中國彩陶上的數學文化再探①

代 欽

(內蒙古師范大學科學技術史研究院 010022)

中國彩陶是數學文化的載體,也是中國最早的數學教材.對該課題的研究已有文章《中國彩陶上的數學文化》(《數學通報》2014年第53卷第6期)發表.筆者自2014年至今進一步學習考古學、人類學和心理學等相關學科知識,深入研究中國新石器時代彩陶上的數學文化,并取得一些重要成果.新石器時代的中國文明革命性飛躍的標志之一就是彩陶.基于考古學、人類學和心理學等多學科觀點對彩陶上刻劃的數字符號和幾何圖案考察發現,其中蘊含著豐富的數學內容:1.中國先民對數字有了初步認識并創造了一、二、三、亖(四)、五等數字符號,為甲骨文金文的數字符號奠定了基礎.他們先天性數字知識的界限為三,大于三的數字為“多”,“多”是后天學習中掌握的數字.2.彩陶上的數字符號是漢字的起源.3.中國先民先天性幾何知識的界限為三角形、四邊形和圓,他們在彩陶上刻畫了特殊三角形和四邊形、圓、圓內接三角形、圓內接正方形、圓內接正五邊形、五角星形等多種圓內接等多邊形幾何圖案,其中包含著他們經驗和直覺的原始作圖技巧,也蘊含著審美意識.

1 考古與數學文化

考古學家認為“沒有考古就沒有完整的人類歷史”[1],也可以說,沒有考古就不可能完全展示中國數學文化的歷史.因為“考古工作有一個特點,便是‘發掘’,可以點面深入,掘到生土為止;或者挖到基石”[2].近一百年的中國考古發掘和研究成果向世人展示新石器時代[3]豐富多彩的數學文化,這也間接地證明了中國數學教育在新石器時代已經誕生.目前,對中國新石器時代的斷代有多種說法,最初認為從七八千年前開始,隨著考古發掘的深入向前推進了幾千年甚至上萬年,認為新石器時代早期大約距今12000-9000年[4],也認為大約公元前18000—公元前7000年進入新石器時代早期文化發展階段[5].總之,新石器時代的中國先民在大體相同或基本不同的自然生態環境之下“創造出了一系列具有劃時代意義的成就,彼此間既具有共性,又獨具特色.這些文化成就,如原始栽培稻的產生、制陶術的發明等等,成為中國新石器時代產生的契機,為此后中國新石器時代文化的發展奠定了基礎并產生了深遠的影響.”[6]其中,彩陶的制作是新石器時代的標志性發明之一,“制陶業的出現,被認為是人類社會進入新石器時代的一個基本特征.制陶業的重要性,還在于它是人類按自己的設想用人力去改變天然物質的開端.”[7]彩陶的出現,“既是大自然的恩賜,也是人類聰明才智的象征.借助水和火,人類徹底改變了泥土的性質,使其服務于自家日常生活以及藝術表達的需要.”[8]彩陶是最早將圖案與器物造型完美結合的原始藝術作品.

考古學家認為在200萬年前最早人類知識(或思想)已經產生,人類“整體智力發生了進化或者產生了基本的制作工具的思維過程——能人頭腦中直觀的物理知識.”[9]新石器時代的漁獵、農業、畜牧業生產以及生產工具的制作等一系列活動中,都需要一定的數學知識,也可以說是創造數學的過程.這些數學知識是最原始經驗下被創造出來的以數與形為形態的知識.在創造和使用數學的過程中,保存數學的人類整體記憶的某種形式的教育是絕對必要的,正如萊斯特·懷特(Lester White)所說:“數學當然是文化的一部分.在繼承了烹飪、嫁娶、崇拜方式的同時,每個民族還從他們的先輩或同時代的鄰居那里繼承了計數和計算的本領,以及其他任何數學能做到的事情……無論一個民族是否以五、十、十二或二十為單位來計數;無論他們是否有詞匯來表達五以上的基本數字,無論他們是否擁有最現代和最高端的數學概念,他們的數學行為均由他們擁有的數學文化來決定.”[10]因此,從數學產生的那時起它的教育也誕生了.

