巧借數學知識 解答物理難題

摘 要：數學是一門典型的工具性學科，數學知識、思想與方法幾乎貫穿于所有理科課程的學習與研究，為學生邏輯思維與抽象思維的發展提供助力與支持.在初中物理解題中，教師可指導學生巧借數學知識來解答，幫助他們突出難題的障礙，文章通過列舉實例，分析如何巧借數學知識解答初中物理難題，以助學生提高解答物理難題的效率.

關鍵詞：數學知識；物理；難題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0083-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：許錚（1982.10-），男，福建省福州人，本科，中學一級教師，從事初中物理教學研究.

基金項目：2021年度福州市教育信息技術研究立項課題“教育信息化背景下初中跨學科協同教學模式研究”成果之一（課題編號：FZDJ2021A36）[FQ）]

數學知識是學生學習一切理科知識的基礎，主要研究常見的空間與數量關系，是解決理科類題目的一個不可或缺的有力工具［1］.

1 巧借平面幾何知識，順利解答物理難題

基于整體視角來看，數學知識包括幾何和代數兩個部分，初中時期以學習平面幾何知識為主，主要研究各種圖形的位置關系和空間形式，雖然較為淺顯，但是幾何圖形十分直觀和形象，能夠清晰明了地呈現信息.針對初中物理解題教學而言，當碰到一些光學、力學方面的難題時，往往會涉及到分析圖形，這時教師可提示學生巧借平面幾何知識進行分析和研究，使其在較短的時間內就能夠找到準確的解題思路，從而幫助他們順利處理掉難題［2］.

例1 結合透鏡成像規律能夠通過畫光路圖的方式來理解，已知在圖1中，光心位于O點位置，焦點是F，在圖2中，B′A′是物體AB經過透鏡產生的像.（1）請在圖2中把兩條入射光線的出射光線畫出來，將整個凸透鏡成像光路圖完成；（2）在圖2中，假如物距u是BO，像距v是B′O，焦距f與OF相等，請結合幾何知識求證1f＝1u＋1v.

解析 針對第（1）問，學生在畫光路圖的時候要同時用到光學知識與數學中的平面幾何知識；針對第（2）問，題目中已經提示要運用幾何相關知識證明等式成立，要用到平行和相似三角形等數學知識.

具體解題方式如下：（1）結合光學知識數學平面幾何知識畫出如圖3所示的光路圖，即為凸透鏡成像的光路圖；（2）在三角形AA′C中，因為OF∥AC，所以OFAC＝OA′A′A，結合合分比性質可以得到OFAC－OF＝OA′A′A－OA′，即為OFAC－OF＝OA′A′A，依據RtΔABO∽RtΔA′B′O′得到OA′A′A＝OB′A′B′，則OFAC－OF＝OB′A′B′，結合物距u＝BO，像距v＝B′O，焦距f＝OF，代入后可以得到fu－f＝vu，則1f＝1u＋1v.

2 巧妙借用比例知識，高效解答物理難題

在初中物理教學中，不少物理量與公式都成比例形式，當碰到部分難題時，教師可指導學生巧妙借用比值、比例知識進行解析，找到自變量且帶入到公式之中，結合因變量存在的比例關系解決問題［3］.

例2 如圖4所示，如果該電路中電源電壓始終不變，當開關S接通a時，電流表A1與A2的示數比為5：7，當開關S接通b時，它們的示數比是3：4，請問電阻R2與R3的比是多少？

解析 當開關S接不同的位置時兩個電流表示數的比值不一樣，根據題目中提供的條件，學生可以利用比例相關知識進行計算和轉化.

具體解題方式如下：當開關S連接到a位置時，設電阻R1與R2的電流分別為I1和I2，結合題意可以得到I1I1+I2＝57，結合數學中的合分比性質能夠得到I1I2＝52，即為R1R2＝25；當開關S連接到b位置時，設電阻R1與R3的電流分別為I1和I3，同樣結合題意可以得到I1I1+I3＝34，同理得到I1I3＝31，即為R1R3＝13；根據比例的原理及性質最終得出R2R3＝56.

3 巧妙使用方程知識，輕松解答物理難題

初中階段，教師可引領學生巧妙使用方程知識解答難題，先找出題目中存在的等量關系，再結合題意列出相應的方程或方程組，使其通過對方程或方程組的求解得出未知參數，從而得到答案［4］.

例3 假如把兩個定值電阻R1與R2采用某種特殊方式接入到同一個電路當中，電阻R1的電功率是12 W，然后改變方式繼續連接起來，仍然接入到之前電路中，此時電路中的總電流為9 A，電阻R1的電功率是108 W，請求出R1與R2的阻值大小.

解析 題干中給出兩種不同的定值電阻連接方式，學生可以分別找出其中的等量關系，據此建立出相應的方程組，從而獲取未知數的值.

