布袋注漿樁復合地基固結方程解析解

彭儀普,湯致遠,鄧湘洋,李 劍,李子超

(中南大學土木工程學院,湖南 長沙 410075)

在我國東部沿海部分地區,地貌表現為全新世晚期濱海淤積平原地貌,該地區土體性質較差,均為軟土地基。目前常用的地基處理方法有換填、強夯等加固天然地基處理方式和水泥攪拌樁等置換處理方式?；谲浲撂匦?這些地基處理方式存在適用性差、效果不明顯的特點。而通過土工織物袋或尼龍袋以及水泥等注漿液形成柱狀或葫蘆狀硬化體擠密加固土體的軟土地基處理方法受到越來越多的關注。

布袋樁由于布袋排水特性可以加快土體固結,縮短工期[1],就復合地基固結理論,諸多學者對其進行了研究。1948年,R.A.Barron[2]提出了砂井地基徑向軸對稱固結理論,后續學者不斷對Barron固結理論中的假定進行修正,極大促進了砂井地基固結理論的研究。楊濤等[3]將整個復合地基視為均質的復合材料,采用復合模量法對荷載瞬時施加和單級施加的黏結材料樁復合地基線彈性固結理論進行了研究。謝康和等[4-5]通過兩種不同的方法對復合地基固結模型進行了修正。部分學者對考慮樁體和土體發生二維變形情況下的固結理論進行了研究[6-8]。T.Yang等[9]在盧萌盟等[10-11]提出的軸對稱固結模型的基礎上,進一步提出未打穿不透水樁復合地基的固結解析解,使對不透水樁復合地基固結問題的研究又得以拓展。D.W.Zhang等[12]按照滲透系數將塑料排水板和土體等效為均質土體,利用K.Terzaghi[13]提出的天然地基一維固結模型計算組合樁復合地基固結度。陳蕾等[14]利用砂井地基理論研究了組合樁復合地基固結問題。

以上學者采用理論分析和試驗等方法對復合地基固結理論進行了深入研究,促進了對復合地基固結理論的認識和了解,然而其理論研究大多是基于一定的條件假設及模型簡化,對更為復雜的情況只能通過數值求解的方法進行計算?；诖?筆者針對布袋注漿樁特性,考慮土體水平滲透系數的三種模式以及附加應力延深度的非均勻分布,首次推導布袋注漿樁復合地基固結控制方程,并求出在不同加載情況下的固結解析解,為軟土地基處理的設計計算方法提供參考。

1 固結控制方程推導

布袋注漿樁復合地基在正方形布樁時,為方便計算,參照碎石樁復合地基,布袋注漿樁復合地基單樁分擔地處理地基面積的等效圓直徑de=1.13s,其中s為復合地基樁間距(見圖1)。

圖1 布袋樁復合地基布樁圖Fig.1 Pile layout of bag pile composite foundation

1.1 基本假定

筆者以軸對稱固結模型為基礎[11],樁周土體存在豎向水流,并考慮土體的水平向滲透系數,且水平向滲透系數沿徑向發生變化。由于布袋注漿樁其特有屬性,樁體為不排水且樁-布袋邊界為不排水邊界,布袋-土界面為弱排水界面,所取單元的徑向外邊界即影響區邊界為不排水界面。

考慮到現場環境的復雜性,采用固結簡化模型(見圖2),基于以下假定:

圖2 布袋注漿樁復合地基固結模型Fig.2 Consolidation model of composite foundation with cloth bag-grouting-pile

①樁體為不透水樁,樁體內不存在超靜孔隙水壓力;

②布袋注漿樁所采用布袋的水平滲透系數和豎直滲透系數不變,分別為khb和kvb;

③等應變條件成立,即樁體、布袋和土體均受側向約束,并且豎向變形相等;

