流域變化環境下水文非平穩異方差序列隨機建模研究進展

宋松柏

(西北農林科技大學 水利與建筑工程學院, 陜西 楊凌 712100)

1 研究背景

顯然,現有條件下水文序列不滿足Box-Jekins法ARMA模型建立的前提條件,不能用于這類異方差性波動序列建模,需要研究具有非平穩異方差性序列的建模方法,以擴充現有隨機水文學的理論體系。20世紀以來,由ARMA模型發展出了許多新型模型,如外生變量影響干預(auto-regressive moving average with exogenous inputs, ARMAX)模型、周期自回歸(periodical auto-regressive, PAR)模型、函數系數(functional auto-regressive moving average, FARMA)模型、波動(auto-regressive conditional heteroskedasticity, ARCH)模型族;SV(stochastic volatility)族、高階矩模型(generalized auto-regressive conditional heteroskedasticity, GARCH;auto-regressive conditional heteroskedasticity with skewness and kurtosis, GARCHSK)及協整理論( vector error correction, VEC)模型等,旨在改善ARMA模型的性能、預報精度和多角度捕捉描述序列的波動特性,以及描述序列的異方差性、異偏度和異峰度特性的能力,這些模型符合變化環境下異方差性波動水文序列的特性。目前,上述模型在金融、經濟等領域取得了許多成功應用案例。但是,這些模型在水文領域的應用起步較晚,且尚未開展對其他新型優良波動性模型的研究[1-12]?；谏鲜霰尘?本文在總結國內外水文非平穩異方差建模研究進展的基礎上,探討目前進一步需要研究的主要內容,提出一些主要的研究思路和解決途徑,以期為精確描述變化環境下流域水文要素值的變化規律、涉水工程規劃設計與科學管理、干旱風險調控提供依據。

2 異方差模型在水文中的應用

2.1 異方差特性

2.2 異方差模型應用實踐

Romilly[13](2005年)建立了全球月平均氣溫長期平均變化季節ARIMA(auto-regressive integrated moving average)模型和殘差序列方差隨時間波動的GARCH模型。結果表明,ARIMA-GARCH模型提高了ARIMA模型的擬合精度。Chen等[14](2008年)應用ARMA模型和ARCH模型建立了中國臺灣省烏溪河10日徑流量模型,研究結果表明,與ARMA模型相比,ARCH模型將效率系數從0.28提高到了0.76,平均絕對誤差從60.45 m3/s降低到了41.35 m3/s,ARCH模型呈現出良好的性能。Modarres 和 Ouarda也是異方差水文序列建模較多的學者,他們的研究包括:(1)加拿大Alberta省Campsie站月降水的SARIMA-GARCH模型[7];(2)降雨序列ARIMA-GARCH模型和徑流序列GARCH模型,通過GARCH模型有效捕捉ARIMA模型殘差序列異方差特性[8];(3)加拿大Quebec省Matapedia River流域日徑流的ARIMA-GARCH模型[9];(4)伊朗干旱與大氣環流指數(southern oscillation index, SOI;north atlantic oscillation, NAO)多變量自回歸條件異方差GARCH模型[10];(5)加拿大Bagotville機場站加拿大全球氣候模式(CGCM3 T47)輸出數據與日最高、最低氣溫間的多變量自回歸MGARCH(multivariate generalized auto-regressive conditional heteroskedasticity)模型[11]。Yusof等[15](2013年)建立了馬來西亞半島(西馬)Ipoh和Alorsetar站日降水量ARIMA-GARCH模型。Szolgayov等[16](2017年)構建了斯洛伐克共和國Hron和Morava站KLN洪水模擬模型殘差序列GARCH模型。Liu等[17](2017年)建立了非平穩泉流量ARMA-GARCH模型。Fathian等[12](2018年)用Zarrineh Rood Dam流域日降水和徑流資料建立了VARX(vector auto-regressive with exogenous input)和VARX-MGARCH模型,結果表明,MGARCH模型的主要型式——對角VECH(diagonal VECH,DVECH)模型能夠刻畫VARX模型殘差的條件協方差和條件相關結構隨時間的變化;VARX-DVECH模型能夠捕捉降水-徑流過程的異方差特性。Farshad[18](2019年)以伊朗西北地區Urmia Lake 流域Zarrineh Rood大壩以上控制區6個水文站日徑流量為例,發現徑流序列殘差平方εt2即方差序列(均值E(εt)=0,Var(εt)=E(εt2)-[E(εt)]2=E(εt2))的自相關函數隨時間發生變化,并利用Urmia Lake 1986-2016年的逐月水位序列,建立了徑流、氣溫、降水、風速、相對濕度、日照時數為影響變量的ARIMA-MGARCH多變量水位均值和方差時變模型,指出在這個動態過程中徑流具有最長的記憶影響。Khalek等[19](2019年) 利用孟加拉共和國西北部月平均地下水水位數據,開展了GARCH模型和小波-GARCH模型研究,結果表明小波-GARCH模型在刻畫波動性和預測方面最優。Liu等[20](2019年)以山東省5個站點的月SPI-9干旱指數建立了ARMA和ARMA-GARCH模型,表明ARMA-GARCH模型在模擬和預測精度方面優于ARMA模型。Pandey等[21](2019年)利用印度Agartala(濕潤地區)和Jodhpur(干旱地區)月降水量資料建立了SARIMA-GARCH耦合模型,且取得了良好的運行效果。

