基于隨機模型預測控制的衛星編隊重構

周旭艷,涂海燕,李 彬

(1. 四川大學電氣工程學院,四川 成都 610000;2. 四川大學空天科學與工程學院,四川 成都 610000)

1 引言

多衛星編隊飛行是未來許多空間科學任務的一項有利技術,因其具有更高的靈活性、更高的可靠性和更低的成本而備受關注[1]。編隊重構是衛星編隊系統的關鍵技術之一,也是其區別于傳統單顆衛星的重要特征。根據衛星編隊飛行任務的不同需要,通過重構編隊幾何結構,將衛星從當前編隊移動到期望的編隊[4]。例如,當某一顆衛星失敗或編隊需要更新有效載荷時,可以通過編隊重構來補充新的衛星。因此,對編隊衛星重構控制的研究對于衛星編隊飛行的實際應用具有重要意義。

在編隊重構過程中,控制系統不僅要保證衛星準確地移動到預定位置,且要滿足各種約束條件,如推力約束和避障約束。非線性最優控制[5,6],魯棒控制[7],滑?？刂芠8]和凸優化[9]被廣泛應用于解決重構問題。文獻[10,11]應用最優控制理論和排列組合原理,在深空探測中進行了衛星編隊重構研究。文獻[12]以燃料消耗量和過渡時間為性能指標,利用凸優化理論設計編隊重構軌道過渡策略。在文獻[13]中,將狀態相關Riccati方程(SDRE)技術應用于編隊重構與維護問題的非線性控制器設計中。文獻[14]提出了一種基于線性矩陣不等式(LMI)的衛星編隊重構動態二次最優(DQO)輸出反饋控制器。然而,衛星編隊重構過程中存在推力、避障等諸多約束條件,可能導致實際系統的控制性能不佳,上述文獻中均未考慮約束條件。

模型預測控制(Model predictive control, MPC)是近年來在航天航空領域廣泛應用的一種反饋控制策略,它既能處理線性和非線性目標,又能考慮穩定性、性能優化有約束等不同的要求[2,15-26]。其機理是在考慮系統動力學、目標函數和約束條件的情況下,通過在每個采樣時刻反復求解一個在線優化問題,得到最優的控制行為。文獻[2]提出了一種具有推力約束的衛星編隊重構控制的非線性滾動控制方案。衛星編隊飛行的空間環境十分復雜,如太陽風影響、推進器的不確定性、低軌道大氣阻力等因素都是不確定的,將這些不確定因素建模為隨機噪聲。雖然滾動時域方法使MPC具有一定的魯棒性,但傳統的MPC并不是針對系統不確定性而設計的[27]。其魯棒穩定性的實現要求外部噪聲足夠小或者狀態約束不存在,因此不能滿足一般不確定系統控制的要求[16]。

為了系統地解決上述問題,本文提出了一種帶狀態反饋的隨機模型預測控制(SMPC)算法來解決衛星編隊重構問題中的擾動和系統不確定性[28]。SMPC利用了噪聲的隨機特性和統計特性并且能處理多約束類型,通常取懲罰函數的最小期望值,而用到的隨機特性通常是噪聲的期望和協方差[29]。SMPC一般考慮機會約束(又稱概率約束)[30,31],機會約束利用系統不確定性的隨機性特征,允許約束在一定程度上被違反,從而達到更好的控制性能。然后利用確定性等價式處理該類隨機MPC問題,確定性等價式方法的原理是:一是利用確定性等價式將機會約束轉化為確定約束,如當隨機噪聲的密度分布不可知時,利用切比雪夫不等式將機會約束確定化[32],當隨機噪聲的密度分布可知時,利用累積概率函數的反函數將機會約束確定化[33];二是將目標函數利用狀態的期望和協方差迭代式直接表示為確定形式。因此,隨機MPC就轉化成了確定MPC問題。

本文在衛星編隊重構過程中,考慮了燃油經濟性,且考慮了編隊衛星隨機擾動和各種約束條件的影響,比如推力大小約束和避障約束。與標準的MPC相比,SMPC由于較弱的保守性,消耗燃料更少,且能更快的達到編隊重構隊形。