④無豎向壓力作用時,常仕維等[15-17]運用修正的達西定律去描述土工織物的滲透特性,認為當流速較小時,水流進入孔隙或從孔隙流出時產生的局部水頭損失相對于水流通過由織物形成的孔隙時產生的水頭損失可以忽略,表現為層流。因此假定復合地基內水的滲流和流動符合Darcy定律;

⑤外部荷載在地基中引起的平均附加應力σ(z,t)為深度與時間的函數。

1.2 推導過程

筆者在進行布袋注漿樁復合地基固結控制方程推導時考慮擾動效應(涂抹效應),將樁周土分為擾動區和未擾動區,并假定擾動區土體的滲透系數小于未擾動區土體,且布袋的水平滲透系數和豎直滲透系數不變,分別為khb和kvb。根據擾動區土體滲透系數隨位置變化模式的不同,考慮擾動效應的方法主要包括模式一、模式二、模式三(見圖3)。模式一:假定擾動區土體滲透系數保持不變,此模式為最早考慮擾動效應,造成的誤差較大,適用于擾動區較小的情況;模式二:假定擾動區土體滲透系數沿徑向線性變化;模式三:假定擾動區土體滲透系數沿徑向拋物線變化,此模式是通過大量試驗結果和實測結果擬合出來的近似變化模式。

圖3 擾動區土體水平滲透系數三種變化模式Fig.3 Three variation modes of soil horizontal permeability coefficient in disturbed area

復合地基水平滲透系數kr(r)和復合地基豎向滲透系數kv(r)均是一個關于徑向距離r的分段函數(見圖3、圖4),令kr(r)=khf1(r)、kr(r)=khf2(r),圖中kh為復合地基未擾動區土體水平滲透系數。

圖4 復合地基豎向滲透系數變化模式Fig.4 Vertical permeability coefficient variation pattern of composite foundation

根據圖2所示固結模型及布袋注漿樁樁體不透水,由等應變假定及平衡方程可得:

(1)

豎向應變關于時間t的偏導數為

(2)

式中:n為樁徑比,n=re/rc;s=rb/rc;X=Eb/Es;Y=Ec/Es。

地基土體內、布袋內以及布袋和土體內的平均孔壓分別為

(3)

(4)

(5)

由式(2)和式(5)得:

(6)

由于布袋注漿樁復合地基的布袋-土界面為排水界面,而樁-布袋邊界和單元體外邊界不排水,所以得出徑向邊界條件為

(7)

根據謝康和等[18]在對稱情況下考慮土體徑向及豎向滲流時研究的固結方程作微分和積分,并結合式(7)對應的邊界條件,得:

(8)

rb≤r≤re。

(9)

式中:kv為土體豎向滲透系數;γw為水的重力密度。

將式(8)代入式(3)、式(9)代入式(4),并將兩式相減后聯合式(5)、式(6)得:

(10)

對式(8)和式(9)關于r微分,代入式(7)對應的邊界條件,并結合式(5)、式(6)得:

(11)

其中,

將式(11)代入式(10)得:

(12)

其中,

由于地基頂面排水,底面不排水,可得豎向邊界條件為

(13)

2 固結控制方程求解

2.1 荷載瞬時加載條件下方程求解

由于在初始時刻土體和樁體沒有發生變形,將等應變假定代入固結模型平衡方程,結合式(5)可得初始條件為

(14)

圖5 瞬時加載情況下復合地基中附加應力隨時間變化圖Fig.5 Variation of additional stress in composite foundation with time under instantaneous loading

(15)

式中:

(16)

(17)

(18)

amλmcos(λmH)=0.

