基于自適應魯棒的機械臂軌跡跟蹤控制

趙化民,呂成興,陳 健

(青島理工大學信息與控制工程學院,山東 青島 266520)

1 引言

近年來,隨著機器人技術的發展,如何在不增加成本的前提下提高機器人性能以達到更高的精度和速度受到越來越多的關注[1]?，F階段的實際應用中,在保證機械臂任務完成質量與速度的同時,對于給定的軌跡達到期望的跟蹤精度成為了研究的熱點問題。

在機械臂軌跡跟蹤問題受到越來越多人關注的同時,針對軌跡跟蹤問題,各種優良的控制策略被廣泛提出用以保證機械臂進行精確軌跡跟蹤。比如魯棒控制,自適應控制以及滑?？刂芠2]等。自適應控制可以在不確定因素和模型參數變化的情況下確保良好的系統性能,但這種方法需要大量計算設計控制律。傳統滑?？刂芠3,4]雖然有著較好的魯棒性和快速的響應能力,但其會引起控制的抖振從而削減系統控制性能。文獻[5]提出的自適應反步滑?？刂?通過推導出精確的包含摩擦的機械臂動力學模型,使系統在存在外界干擾時仍可以進行精確的軌跡跟蹤。擾動觀測器[6-8]通常被用來處理系統所受干擾以及系統本身存在的一些不確定性,其因設計結構簡單直觀而受到廣泛歡迎。文獻[9,10]為更好抑制抖振現象設計了一種基于擾動觀測器的非線性滑?？刂破?同時提高了機械臂抗干擾能力。文獻[11]為解決系統的時滯效應提出了一種帶有干擾觀測器與狀態觀測器的徑向基函數神經網絡(RBFNN)控制方案。Tran等[12]提出一種使用終端滑?？刂?TSMC)和RBFNN的機械臂自適應控制,此方法加快了系統響應速度但TSMC仍存在奇異問題。魯棒自適應[13]跟蹤控制方法也能夠很好的解決系統跟蹤問題且提高系統跟蹤精度。以上傳統算法雖然一定程度上提高了系統性能但未能使誤差在有限時間內收斂或存在奇異問題。

文獻[14]采用一種遞歸分散有限時間控制,使跟蹤誤差在有限時間內收斂到原點附近從而保證系統良好的跟蹤性能,但其方法較為復雜。Sun等[15]將隨機控制理論與自適應技術結合設計了一種克服過度參數化問題的控制器,能夠保證跟蹤誤差的均方根任意小。文獻[16]通過一種新穎的雅可比矩陣自適應(JMA)方法對機械臂進行跟蹤控制,同樣達到了期望跟蹤精度。文獻[17]以時延控制(TDC)為控制框架,提出一種無模型軌跡跟蹤控制方法,能夠保證較好的跟蹤精度,但其具有較大的計算量。在文獻[18]中,通過使用神經網絡整定傳統PID的方法對機械臂進行控制,保證在最小的穩態誤差下完成軌跡跟蹤。反步控制[19,20]設計過程獨特且具有較好的不確定性處理能力,但存在干擾時也會降低控制性能。以上雖不同于一些傳統方案,可以保證誤差在有限時間收斂,但未考慮摩擦等外部擾動對系統的影響。因此通過以上分析以及機械臂控制系統自身特點,針對機械臂受到復雜時變擾動時的高精度軌跡跟蹤問題,本文提出了一種帶擾動觀測器的機械臂自適應魯棒軌跡跟蹤控制策略,能夠有效減小擾動對軌跡跟蹤的影響且使跟蹤誤差能夠在有限時間內收斂。

本文主要創新工作如下:1)考慮帶有摩擦的機械臂動力學模型,反步跟蹤控制器有效地提高了軌跡跟蹤精度,并引入一階濾波器解決虛擬控制輸入的復雜求導問題。2)設計一種自適應律更新擾動觀測器增益,提高了觀測器性能進而準確獲得擾動估計。3)所設計控制器控制精度與跟蹤速度均優于非線性PD控制器。

2 機械臂動力學模型

考慮機械臂各關節類型為旋轉型,故串聯機械臂動力學模型推導化簡得到如下形式

(1)

其中M(q)∈n×n為機械臂慣性矩陣且為正定矩陣,n×n表示離心力與哥氏力矩陣,G(q)∈n代表重力項。n分別為關節角位移,角速度,角加速度向量。τ∈n為系統輸入向量,τd∈n為擾動向量,包括摩擦以及外部隨機干擾。本文采用摩擦項如下

(2)

其中φ1,φ2,φ3,γ1,γ2,γ3為設計參數。

該機械臂滿足以下動力學特性:

1)慣性陣M(q)為對稱正定且可逆矩陣,并存在正數Mmax,Mmin使其范數有界

(3)

(4)

由于存在外部干擾信號,為了能更好地跟蹤給定位置信號xd,做以下兩點假設:

1)期望角度xd及其n階導數存在且有界。

3 控制系統設計

3.1 控制器設計

在機械臂控制中,由于模型不確定性以及系統所受外部干擾的影響,系統輸出不穩定導致軌跡跟蹤效果差。反步法對不確定性有較好的處理能力,因此本文通過反步法設計系統的控制律,有效地提高了系統的跟蹤精度。通過擾動觀測器觀測系統所受干擾,得到估計值,較好地克服了擾動造成的對系統跟蹤性能的影響。系統結構框圖如圖1。