事實上,“大約在一百萬年以前,數學觀念便與人類和文化的起源同生共長,不斷發展.誠然,在悠遠漫長的歷史歲月中,數學進步甚微.我們在現代的數學體系和概念中仍能找到石器時代的原始人所提出的數學概念的殘存物.”[11]我們會發現,中國新石器時代的數學文化已經產生并達到一定的水平,否則當時的人們不會創造出那么豐富多彩的幾何造型和幾何圖案并世代相傳.

2 彩陶上的數字符號及其文化意義

新石器時代的數學處于最原始的狀態,數量關系的認識就是對數字的簡單認識,直覺地掌握數量的大小關系,初步地使用一些抽象符號來表示數字.數量是在現實世界中客觀存在,而數字是人類對數量認識而表征的結果.“數字及數字的概念對人類而言并非與生俱來,也不是人類自然而然一定會掌握的.雖然‘一系列物體’和‘數量’的概念也許是獨立于我們的心理體驗而客觀存在的,但‘數字’的概念卻是由人類的意識產生的.數字的發明是人類認知領域的一項偉大的創新,這一創新永久地改變了我們看待和區分數量的方式.……從嬰兒時期開始,數字的概念就通過父母的溫言軟語進入了我們的心理體驗.數字和語言一樣,是我們人類在符號方面的關鍵性創新,二者也是高度關聯的.”[12]對現實世界的觀察、獵物的存放和分配、農作物的積累、物物交換等活動,都需要數數,這使人類有了初步的數量的認識.數量的認識,促使他們用某種方法表示這些數量,如利用生活周圍的事物表示數、結繩記數、刻木記數、手指計數.從新石器時代的遺存中發現的文物上的各種符號上能夠看到這些.

彩陶上的各種圖案,都真切地反映了當時的精神.圖案都是真實生活的簡單摹寫,更是一種逐漸抽象的過程,經過反復的藝術提煉,它們反映了先民的審美觀念和原始宗教觀念,同時也反映了他們內心世界的思想感情,具有深刻的文化內涵.在彩陶圖案上的有些圖案或刻痕具有符號的作用.雖然我們不能明確地知道哪些是數字符號,但是這些符號中有些與現在的漢字數字表示方法完全相同,如圖1[6]、圖2[6]、圖3[13].其中,圖1和圖2是仰韶文化陶器刻劃符號,時間在公元前4900年至公元前2900年間.由“仰韶文化陶器刻劃符號(摹本)”(圖1)可以看出,“仰韶文化居民有了很明確的數字概念,陶器上彩繪刻紋要用等分方法,從有的陶器上的戳點數目分析,當時人們可能已有了十進制的知識,陶器上的簡單刻劃則說明當時有了記數的標記,這些標記與后來的甲骨文一脈相承.”[6]圖1中的有些符號是表示數字的,如1號、2號、25號和26號應該是數字符號.“柳灣遺址彩陶符號”(圖2)中從1號到5號符號表示的與后來甲骨文中的數字符號完全一致,甚至可以認為彩陶上符號是甲骨文的前身.圖3是青海樂都出土的馬場文化陶器上的刻劃符號,這里也有表示數字的符號.圖4[14]為從甘肅秦安大地灣一期文化到樂都柳灣文化中彩陶上刻劃的符號系統及其對應的數字含義.