(19)

由于λm和am不能為零(否則解為零解),可知λm=M/H,M=(2m-1)π/2(m=1,2,…,),將條件帶入式(16)解出βm,將式(15)、式(17)結合式(14)可得最終解:

(20)

(21)

復合地基的固結度可以定義為

(22)

把式(14)和式(20)代入式(22),得到瞬時加載情況下的布袋注漿樁復合地基固結度解析解:

(23)

2.2 荷載單級施加條件下方程求解

地基內附加應力是一個可以分離的變量,外部荷載單級施加且附加應力沿深度呈梯形分布(見圖6),荷載非瞬時施加時,在地基內引起的附加應力為

圖6 荷載單級情況復合地基附加應力隨時間和深度變化圖Fig.6 Variation of additional stresses in composite foundations with time and depth under single-stage loads

(24)

式中:σT和σB分別為最大加載值時地基頂面和底面的附加應力值。

(25)

(26)

式中:

(27)

由初始時刻荷載為零結合式(25),可以得出滿足初始條件Tm(0)=0的解,結合式(26)、式(27),代入式(25)得到地基內平均超靜孔壓:

(28)

本節按應力定義的固結度來求解,布袋注漿樁復合地基固結度按應力可定義為任一時刻土體和布袋組合體內的有效應力和最終荷載即總應力之比,即:

(29)

通過聯合式(5)、靜力平衡方程和等應變假定可得:

(30)

(31)

式中:Ez為布袋和土體組合體的等效壓縮模量,G=Ec/Ez=(n2-1)Y/[n2-s2+(s2-1)X]。

(32)

3 解的驗證

筆者根據布袋注漿樁的特性,采用新的求解方法及表達形式推導了布袋注漿樁復合地基在荷載瞬時施加和單級施加情況下的解析解,并且采用退化解與已有解的比較來對解析解的正確性進行驗證。將常數A、C、D、F代入式(9)可解出βm的具體表達式為

(33)

式中:

令rb=rc,即不考慮布袋的影響作用,此時s=1,kvb=kv,將其代入到式(33)可得βm為

(34)

將s=1、kvb=kv代入式(32),可得到固結度解答退化為

(35)

式(35)與式(34)即為盧萌盟等[20]給出的單級荷載下附加應力沿深度非均勻分布的不透水樁復合地基的固結解答。

令σB=σT,式(35)退化為

(36)

式(34)和式(36)即為盧萌盟等給出的單級荷載下附加應力沿深度均勻分布的不透水樁復合地基的固結解答。

令tc→0,則式(36)中t≥tc對應的固結度解答退化為

(37)

式(34)和式(37)即為盧萌盟等給出的瞬時荷載下不透水樁復合地基的固結解答。也驗證了筆者給出的瞬時荷載下布袋注漿樁復合地基固結解的正確性。

如果令n→∞(即rc→0),假設狀體不存在,則式(34)的βm退化為

(38)

式(37)和式(38)即為Terzaghi一維固結解。顯然,經過四重退化(rb=rc,σB=σT,tc→0和n→∞)即可退化為Terzaghi一維固結解。

4 復合地基固結特性分析

為分析影響布袋注漿樁復合地基固結的參數,對固結解答做進一步探討,筆者采用控制變量法和取特殊值法,通過函數圖形的比較,在六種不同參數的工況條件下對固結的影響進行分析,以期更為直觀地對布袋注漿樁復合地基固結性狀進行研究。文中取H=22 m,rc=0.2 m,布袋注漿樁復合地基樁間距為1.3 m,其余參數見表1。

4.1 布袋注漿樁復合地基固結度分析

對式(23)進行分析,繪出在瞬時加載時,擾動區土體水平滲透系數保持不變情況下(模式一),布袋注漿樁復合地基固結度與加載時間(U-lgt)的曲線(工況一)如圖7所示,并與Terzaghi天然地基固結解、盧萌盟等[10]給出的散體材料樁復合地基和一般不透水樁復合地基固結解進行地基固結速率的比較。其中,取布袋樁滲透系數kvb=0.864 m/d,土體的滲透系數kv=8.64×10-5m/d,為了使曲線對比更加直觀,取散體材料樁的滲透系數kc=0.864 m/d。