2 問題描述

2.1 衛星相對運動動力學

假定主軌道為圓軌道或近圓軌道,用LVLH框架中的一組線性時不變方程描述衛星相對運動動力學[34]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中

系統(7)是可控的但是不穩定,將連續系統離散,設置采樣時間Ts,那么離散化系統表示如下

x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)

(8)

其中

A=eAdTs=

其中,Θ=sin(ω0Ts),Ξ=cos(ω0Ts)。

2.2 約束

在實際工程應用中,衛星的推力是有界的,因此假定衛星的控制輸入是連續有限推力,其振幅僅限于:

(9)

設置邊界條件約束為每顆衛星在重構過程中的初始和最終狀態的數值約束:

x(0)=xinitial

x(T)=xfinal

(10)

其中,xinitial,xfinal分別是衛星的初始和最終狀態。

(11)

衛星不能從球體障礙物中穿過,只能從其周圍繞過,則任意一顆衛星如果能避開障礙物需要滿足如下約束

(12)

圖1 障礙物線性化方法

fc(xt+Δx,yt+Δy,zt+Δz)=fc(xt,yt,zt)+

(13)

其中

可簡化上述線性約束為

Adbsxi(t)≤bdbs

(14)

所以,編隊飛行中的所有衛星在滿足式(14)的約束下都可以實現避障。

2.3 MPC編隊重構問題模型

在編隊衛星動態重構過程中,必須保證衛星能夠滿足邊界條件約束、控制輸入約束和避障約束,并且能克服太空中的隨機擾動。為了提高衛星的使用壽命,必須充分考慮到燃料消耗問題。因此,為了提高控制精度,降低編隊成本,將衛星實際狀態和期望狀態之間的誤差和能量消耗作為衛星編隊重構的性能指標即懲罰函數,則MPC編隊重構問題模型如下

-umax≤ui≤umax

Adbsxi(t)≤bdbs

x(0)=xinitial

x(T)=xfinal

3 SMPC 算法

傳統的MPC無法滿足一般情況下不確定性系統控制的需求。在實際的衛星編隊重構系統中,需考慮各種各樣的干擾源以及系統不確定性,將編隊重構問題表示為一個隨機規劃問題。則系統(8)可寫為如下隨機模型

xt+1=Axt+But+Gwt

(15)

定義xt,ut,wt如下:

將上式寫為更緊湊的形式則有[37]

Xt+1=Gxxxt+GxuUt+GxwWt

(16)

其中

3.1 狀態反饋

令反饋控制律[31]

(17)

則

(18)

其中

在假設的狀態反饋下,狀態的平均值為

(19)

3.2 目標函數

在SMPC算法中,通常取的是懲罰函數的最小期望值[16]。

(20)

(21)

δUt=K(Gxxδxt+GxwWt)

(22)

可得

δXt=(GxuKGxu+Gxw)δxt+(GxxKGxw+Gxw)Wt

(23)

(24)

(25)

則有

(26)

設置

則目標函數(20)可轉化為如下確定性形式

3.3 機會約束

本文考慮機會約束,機會約束允許在一定的置信區間內違反硬約束,從而使約束軟化獲得更好的控制效果。則控制輸入約束(9)可改寫成以下聯合機會約束的形式[38]

(27)

其中,k=1,2,…,N-1i=1,2,Pr{ψ}代表Ψ的概率,h∈u、umax∈是常向量,表示實數集,ξ∈(0,1)是限制違反約束的概率。利用布爾不等式來確定違反聯合機會約束的概率,則有

(28)

則聯合機會約束可用以下兩個單個機會約束代替

(29)

(30)

顯然式(30)、式(31)是非凸的,不方便計算,必須將其轉化為凸的形式。文獻[31]中描述了一種利用切比雪夫不等式處理機會約束的方法,將其進行了運用,從而將(29)(30)處理為如下形式

(31)

(32)

