三法一體 有序提升

朱旭平 徐旭琴

人教版小學數學教材六年級上冊“雞兔同籠”一課，以獨立的方式呈現了解決這一問題的三種方法，分別是猜想列表法、假設法、列方程法。如果再深入分析這三種方法的內在特點及思考根源，可以發現它們并不是孤立的教學點，而是存在著內在的有機聯系。筆者以具體的教學實踐為例，來談談自己的思考。

【教學過程】

一、化繁為簡

1.出示用古文表述的雞兔同籠問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

師：這就是著名的雞兔同籠問題，是大約一千五百年前，我國古代數學著作《孫子算經》中記載的一道數學趣題。讀一讀，這道題的意思你明白嗎？

2.根據學生回答，用白話文表述的雞兔同籠問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？

師：這個問題你能解決嗎？感覺有點難度，我們可以先從簡單的問題入手。

3.出示簡單的雞兔同籠問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

[評析：從《孫子算經》引入雞兔同籠問題，并對這一問題進行語言表述上和數量多少上的簡化，旨在傳遞雞兔同籠問題的數學文化氣息，滲透解決較復雜數學問題所經常運用的化繁為簡的思想，有助于學生把握數學知識發展的脈絡，初步感受問題中所蘊含的數學思想。]

二、猜想提升

1.解讀題意。根據第一個條件“從上面數，有8個頭”，猜一猜，有幾種可能？根據學生的回答，有序地整理成下表，想一想，你們是怎么猜的？如果兔有x只，雞有幾只呢？

…2.哪一種可能是對的呢？要根據哪一個標準去判斷？（根據雞兔一共有26…只腳）你會計算每種情況雞兔的總腳數嗎？根據學生計算呈現表2。

師：都算對了嗎？你是怎樣算的？每只雞有2只腳，只數×2=腳數，每只兔有4只腳，只數×4=腳數。哪一種情況是對的？誰來解釋一下？有3只雞，5只兔，列出算式是2×3+4×5=26只腳。

教師總結：我們用列表的方式，找到了正確答案：雞有3只，兔有5只。

3.教師指著表格中用未知數x…表示的數，提問：誰來說說2（8-x）+4x…表示什么意思？只有當它的值等于26時候，求出的x值是正確的。你能根據剛才的思考，用列方程的方法來解決這道題嗎？根據學生回答，課件呈現用方程解決問題的過程。

解：設籠子里的兔為x只，那么雞為（8-x）只。

[評析：猜想列表法與方程法具有相關性，可以說方程中的未知數及含有未知數的式子是猜想列表中數量及用數量計算腳數的一種模型。具體分為兩個方面：一方面根據題中的一個條件（共有8個頭）進行有序的猜想并形成表格，這種總數量不變，而其中的兩部分數量互變的函數思想已轉化為學生熟練的猜想技能，進而根據內在關系將猜想列表提升為用未知數模型表達這兩部分數量；另一方面是讓學生用腳數去驗證，計算方法是雞頭數×2+兔頭數×4=總腳數，這一方法在含有未知數的等式中就更加清晰地呈現出來。在這兩個方面提升的基礎上，用方程解決雞兔同籠問題就水到渠成了。]

三、規律揭示

1.仔細觀察表2，你還發現了什么？從左往右看，1只雞換作1只兔，就多了2只腳，從右往左看，1只兔換作1只雞，就少了2只腳。然后在電腦上用圖的變化進行定型（見圖1）：雞兔互換1只，腳數相差2。

2.如果先猜雞兔只數分別是8、0，怎么調整到3、5呢？學生指著表格說，1只雞換作1只兔就多2只腳，2只雞換作2只兔就多4只腳，3只雞換作3只兔就多6只腳，4只雞換作4只兔就多8只腳，5只雞換作5只兔就多10只腳，這樣腳數就是26只，調整了5次，然后在電腦上用圖的變化來鞏固學生的思考。（見圖2）

3.怎樣才能一步就想到將5只雞換作5只兔呢？雞、兔只數分別是8、0，總腳數是16只。而要求總腳數是26只，那16只腳到26只腳總共還少了10只腳，1只雞換作1只兔，就增加2只腳，而10里面有5個2，因此是5只雞換作5只兔，增加了5個2只腳，即增加了10只腳，這樣就得出兔是5只，雞是3只。接著用算式規范學生的思考：假設籠子里都是雞，2×8=16（只）腳，26-16=10（只）腳，4-2=2（只）腳，10÷2=5（只）兔，8-5=3（只）雞。

4.運用假設法。如果假設籠子里都是兔，該怎么計算？用算式完整地表示出來。假設籠子里都是兔，4×8=32（只）腳，32-26=6（只）腳，4-2=2（只）腳，6÷2=3（只）雞，8-3=5（只）兔。然后讓學生指著算式說思考過程。

5.兩種假設法進行歸納比較，總結出假設法的解題方法與經驗：都是用總相差的腳數除以每只相差的腳數。要注意：開始假設都是雞的，先求出的是被換的兔的只數；開始假設都是兔的，先求出的是被換的雞的只數。

[評析：假設法是對猜想列表中內在規律的挖掘與提煉，其中需要實現兩個方面的提升。一是觀察表格發現1只雞和1只兔互換，相差的腳數是2，進而提升到幾只雞和幾只兔互換，相差的腳數是幾個2；二是在順向觀察的基礎上，進而提升為逆向思考“怎樣才能一步就得到5只雞換作5只兔呢？”并能用算式記錄思考過程，從而形成解決問題的方法。]

三種解決問題的方法是相關聯的，皆出于學生對問題猜想的原生態思考。本教學正是著力于三種方法之間的聯系，將一般以孤立零散的方式進行的教學提升到以整體聯系的方式進行教學，培養學生整體聯系的思考方式，有利于改變學生為學方法而學方法的不良狀態。