在國內,北京師范大學王紅瑞教授是國內較早開展水文序列異方差模型研究的學者[3-6,22-23],如:王紅瑞等[3-4](2008年)提出了基于異方差檢驗的水文序列隱含周期模型,并應用于新疆維吾爾自治區塔里木河流域阿拉爾水文站和新渠水文站年天然徑流數據的周期分析,結果表明,研究區兩站徑流序列存在42.7 a的隱含周期,所建立的模型能夠較深層次地挖掘分析徑流序列周期;王紅瑞等[22](2009年)針對水文序列的異方差性,利用河南省淮河流域的鲇魚山水文站月徑流資料,建立了異方差分析模型,取得了較好的應用效果;王紅瑞等[23](2012年)以宜昌水文站1949—2001年日徑流數據為例,首先提取季節成分,然后,利用剩余成分序列建立ARMA模型,最后,對ARMA模型殘差序列建立GARCH模型,結果表明,與ARMA模型相比,在同一置信水平下,GARCH模型能夠提高預測置信區間的精度。孫懷衛等[24](2015年)建立了宜昌氣象站參考作物騰發量SARMA(seasonal auto-regressive moving averoge)模型,發現參考作物騰發量變化過程存在條件異方差特性,4類GARCH模型驗證結果表明,GARCH類模型能夠很好地描述參考作物騰發量方差變化特征,其中,EGARCH(exponential GARCH)的性能最佳,可深度挖掘參考作物騰發量的波動規律。王喜華等[25](2011年)利用小波分析原理,首先對降水序列進行分解與重構并進行檢驗,建立了ARCH、ARMA、ARMA-GARCH模型;其次,進行序列成分疊加,獲得基于小波分析的ARMA-GARCH模型;最后,將模型應用于通榆地區年降水量分析,研究結果表明小波分析的ARMA-GARCH模型是一種可行的預測模型。Wang等[26-27](2022、2023年)應用ARMA-GARCH模型進行日徑流模擬,取得了滿意的模擬效果。除此之外,還有水位-流量曲線估計中的異方差分析(顧西輝等[28](2014年))和大壩安全監測統計模型中的異方差問題(周元春等[29](2002年))等研究。

3 存在的主要科學問題

根據上述國內外研究進展,變化環境下非平穩強波動水文序列異方差建模研究存在以下主要科學問題,迫切需要進一步研究和解決。

(1)差分運算是利用自回歸模型來分離提取序列蘊含的線性趨勢和曲線趨勢的確定性成分,也是將實際中非平穩化序列轉換化為平穩序列一種常用的方法,稱這種非平穩序列為差分平穩序列。一般來說,線性趨勢序列通過一階差分提取出線性趨勢,可消除線性趨勢的影響。通過二階或三階差分可提取曲線趨勢的影響,序列周期(步長)的差分可以消除周期成分的影響。但是,隨著差分階數的增加,差分剩余序列的信息損失也隨之增大。因此,非平穩序列過度差分對ARMA模型的建模產生較大影響,導致錯誤的模型結構,需要進一步研究新的非平穩模型建模方法。

(2)常用的水文序列平穩性統計檢驗方法(時序圖法、自相關系數法、分段檢驗法和游程檢驗法)往往具有主觀性,而欠缺定量性。ADF(augmented Dickey-Fuller)檢驗法使DF(Dickey-Fuller)檢驗推廣到了ARMA(p,q)模型平穩檢驗。但是,ADF檢驗法包含維納過程(Wiener process)的積分,在給定顯著水平下,相應的臨界值也沒有解析函數求解,只能通過數值模擬進行計算。許多統計學論著中給定的臨界值表格數據有限,有時無法找到給定顯著水平下對應的臨界值。因此,需要進一步研究不同顯著水平下DF檢驗(無漂移自回歸結構、有漂移自回歸結構、帶趨勢回歸結構)和ADF單位根檢驗統計量的臨界值,為非平穩水文序列建模提供依據。