圖1 系統結構框圖

重新定義系統狀態變量如下

(5)

Step1)定義誤差向量e1=x1-xd,其中xd為期望軌跡,設計李雅普諾夫函數

(6)

定義虛擬控制量

(7)

其中k1為參數向量,引用以下一階濾波器:

(8)

最終V1對時間導數為

(9)

Step2:定義誤差向量e2=x2-α,設計李雅普諾夫函數

(10)

由誤差向量可知

(11)

忽略擾動時,由式(1),(9),(11)對(10)求導

(12)

故取控制律τs為

(13)

3.2 擾動觀測器設計

一般情況下,通過估計的方法來獲取復合干擾τd。但估計值往往與實際值存在誤差,而擾動觀測器得原理就是對估計值進行修正。為了估計機械臂的擾動,很多作者提出了不同的觀測器設計方法,常用形式為非線性擾動觀測器。本文采用如下形式觀測器

(14)

器增益。

定義李亞普諾夫函數

(15)

由式(1)與(14)可知

(16)

對估計誤差求導,并由式(16)得

(17)

因此,式(15)對時間的導數為

(18)

其中

(19)

ξ為正常數,根據式(19),將(18)改寫為

≤-βV3+c

(20)

其中

β=2(P0-ξ),

(21)

(22)

3.3 自適應律設計

為增強觀測器對擾動的觀測性能并簡化參數選取過程,通過式(13)設計自適應律更新觀測器增益。首先構造李雅普諾夫函數

(23)

(24)

將式(13)代入

(25)

故取P0自適應律為

(26)

4 穩定性分析

對整個系統構造李雅普諾夫函數

(27)

式(27)對時間導數為

(28)

將式(26)代入(25),將式(28)可改寫為

(29)

其中

(30)

ξ1為正常數,由式(19)和(30)將(29)改寫為

≤-2min[λmin(k1),λmin(k2)-ξ1,

≤-ρV+ω

(31)

其中

(32)

5 仿真結果

本文選取PUMA560機械臂為控制對象,關節均為旋轉型關節。為了建模方便且易于分析,故只考慮機械臂前三個關節。各連桿質量,桿長,轉動慣量見表1。給定機械臂期望軌跡:xd=[sin(0.5t),cos(0.5t),0.5cos(0.5t)]T?？倲_動:τd=τ0+τf,其中τ0如式(33)所示。摩擦項參數:φ1=φ2=0.2,φ3=0.5,γ1=1,γ2=γ3=0.5?？刂破鲄?k1=diag[90,90,90],k2=diag[100,100,100]。

表1 機械臂物理參數

(33)

通過與非線性PD跟蹤控制器式(34)進行對比,突出了本文設計控制器的良好控制性能。非線性PD控制器為

(34)

其中kp1=kp2=600,kd1=kd2=400。反步控制器與非線性PD控制器產生的實際信號為q=[q1,q2,q3]T,qPD=[qPD1,qPD2,qPD3]T。期望信號為qd=[qd1,qd2,qd3]T。

由圖2與圖4可以知道,存在外界干擾的情況下,非線性PD控制器在開始前2s內,對關節2、3的跟蹤性能較差。而設計的反步控制器性能優于PD控制器,跟蹤速度快,有良好的魯棒性。圖3與圖5顯示了各關節的跟蹤誤差,由圖可以看出誤差均收斂在原點附近且所提控制器收斂速度快于PD控制器。

圖2 關節位置跟蹤

圖3 位置跟蹤誤差

圖4 關節速度跟蹤

圖5 速度跟蹤誤差

用以下誤差指標比較反步控制器與非線性PD控制器的跟蹤響應特性,比較結果如表2所示。由表可知,本文設計控制器控制性能優于PD控制器且誤差更小。各指標如下:

表2 指標對比

由圖6可知,輸入力矩為合理光滑曲線。在圖7中,觀測器可以快速地跟蹤外部擾動,較準確的獲得了擾動估計值且一定程度上提高了系統的抗干擾能力。

圖6 關節輸入力矩

圖7 關節擾動觀測

6 總結

本文針對機械臂的精確軌跡跟蹤問題,提出一種帶有擾動觀測器的機械臂自適應魯棒軌跡跟蹤控制策略。由于反步法具有較好的不確定性處理能力,因此通過反步法對系統設計控制律,提高了系統的跟蹤精度。采用擾動觀測器觀測系統所受擾動以獲取其估計值,并且設計一種自適應律更新觀測器增益,較好的抑制了擾動對系統跟蹤性能的影響,提高了系統的魯棒性。利用李雅普諾夫穩定性理論對整個閉環系統進行穩定性分析,證明了系統半全局漸近穩定。通過適當選擇設計參數保證跟蹤誤差在有限時間快速收斂到原點附近。通過與非線性PD控制器對比,仿真結果表明了所提方法的跟蹤速度與精度均優于PD控制器,驗證了設計控制器良好的跟蹤性能。