關系即剪切胡克定律公式的正確性驗證方法，而是直接理所當然地給出剪切胡克定律公式并加以引用［5-9］.由于缺乏必要的驗證性實驗，而讓切應變這一物理參數顯得很抽象，甚至有初學者懷疑該參數的實際可測性.從式（14）即切應變γ角的表達式可以看出，該參數看得見、摸得著，是可以實際測量的.

若把圖4b所示直角三角形ABC紙片粘貼在圖4a所示薄壁圓管的圓柱面上，讓直角邊AB與受扭前圓柱母線重合，則貼合后斜邊AC就與薄壁圓管受扭后母線形成的螺旋線重合.

材料力學課程實驗一般有2 個：拉伸和扭轉.建議把扭轉試驗中的實心圓軸改為薄壁圓管或另外增加薄壁圓管扭轉實驗.在可行性方面，文獻［11］報道了用百分表測量鋁制薄壁圓管剪切模量G的方法；文獻［12］提到對圓管兩端加柱塞，以輔助裝夾圓管.式（1）為薄壁圓管受扭后橫截面上切應力τ的計算公式；式（14）為薄壁圓管受扭后切應變γ角的計算公式.由剪切胡克定律可知τ與γ成正比，比例系數即為材料的切變模量G.因此，可以用薄壁圓管扭轉實驗測量切應變γ角和切應力τ各自的具體值、可以檢驗剪切胡克定律的正確性、可以測量材料的切變模量G.如果再結合材料力學中拉伸實驗所測的彈性模量E、泊松比μ的值［13］，還可以檢驗參數G、E、μ三者之間的關系，即式（15）的正確性.

5 用薄壁圓管輔助證明切應力互等定理

設某薄壁圓管兩端受到扭矩T作用，如圖1b 所示，沿1-1 截面假想截取長度為dx的圓環微段，放大后如圖2a 所示.再假想割取距觀察者最近的微體abcd，該微體割取前后受力平衡，如圖5所示（微體已放大）.微體左、右兩側面受到的切應力τ大小由式（1）確定、方向則相反，切應力乘以側面面積得切力，于是左、右兩側面的切力大小相等、方向相反，形成順時針力偶.為使微體受力平衡，頂面和底面必有反向切力形成逆時針力偶，設頂面和底面的切應力為τ1，則有

圖5 切應力互等定理

即

其中，dx，dy，δ分別表示微體的長度、寬度和厚度；dv表示微體體積，dv=dx·dy·δ.

式（16）即為切應力互等定理表達式，即在微體互垂截面上，垂直于截面交線的切應力大小相等，方向都指向或背離交線.圖5中微體左、右兩側面上的切應力τ由式（1）確定；頂面和底面上的切應力τ1是通過靜力學平衡理論求解得到.如果τ1不存在即τ1=0，則微體將不再受力平衡而必將加速運動，這與客觀現實不相符，因此τ1必然存在.對微體列靜力學平衡方程，求解得τ1=τ，從而得出切應力互等定理.整個邏輯推理過程理順成章，很有說服力，易于被初學者接受.有些教材在完全忽略圖1b、圖2a情況下直接在緒論中利用圖5所示微體證明切應力互等定理［7-8］，此做法可能不便于學生自主學習.

6 小 結

1）以薄壁圓管的切應力-變形量理論公式為基礎，把厚壁圓管和實心圓軸看作是由多個薄壁圓管套裝在一起，由此導出了厚壁圓管和實心圓軸的切應力-變形量公式，結果與教材中基于楔形微體理論導出的公式相同.

2）厚壁圓管的切應力-變形量公式也適用于薄壁圓管，而且計算精度更高.

3）對于當前材料力學課程中的扭轉實驗，建議用薄壁圓管替代實心圓軸，或另外增加薄壁圓管扭轉實驗.這樣可以驗證剪切胡克定律的正確性，可以測量切應力、切應變及材料切變模量G.切應變γ角是薄壁圓管母線在圓管受扭后所形成螺旋線的螺旋角.

4）建議用受扭薄壁圓管輔助證明切應力互等定理，否則會讓證明過程中涉及到的微體成為無本之木、無源之水，初學者甚至會懷疑這種微體在工程實際中的客觀存在性.