圖7 四種地基形式的固結速率比較Fig.7 Comparison of consolidation rates of four foundation forms

由圖7可知,在樁體壓縮模量相同的前提下,四者的固結速率:散體材料樁復合地基的固結速率遠大于不透水樁復合地基的固結速率,不透水樁復合地基的固結速率遠大于天然地基,而布袋注漿樁由于布袋的排水作用,其復合地基固結速率遠大于一般不透水樁復合地基的固結速率,模式二和模式三結果相似。但在工程應用中,布袋注漿樁并不以加速地基土固結為主要目的,而是為了提高地基承載力和減小地基沉降。

對式(32)進行分析,分別取σT/σB=0,σT/σB=0.4,σT/σB=1,σT/σB=2.5,σT/σB→∞進行布袋注漿樁復合地基固結度的計算。在荷載單級線性施加時,模式一情況下復合地基中附加應力分布形式對固結度的影響(工況二)如圖8所示。從圖中曲線可以看出,地基固結隨著地基頂面和底面的附加應力比值的增大而加快。因為假定排水面設置在地基表面時,接近排水面處的附加應力越大,地基固結越快。

圖8 附加應力分布形式對固結的影響Fig.8 Effect of additional stress distribution on consolidation

圖9為擾動區土體水平滲透系數呈模式二變化時,加載歷時對地基固結的影響(工況三)。從圖中可知,加載歷時越長,荷載施加得越慢,固結也就越慢。

圖9 加載歷時對固結的影響Fig.9 Effect of loading elapsed on consolidation

圖10為擾動區土體水平滲透系數呈模式二變化時,布袋注漿樁復合地基布袋滲透系數對地基固結的影響(工況四),分別取kvb=0.216 m/d,kvb=0.432 m/d,kvb=0.864 m/d,kvb=1.296 m/d,kvb=1.728 m/d進行計算。從圖中可以看出,地基固結速率隨著布袋滲透系數的增大而加快;當布袋滲透系數增大到一定程度,復合地基固結速率減緩,此時布袋滲透系數對地基的固結速率產生的影響很小,因此在設計布袋注漿樁復合地基時應合理選擇布袋類型。

圖10 布袋滲透系數對地基固結的影響Fig.10 Effect of cloth bag permeability coefficient on foundation consolidation

4.2 布袋注漿樁復合地基孔壓分析

圖11 某一時刻地基平均孔壓沿深度分布形式Fig.11 The average pore pressure of the foundation at a certain time is distributed along the depth

圖12為擾動區土體水平滲透系數呈模式二變化時,布袋注漿樁復合地基在單級線性加載情況下,加載歷時對地基內平均孔壓消散的影響(工況六),分別取tc=0,tc=5 d,tc=10 d,tc=20 d,tc=50 d,z/H=0.5進行復合地基平均孔壓計算。從圖中可以看出,當荷載非瞬時施加時,孔壓首先由零逐漸增大,當荷載施加到最終荷載時,孔壓也同時達到最大,隨后開始減小直至孔壓最終消散為零。另外隨著加載歷時增加,地基內的最大孔隙水壓力值變小,因此為了減小地基內產生較大的孔隙水壓力而導致的滲流破壞,可考慮采用減緩加載速率的方式來使荷載達到最終值。

圖12 加載歷時對地基內平均孔壓消散的影響Fig.12 Effect of loading time on average pore pressure dissipation in the foundation

5 結 論

(1)在計算條件相同的情況下,散體材料樁復合地基的固結速率大于布袋注漿樁復合地基固結速率,布袋注漿樁復合地基固結速率大于不透水樁復合地基的固結速率,不透水樁復合地基的固結速率遠大于天然地基。

(2)地基固結隨著地基頂面和底面的附加應力比值的增大而加快,且接近地表的附加應力越大,固結越快。

(3)加載歷時對地基固結的影響較大,加載歷時越長,荷載施加得越慢,固結也越慢;外部荷載瞬時施加,此時地基固結最快,然而加載歷時越久,地基內的最大孔隙水壓力值越小。