圖1 仰韶文化陶器刻劃符號(摹本)

圖2 柳灣遺址彩陶符號

圖3 馬場文化陶器上的刻劃符號

圖4 彩陶上刻劃符號的意義

李濟先生認為:“文飾與符號,完全從客觀的條件說,是不容易分辨的一件事;很多彩陶的文飾,所常用的花紋與圖案也許是有意義的,既有意義也許就是一種符號.但要證實這個推論,現在尚沒有充分的材料.到了殷墟時代,已經有了文字;同時在若干銅器上也有類似文字、而似乎不常作文字用的一種符號也出現了;這種符號可以說是介乎文飾與文字間的一種發展.早期的文字也只是某種符號及其附帶之意義,與某種聲音發生了固定的關系.殷墟陶器上所刻劃的類似文字的符號或文字,最像那時銅器上的款識.”“所留存的這一類符號或文字,大部分都在唇上或外表近口的地方;少數刻在腹部,或內表,也有在足內的.這些近乎符號的文字,雖說是差不多全部都可以在甲骨刻辭上找出它們的親屬來.”[15]李濟先生他們從大量殷墟陶片中找到有數字符號的十五件,并給出詳細解釋:“可以釋為一的一件,可以釋為三的一件;可以釋為四的一件;可以釋為五的四件;兩個五字并排的一件;可以釋為七的七件.除了兩個五字并排的標本(8)外,都是一器一字.”[15]具體情況如圖5[15].

圖5 數字符號與文字

以上彩陶上刻劃符號以及圖5的數字符號與文字的總結充分說明,首先用符號表示頭腦中感悟到的數字,這樣表示數字的簡單文字就自然地誕生了.其次,在族群之間的交流中,這些符號逐漸地被認可,并成為他們共同的精神財富.尤其是圖2、圖5中的一、二、三、五的符號已定格了這四個數字的寫法,直至使用到今天.但彩陶上的圖2的亖和圖5的橫著寫的亖沒有能夠延續下來,被四代替了.據此可以說,從新石器時代開始規范了中華數學文化的一些最基本因素.雖然學者們關于這方面的觀點互相之間有所差異,但是大致上一致的,在考察中國新石器時代數學文化的產生和發展時,其啟示作用是不言而喻的.

上述幾幅圖中符號看起來似乎頗為簡單,但是學者們認為:“一個簡單的記號可以代表一種思想、說明一個計劃或記錄一樁歷史事件.然而,關于人類的語言和書寫最重要的事,莫過于說話者和書寫者可以從有限多組記號和符號,創造出實際上無限多組讀音、說明、觀念和想法.……圖畫是圖畫文字的線索,圖畫文字又成為表意文字的線索,不斷演變,直到成為早期隱喻性詩歌和現代文字的線索.‘象形文字’是與它所要表示之物相似的圖畫.在亞洲,這類文字成為現代漢字的基礎.”[16]

除數字的抽象符號以外,從有些陶片上也能看到數字的表示方法,如圖6[17],半坡文化陶片上面有整齊井然的圓點的排列,如倒置金字塔形,從上面8個圓點開始一次減少1個圓點,最后到1個圓點結束,共8層.這也反映了當時人們對數數到“8”的反映[18]和幾何對稱的認識.

新石器時代先民對數字的認識,體現在用某種符號,包括結繩、有規則的刻畫和點綴等方法記錄他們的數感.這也是符號化過程,沒有符號化過程,數學的認識寸步難行.正如懷特所言:“一種新的、獨特的能力,即使用符號的能力,是由生物進化自然過程中產生并存在于且僅存在于人之內的.符號表達的最重要形式是清晰分明的言語.清晰的言語意味著觀念的交流;觀念交流意味著保存傳統,保存意味著積累和進步.符號才能的出現根源于一種新的現象秩序的起源:超機體的文化的秩序.所有文明的產生并永久存在都在于符號的使用.文化或文明僅是特定動物——人——的生物學的、保存生命活動所采取的特種形式.……人類行為是符號行為;假如沒有符號,便沒有人類.人種的嬰兒只有當他被導入和參與文化活動時,才成為人類個體.文化世界的關鍵和參與文化世界的方式便是——符號.”[11]

由上述知,新石器時代彩陶上的記數符號多為一、二、三,而四(亖)和五出現的頻率少.考古學家、人類學家和心理學家對這類現象進行了深入研究,并提出了各自的觀點,下面分別進行簡要論述.