其中κ∈[0,1]是附加的設計參數,

=E(K(Gxxδxt+Gxwwt)(Gxxδxt+Gxwwt)TKT)

=KMKT

則SMPC編隊重構問題模型如下

s.t.:Xt+1=Gxxxt+GxuUt+GxwWt

x(0)=xinitial

x(T)=xfinal

4 仿真結果

采用MATLAB2018b版來進行了仿真,并使用CVX工具箱對控制問題進行了優化,CVX是MATLAB中求解凸優化問題的工具箱。

參考模型由一個圓形軌道上的三顆衛星組成,編隊重構任務是編隊衛星成員從一字形轉換為等腰三角形。將軌道高度設置為850km,則衛星角速度n=0.0255rad/s,控制輸入-20≤u≤20,預測時域N=10。權重矩陣Q=diag(103103103102102102),R=2×103I3。障礙物中心坐標為(-30,37,40),半徑為10。利用MATLAB進行了800次蒙特卡洛仿真。三顆衛星的初始和期望狀態設置見表1。

表1 編隊衛星成員的初始狀態與期望狀態

假設障礙物設定為球狀,圖2和圖3分別是考慮避障約束設計下MPC算法和SMPC算法下編隊衛星成員的最優三維軌跡,圖6和圖7是考慮避障約束時編隊衛星成員最優軌跡的三維圖,結果表明,在式(33)的約束下,所有編隊衛星成員都能夠避開障礙物。SMPC較MPC弱保守性,需要繞更遠的距離躲開障礙物,如圖2及圖6中的Sat2,這就使得衛星走更遠的路程,消耗更多燃料,而SMPC在距離障礙物安全距離范圍內盡量軌跡最短。圖4和圖5分別是不考慮避障約束設計下MPC算法和SMPC算法下編隊衛星成員最優二維軌跡,由圖可得,編隊衛星成員由于沒有避障約束撞上障礙物。

圖2 帶避障約束的MPC三維最優軌跡

圖3 帶避障約束的SMPC三維最優軌跡

圖4 無避障約束的MPC三維最優軌跡

圖5 無避障約束的SMPC三維最優軌跡

圖6 帶避障約束的MPC二維最優軌跡

圖7 帶避障約束的SMPC三維最優軌跡

圖8和圖9分別是兩種算法下任意兩兩衛星之間的距離,由圖8可得,在MPC算法下,編隊衛星成員在40s完成從一字形轉換為等腰三角形的編隊重構任務;由圖9可得,SMPC算法下編隊衛星成員在25s時就已完成編隊重構任務,結果表明SMPC算法完成編隊重構任務的速度比標準MPC快。

圖8 MPC下兩兩衛星之間距離

圖9 SMPC下兩兩衛星之間距離

圖10和圖11分別是兩種算法下編隊衛星成員在(x,y,z)三個方向上控制輸入,結果表明SMPC在給定概率下可以違反約束,可以使控制系統得到更好的控制性能,燃油更少且在避障時軌跡更優,而MPC算法則是嚴格遵守約束。表2是兩種算法下編隊衛星成員的的燃料消耗結果。

表2 編隊衛星成員燃料消耗

5 結論

本文主要研究了存在隨機擾動、推力約束、避障約束等情況下的衛星編隊重構控制問題,基于具有外部擾動和各種約束條件的Clohessy-Wiltshire方程,提出了一種帶有狀態反饋的隨機模型預測控制器。利用確定性等價式將隨機MPC問題轉化為確定性MPC問題,并與標準的MPC算法進行了比較。仿真結果表明,SMPC較MPC算法具有更好的控制性能,不僅能處理各種約束,而且具有處理系統不確定性干擾的能力。由于所提出的SMPC算法在設計中考慮了擾動,而基于MPC的方法在設計中不考慮擾動。因此,SMPC較MPC消耗更少的燃料,且SMPC算法能夠更快的完成編隊重構目標。此外,本文還考慮了障礙物模型的設計,在避障約束下,編隊衛星成員都能避開障礙物,這對工程實際具有重要的意義。