具體解題方式如下：結合題目信息知道定值電阻R1第一次的電功率是12 W，與第二次的108 W相比小很多，由此判斷出這兩個定值電阻第一次是串聯電路，第二次為并聯電路，在第一次連接中，結合串聯電路公式I＝UR1+R2，由此得到第一個方程（UR1+R2）2×R1＝12；在第二次連接中，由于電路之中總電流是9 A，根據歐姆定律可以列出方程U＝9R1R2R1+R2，且結合并聯電路列出方程U2R1＝108，聯立方程組，解方程組即可求出R1與R2的阻值大小.

4 巧借數形結合思想，科學解答物理難題

數形結合是一種極為重要的思想方法，不僅可以用來解答數學試題，還能夠應用至物理

試題之中，揭示“數”與“圖形”之間的關系，將數量與圖形之間建立好對應關系，從中找到解題的切入點［5］.

例4 如圖5，在這一電路中，電源兩端電壓是一個恒定值，閉合開關S后對滑動變阻器進行調節，從電流表與電壓表上獲得多組數據，在坐標軸上畫出U-I圖像，如圖6所示.

（1）結合圖像變化規律可知，在圖6中電壓表V2的讀數變化圖像應是_______（A或B）；

（2）結合題中信息能夠求出電源兩端的電壓大小是_______V；

（3）請求出電阻R1的阻值大小是_______Ω；當移動滑動變阻器時，當它的阻值是_______Ω時，電流表的讀數是0.2 A.

解析 教師可提示學生基于數形結合思想切入，將題干中的文字描述同圖像相對照，讓他們找到解題的突破口.

具體解題方式如下：結合圖5可知，兩個電阻是串聯關系，電壓表V1、V2分別測量的是電阻R1與R2兩端的電壓，串聯電阻會把電源電壓分走，當往左移動滑動變阻器的滑片時，電阻R2阻值變小，兩端電壓變大，電阻R1兩端電壓變小，電流表V1的示數增大，V2的示數減小，整個電路的電阻變小，電流增大；圖6中A表示電壓表V1的示數，B表示電壓表V2的示數，當電流I＝0.1 A時，電壓表V1與V2的示數分別是2 V與4 V，則電源電壓是6 V；當電流I=0.2 A時，電壓表V1和V2示數分別為4 V和2 V，根據歐姆定律得知滑動變阻器接入電路部分的阻值R＝UI＝2 V0.2 A＝10Ω.

5 巧妙應用逆向思維，合理解答物理難題

一些初中物理題目相對繁瑣復雜，通過常規的正向思考很難快速找到解題的關鍵線索，以致于陷入到困境之中，這時，初中物理教師可引導學生巧妙應用逆向思維，學會轉變角度，使其從問題的反方向或者結論視角展開逆向思考，另辟蹊徑，迅速、準確找到解題突破口，物理難題自然也就迎刃而解［7］.

例6 已知一輛裝滿貨物的大卡車總重量為35 000 N，它以10 m/s的速度勻速行駛在水平路面上，行駛10分鐘以后，這輛大卡車受到的阻力是3 000 N，那么在大卡車行駛的這10分鐘內，發動機所產生的牽引力對車的作用是多少？大卡車的功率是多大？

解析 處理這一難題時，教師提醒學生基于逆向視角切入，先使用距離公式S＝vt計算出這輛大卡車所行駛的總路程，再結合力的作用是相互的這一物理原理分析與計算，即可求出準確結果.

具體解答方式如下：這輛大卡車在10分鐘內行駛的路程為S＝vt＝10 m/s×600 s＝6 000 m，在勻速運動時根據“力的作用是相互的”可知大卡車受到的牽引力和阻力大小一樣，即為F＝f＝3 000 N，牽引力對大卡車所做的功W＝Fs＝3 000 N×6 000 m＝1.8×107J，則大卡車的功率P＝Wt＝30 000 W.

綜上所述，數學知識可應用至初中物理解題中，教師需把握好數學知識與物理解題之間的密切關系與銜接之處.在平常解題教學中，要求學生除利用物理學科知識以外，還需考慮怎么巧借數學知識展開解題，使其靈活使用數學思維解答物理難題，逐步提高他們的物理解題能力.

參考文獻：［1］ 吳建春.數學定理在初中物理解題中的應用［J］.數理化解題研究，2022（11）：107-109.

［2］ 劉鵬.摭談數學知識在初中物理解題中的應用［J］.數理天地（初中版），2022（04）：45-47.

［3］ 張傳啟.數學思維在初中物理解題中的運用［J］.理科愛好者（教育教學），2021（06）：64-65.

［4］ 徐璇璇.數學思維在初中物理解題中的方法探析［J］.數理化解題研究，2021（26）：86-87.

［5］ 柏兆明.數學知識在初中物理解題中的運用［J］.科普童話，2020（01）：20.

［6］ 肖會清.淺談數學知識在初中物理解題中運用［J］.中學課程輔導（教師通訊），2020（01）：69.

［責任編輯：李 璟］