基于內容結構化的小學數學教學設計

張平 潘禹辰

【摘? ?要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。以“圖形的高與面積”這一內容為例，展開基于內容結構化的教學設計與實踐，嘗試讓學生在圖形轉化中理解高和底的意義，并以此為橋梁建立平行四邊形、三角形及梯形的面積計算的實質性聯系，形成圖形面積計算及探索方法的一致性。

【關鍵詞】內容結構化；圖形的高與面積；數學教學設計；內在聯系

義務教育數學課程應落實立德樹人根本任務，從學科立場走向育人立場，將核心素養作為學科育人的基本目標?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系?！比欢?，當前的教學設計大多只關注知識點的教學，而忽視了知識間的內在聯系和發展，學生學習到的知識是零碎的、孤立的，長此以往，學生很難深入理解學習內容并發展核心素養。

一、何為內容結構化

學習內容的整體性、反映學科本質的一致性、表現學生學習的階段性，是內容結構化的三大特征。內容結構化能幫助學生更好地理解和掌握學科的基本原理，實現知識與方法的遷移，準確把握基本概念的進階。[1]基于內容結構化的整體教學設計是一種思維方式，它要求教師能夠站在系統性的高度，深刻理解課程標準，抓住核心概念，從整體視角建立知識之間的內在關聯。在此基礎上，確立一個可以統攝整體內容的主題，根據主題來架構內容線索和內容結構，并圍繞主題重組、整合教學內容，從根本上解決教學方式與課時時限之間的矛盾。如表1所示，內容結構化的整體教學與傳統按課時片面突出某一知識點的教學形成了鮮明的對比。實際上，教師只有通過對數學教學內容的整體分析、整體設計，才能更好地將數學知識從抽象的學術形態真正轉化為學生容易接受的教育形態。為此，筆者以“圖形的高與面積”這一內容為例，展開基于內容結構化視角的教學實踐及思考。

二、基于內容結構化的“圖形的高與面積”的教學內容

（一）“圖形的高與面積”的教材內容

圖形（本文指三角形、平行四邊及梯形）的高與圖形的面積屬于“圖形的認識和測量”主題。在編排上，有些教材將圖形的高和圖形的面積安排在不同年級的不同單元，如人教版教材、蘇教版教材、青島版教材等，其中，蘇教版教材、青島版教材先認識三角形和高，人教版教材則先認識平行四邊形和高；有些教材則將圖形的高和面積安排在同一單元，如北師大版教材、康軒版教材（中國臺灣）。

從圖形的高和面積的認識來看，選擇分開編排的教材側重于把高作為圖形的特征來認識，放在一起編排的教材則側重體現高與面積的關系。然而，從通過內容結構化體現整體教學設計的視角來看，這兩種編排方式都還有進一步探索的空間。一方面，把圖形的高和面積放在不同單元，不利于體現圖形高和底的數學本質。高是什么？無論是垂直線段，還是圖形的高矮，都無法表征圖形高的本質。另一方面，把圖形的高和面積編排在同一單元，看似注重兩者之間的關系，實際上只是把高作為求面積的條件，不能體現兩者之間的邏輯關系。如三角形為什么有三條高？平行四邊形為什么兩組對邊都可以有高？梯形的兩腰之間為什么不能畫高？等等。學生要理解這些問題，必須在結構化的視角下厘清圖形高和面積之間的關系，把高與底的本質表達清楚。

（二）基于內容結構化再認識圖形的高與面積的關系

就圖形的測量而言，一般可分為直接測量與間接測量兩種。直接測量是用度量單位直接度量得出結果，如長方形面積、長方體體積等。間接測量是指通過將要測量的圖形轉化為某些基本圖形，找到相應的面積測量的方法，得到測量結果。如平行四邊形轉化為長方形，三角形和梯形轉化為平行四邊形等。

基于圖形要素的變化，圖形之間可以相互轉化。例如，當梯形的上下底相等時，就變為平行四邊形；當梯形的上底變為一個點時，就變為三角形；當平行四邊形的內角變為直角時，就變為長方形（或正方形）；等等。這些屬于從一般到特殊的轉化（如圖1）。

圖形的面積計算以高為聯系和紐帶。具體而言，高是為了計算圖形面積而被定義出來的。每一個平行四邊形都可以通過切割并平移，轉化為與它面積相等的長方形，因此，計算長方形面積就需要尋找與長方形的長和寬相關的平行四邊形要素，即產生了定義高和底的需求，從而發現平行四邊形的底和高就是轉化后的長方形的長和寬。由此，形成一種基于面積計算的圖形的高和底的探究過程（如圖2），并在這一過程中發現平行四邊形面積與轉化成的長方形面積的關系，進而發現圖形的高和底。同理，三角形和梯形的高也是如此（兩個完全一樣的三角形和梯形也可以拼成平行四邊形）。

于是，一些疑惑就迎刃而解。如三角形為什么有三條高，是因為用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形有三種拼法，相應地，轉化為長方形也有三種基本方式（如圖3）。

又如平行四邊形為什么兩組對邊都可以有高，是因為每一個平行四邊形可以用兩種方式轉化為長方形（如圖4）。

至于梯形的高為什么只能在上下底之間，則是因為從梯形的兩條腰出發畫高，無法將其轉化為長方形或平行四邊形。

三、基于內容結構化的“圖形的高與面積”的教學設計

內容結構化的核心是建立對學生有意義的知識結構，其要義是顯現知識的產生和發展、體現知識間的聯系、凸顯知識本質。為實現核心素養導向的教學目標，基于內容結構化的整體教學設計要注重建立教學內容與核心素養主要表現的關聯，在具體的任務設計和學習活動之中落實素養目標。