(3)與ARMA模型相比,ARCH和GARCH建模較為復雜?，F有非平穩異方差序列建模研究基本上以ARMA-GARCH或ARIMA-GARCH模型為主。這些模型中的擾動項正態分布假設偏離了水文序列偏態分布特性。因此,有必要引入擾動項偏態分布(或非正態分布),進行ARCH和GARCH模型的建立,以提高模型對高峰后尾波動特征的刻畫能力。

(4)現有ARCH和GARCH模型中采用ht作為εt2的線性函數,水文序列主要采用一元模型(ARCH、GARCH、EGARCH、TARCH)模型、多元模型(VEC、對角VEC),但對于非平穩強波動序列來說,εt2的ht非線性函數能夠反映水文序列的強波動特性。因此,近年來發展了GARCH族的許多新型模型。如一元參數GARCH模型(Log-GARCH、IGARCH、MARCH、AARCH、Nonlinear GARCH、GJR、APARCH、C-GARCH、β-GARCH、MS-GARCH、GQARCH、HGARCH、VSGARCH、FIGARCH、N-Component GARCH、FIEGARCH、ANST-GARCH、MEM、HYGARCH、COGARCH、Spline-GARCH、IESTAR-GARCH、分數增廣-GARCH);一元非參數GARCH模型、SV模型和多元GARCH模型(BEKK、CCC、DCC)。這些新型模型具有更加靈活的波動彈性,然而卻均沒有在水文序列分析中得到應用。

(5)波動性模型有GARCH族模型和隨機波動SV模型兩類。目前,水文序列分析僅開展了GARCH族模型的應用研究,還沒有進行SV模型的應用研究。與GARCH族模型相比,SV模型引入了不可觀測的隱變量(latent variable),能夠靈活和彈性地刻畫序列的波動性。因此,有必要開展隨機波動SV模型在水文序列建模中的應用研究。

(6)ARCH、GARCH和SV模型描述了低頻數據的波動性,而ACD(auto-regressive conditional duration)、EACD(exponential ACD)、GACD(generalized Gamma ACD)等高頻數據模型對于序列波動性有較大的影響。由于水利工程、水土保持工程、宏觀政策干預等高強度人類活動的影響,這類序列往往與傳統非平穩序列的特性差異較大。但是,還未在水文領域中開展這些高頻模型的應用研究。

(7)與一元異方差性模型相比,目前關于多元異方差性模型的研究很少,主要開展了向量自回歸VAR(vector auto-regressive)模型的應用研究。協整(co-integration)理論是近10年來發展起來的新型多元異方差性模型,如向量誤差修正(VEC)模型。這類模型對序列平穩性要求較低,各變量序列間均可為非平穩,只需它們之間的線性組合為平穩序列。因此,協整理論可以解釋變量之間的長期穩定的均衡關系,是定量分析非平穩序列之間關系最為重要的工具之一。但是,還未在水文領域中對VEC模型進行應用研究。

4 研究內容與途徑

根據上述變化環境下非平穩強波動水文序列異方差建模研究的進展和存在的主要科學問題,本文提出以下主要研究內容和研究途徑。

(1)異方差性檢驗方法。異方差性檢驗也屬于假設檢驗范疇。如前所述,異方差性是相對于同方差而言的,同方差是指隨機誤差項為常數,不隨時間的變化而變化,如常用的線性回歸模型總是假定隨機誤差項滿足同方差性。目前,時間序列分析領域廣泛采用的異方差性檢驗方法有圖示檢驗法(相關圖和殘差圖法)、Goldfeld-Quandt檢驗法、White檢驗法、Park檢驗法和Gleiser檢驗法。上述這些方法與序列變異點診斷具有類似的結果,即同一具有均值為零的殘差序列,其異方差性檢驗結果相差較大。因此,需要根據平穩性、非平穩性、同方差性、異方差性和協整向量模型特性,應用蒙特卡洛法(Monte Carlo method),通過數值求解獲得模擬樣本。在此基礎上,選取現有的統計檢驗法,獲得異方差性檢驗結果,評定最佳有效的統計檢驗法,為后續建模相應特性檢驗提供檢驗方法。

