求代數式的最值的解題策略

田素偉

(上海市泥城中學,上海 201300)

求代數式的最值問題是高中數學中的一類非常重要的問題,在求某些代數式的最值時,特別是對于“知和求和型”求最值,對于解決這類問題的關鍵是合理選擇恰當的方法.在這類問題中如果能正確利用權方和不等式會起到事半功倍的效果,下面通過具體例題說明權方和不等式在求最值問題上的解題策略[1].

1 直接利用權方和不等式求最值

解析由權方和不等式,得

利用權方和不等式求最值時的一般步驟:

第一步:先看分式的分母之和是不是定值,分子之和是不是定值,若不是定值,能否通過變形后使之變成定值;

第二步:使用權方和不等式公式,讓分子的指數比分母大1即可;

第三步:檢驗等號成立的條件.

解析因為已知a>0,b>0,

所以2a+b+4≥12.

所以2a+b的最小值為8.

分析通過變形再利用權方和不等式求最值.

解析由a+2b=2可得a=2-2b.

解析因為2a+b=3,

2 通過權方和不等式再利用換元和重要不等式求最值

3 與三角函數有關的問題求最值

評析本題利用權方和不等式求最小值,簡單明了,可以起到事半功倍的效果.

4 與函數性質有關的求最值

又因為00.

評析本題還可以先用換元法再利用基本不等式求解,但是計算量比較大.

分析先求函數的奇偶性與單調性,再根據f(a)+f(3b-1)=0,得a+3b=1,最后根據權方和不等式求最值.

所以f(x)=-f(-x).

所以f(x)為奇函數.

因為f(a)+f(3b-1)=0,

所以f(a)=f(1-3b).

所以a=1-3b.

即a+3b=1.

評析易錯點是利用權方和不等式求最值時,要注意必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值,這也是最容易發生錯誤的地方.

5 與數列有關的問題求最值

解析設等比數列{an}的公比為q,則q>0.

由a3=a2+2a1可得q2-q-2=0.

因為q>0,所以q=2.

所以m+n-2=4.可得m+n=6.

由已知m,n∈N*,

6 與向量有關的問題求最值

分析先根據三點共線,求出m+2n=1,再利用權方和不等式求最值.

所以m+2n=1.

以上各題都是對于“知和求和型”求最值,是以不等式、三角、數列、向量為載體,實際上還是考查不等式性質的應用,可以轉化為“1”的應用來考查基本不等式,但是如果熟練掌握利用權方和不等式求最值,可以簡化計算,使解題變得簡單.