（一）目標設計

就圖形的高與面積而言，其關聯的核心素養表現主要有推理意識、量感等，其中發展學生的推理意識是關鍵。圖形的面積是描述圖形大小的重要屬性，其中，長方形面積的計算是其他圖形面積計算的基礎。平行四邊形、三角形和梯形等圖形面積的計算，關鍵是在圖形之間進行互相轉化，而圖形的高和底是它們之間聯系的紐帶。在這個知識體系中，高和底不是簡單地由人為規定的，而是學生在圖形轉化過程中自己“發現”和“創造”的?；谝陨戏治?，整體教學設計應分為三個階段：一是創設情境，在生活情境中發現問題和提出問題；二是探索圖形之間的等積轉化，發現和創造圖形的高和底；三是回顧反思，加深理解。由此確立“核心素養—核心目標—具體目標—任務設計”的教學框架，層層推進教學目標和相應的學習任務（如圖5）。

（二）教學過程

1. 創設情境

創設“喜羊羊受邀參觀羊羊莊園”的情境（如圖6），引導學生提出相關的數學問題。

2. 小組合作

探索圖7中的平行四邊形與長方形的面積的大小關系，研究平行四邊形與長方形的等積轉化。

小組合作要求：

（1）先說說每個人的猜想。

（2）討論比較方法（基本方法為數方格法、割補法）。

（3）每個同學在小組內說明比較的過程和結果。

3. 討論交流

核心問題1：是不是任意一個平行四邊形都可以找到這樣與它面積相等的長方形？

核心問題2：怎么用最簡單的方法在平行四邊形上表示出面積相等的長方形？ （如圖8有3種方法）

核心問題3： 三種方法的相同點和不同點？

方法1通過割補法找出了完整的等面積長方形；方法2找出了等面積長方形的長（平行四邊形的底平移）和寬（平行四邊形的高）；方法3只找出了等面積長方形的一條邊（高），但它的另一條邊與平行四邊形的邊（底）一樣長。

4. 總結發現

像方法3這樣找到的長方形的邊在平行四邊形中也叫作平行四邊形的高，長方形的另一條邊也叫作平行四邊形的底。

5. 研究三角形與平行四邊形的面積關系

（1）根據圖9，探索三角形與平行四邊形的面積關系。

（2）如何找到三角形的高和底？

如圖10，兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形，借助平行四邊形就能找到三角形的高和底。

（3）討論：為什么要找三角形的高和底？

三角形的高和底也就是拼成的平行四邊形的高和底。找到了平行四邊形的高和底，就知道了平行四邊形的面積，知道了平行四邊形的面積也就相當于知道了三角形的面積。

6.研究梯形與平行四邊形的面積關系

（1）根據圖11，探索梯形與平行四邊形的面積關系。

（2）討論：

問題1： 圖12中，梯形與平行四邊形的面積有什么關系？

問題2：如何找到梯形的高？

梯形的高和底也就是拼成的平行四邊形的高和底。找到了平行四邊形的高和底，也就知道了平行四邊形的面積，知道了平行四邊形的面積也就相當于知道了梯形的面積。

問題3：圖13中的梯形的高畫得正確嗎？為什么？

梯形兩腰上的垂線不是梯形的高，因為它既不是轉化成的平行四邊形的高，也不是轉化成的長方形的邊（如圖14）。

7. 回顧反思

（1）如何找到平行四邊形、三角形和梯形的高？

（2）為什么要找圖形的高？

（3）平行四邊形、三角形和梯形的高有何聯系？（建立長方形、平行四邊形、三角形、梯形之間的內在關聯，如圖15。）

四、對基于內容結構化的教學設計的建議

基于內容結構化進行小學數學教學設計，要把握四個方面的問題：一是要把握相關知識的核心概念，如圖形面積計算中的高，它既是圖形轉化的核心要素，也是面積計算的關鍵條件；二是要基于核心概念建立起知識間的實質性聯系，如圖形高和底的產生，就是源于面積計算過程中的實際需求，而不是因為要進行面積計算事先人為定義的；三要把握教學內容的一致性，如平行四邊、三角形、梯形三者的高的意義是完全一致的，都能理解為與轉化后的長方形相對應的一條邊（長和寬）；四是學習方法的可遷移性，這是基于結構化進行教學設計的關鍵，當學生在從平行四邊形轉化為長方形的過程中發現了高，那么這個方法遷移到三角形和梯形的轉化中也同樣成立。

總之，基于內容結構化的小學數學教學設計，是圍繞主題進行的教學內容的重組與整合，需要轉化成教學行為落實到課堂中。教師對內容結構化教學設計的理解也是逐步深入的，不僅要考慮數學知識的固有學科邏輯，還要考慮學生的認知規律及主題的探究過程，在實施過程中根據教學情況進行不斷調整和優化。

參考文獻：

［1］馬云鵬. 基于結構化主題的單元整體教學：以小學數學學科為例［J］.教育研究，2023，44（2）：68-78.

（1.江蘇省張家港市中興小學

2.南京師范大學課程與教學研究所）