(2)擾動項為偏態分布的異方差單變量GARCH模型建模與預測方法。金融學、經濟學和信號處理等學科的異方差模型擾動項一般選用正態分布,即對稱分布密度函數。這與實際水文序列服從偏態分布的特性不一致。另外,異方差模型參數通用的求解方法是選用極大似然法,對于偏態分布模型來說,獲得參數收斂求解仍然是一個復雜的過程。近年來,出現了許多新的參數估計方法。因此,應積極吸取GARCH族模型的最新研究成果,應用條件簡化極大似然法、BHHH(Berndt-hall-Hall-Hausman)和GMM(Gaussian mixture modeling)法求解對應模型的參數;應用AIC(Akaike’s information criterion)、BIC(Bayesian information criterion)、quasi AIC(QAIC)、 quasi second-order AIC(QAICc)、Schwarz(SIC)、Shibata、Hannan-Quinn(HQ)、Modified AIC(MAIC)、Modified SIC(MSIC)和Modified Hannan-Quinn (MHQ)法則,開展擾動項為偏態分布非平穩波動單變量GARCH模型的定階、參數估計和預測方法研究。

(3)單變量隨機波動SV模型建模。SV族模型屬于隨機波動類模型,可采用R、MATLAB和Python軟件包以及Eviews等專業軟件進行計算。但是,這些計算工具基本上適用于單一特性序列,對于一些復雜的水文序列,需要組合模型描述其特性。另外,近年來SV族模型的一些新型參數估計方法沒有包含在上述軟件包和專業軟件之中。因此,應用采用擬極大似然法(quasi-maximum likelihood,QML)、廣義矩法(generalized method of moments,GMM)、有效矩法(efficient method of moment,EMM)和標準矩法(standardised method of moment,SMM),推導相應分布的時變矩估計公式,開展單變量隨機波動SV模型的定階、參數估計和預測方法研究。

(4)多元非平穩強波動模型建模與預測方法。徑流受到多種因素影響,多元異方差模型可提高序列的模擬與預測精度。但是,隨著解釋變量維數的增大,多元異方差模型參數估計的復雜性也大大增加,因此需要研究其穩定和高效的參數估計方法。協整是指對于兩個或多個非平穩序列,雖然單個序列不滿足平穩性,但選用這些序列的某一組合后,產生的新序列呈現出平穩性。目前,大多數非平穩序列必須經過處理而轉換為平穩序列后方可采用常用模型建模。1978年,Engle和Granger提出了著名的協整理論,拓寬了非平穩序列建模的思路和途徑。其主要觀點是,幾個同階單整序列間可能隱含存在一種長期穩定關系,將其進行線性組合有可能達到降低單整階數的目的。顯然,這種觀點符合流域水文變量序列間的變化特性。因此,在上述單變量建模與預測方法的基礎上,可應用多元GARCH模型和協整理論模型(VEC)原理,研究符合水文序列特性的多元水文序列新型建模與預測方法。

5 結 論

由于氣候變化和高強度人類活動的顯著影響,流域水文呈現出高度的復雜特性,破壞了Box-Jekins法ARMA模型建立的前提條件。本文梳理了國內外流域變化環境下水文非平穩異方差序列隨機建模的研究進展,提出了目前幾個主要研究內容和研究途徑,得出以下主要結論:

(1)我國一些流域的水文氣象序列存在異方差性,這種異方差性水文序列不能滿足Box-Jekins法建立ARMA模型的前提條件。因此,Box-Jekins法不能用于該類異方差性波動序列的建模,需要研究具有非平穩異方差性序列的建模方法。

(2)金融學、經濟學和信號處理等領域取得了許多異方差模型成功的應用案例,為流域變化環境下水文非平穩異方差序列隨機建模提供了理論基礎,在此基礎上開展變化環境下水文非平穩異方差序列隨機建模是可行的。

(3)分布式水文模型通過流域空間離散單元描述流域下墊面和水循環要素的時空異質性,提高了刻畫和反映流域水文過程的真實性。根據現有的研究成果,與集總式水文模型和數據驅動模型相比,分布式水文模型的模擬和預測精度并沒有得到顯著性提高,而且其建模成本較大,并難以模擬水文序列的異方差性。因此,吸收金融學、經濟學和信號處理等領域的最新研究成果,開展異方差序列研究是變化環境下水文序列隨機建模的一種實用、可行途徑。