2.1 考古學家的觀點

2.1.1 數字認識的先天性與后天性

新石器時代彩陶上出現的一、二、三、四(亖)、五等數字符號能夠明確地說明,當時的中國先民的數字學習已經從“先天性”發展到后天性的學習階段.也就是說人類具有“先天性”的一、二、三的知識,但是從四開始掌握數字的知識都是在后天的學習中實現.世界上各文明發展過程中把三以上的東西(數字)叫做多個東西.在中國數學文化中更是如此,如日常用語中“事不過三”的說法也有此種含義.從更深層次的意義說,老子《道德經》中的“道生一,一生二,二生三,三生萬物”的三是多的意思,因為老子沒有接著說“三生四,四生五,五生萬物”之類的話,以至三為止.誠然,老子的一、二、三除數學的意義外,還有它的神秘意涵.新石器時代的中國先民所創造的一、二、三等數字及其符號只有數數和記數的意義,并沒有神秘性.于省吾先生指出:“原始人類社會,由于生產與生活之需要,由于語言與知識之日漸進展,因而才創造出一、二、三、亖之積畫字,以代結繩而備記憶.”[19]郭沫若先生也談及這一現象,他說:“原始人的數目概念很有限,三以上就是‘多’.”[20]中國先民跨過“先天性”的“三”這個坎后,其后天性學習數字的過程并不是一帆風順的,如學習到七后又遇到一個坎.在彩陶上數字符號之后的甲骨文和金文中都出現“七”的符號.考古學家認為,這里的“七是一個絕數,就是說遠古人們在相當長的一個時期內,七之后已數不下去,再數腦子就亂了,序數到此階段.”[21]因此在中國古代數學文化中將“七”叫做絕數.

2.1.2 數字符號是文字的起源

考古學家認為,數字的抽象符號表示就是文字的起源[10].新石器時代中國“彩陶和黑陶上的刻劃符號應該是漢字的原始階段”[20],有些刻劃符號也是中國數字符號的起源.新石器時代的數字符號的出現以及后來甲骨文的發現,說明一個事實,那就是數字符號的出現直接推動了中國文字的誕生,一言以蔽之,數字符號是文字的起源,正如于省吾先生所言:“我國古文字,當自記數字開始,記數字乃文字中之原始字.記數字有一至九分為二系而五為居其中.由一至四,均為積畫,此一系也;由五至九,變積畫為錯畫,此又一系也.”[19]著名文字學專家許進雄對國內外學者關于中國文字起源之研究綜述中也證實:“中國有文字起源于結繩記事的傳說.……其所打的繩結,有顏色及大小不同的種種形式,以代表不同的事物與數量.此傳說指示創造文字的目的,有可能是為了幫助記憶數目,與結繩的目的一致.……也說明計數是文字書寫初期的一個很重要目的.既然陶器上的記號有可能作為數目字,與文字初期的作用一致,似乎不妨承認它們已是文字了.”[13]可以說,彩陶上的數字符號就是中國文字的起源.

2.2 人類學家對數學認知發展的考察

從十九世紀以來,人類學家的調查研究中數學是不可或缺的內容之一,如法國的布留爾(Lévy-Bruhl,Lucien,1857-1939)的《原始思維》、法國的克勞德·列維-斯特勞斯(Claude Lévi-Strauss,1908-2009)的《野性思維》等著作中都有對數字的認識、記數、計算和數字的神秘主義等內容.又如,數學史家或數學文化史研究者利用人類學研究成果對兒童數學認識的先天性、學習數學的特點等進行了富有啟發性的研究工作,如美國丹齊克(Tobias Dantzig,1884-1956)的《數:科學的語言》、法國米卡埃爾·洛奈(Micka?l Launay,1984-)的《萬物皆數:從史前時期到人工智能,跨越千年的數學之旅》、美國凱萊布·埃弗里特(Caleb Everett)的《數字起源》、以色列茲維·阿特斯坦(Zvi Artstein)的《數學與現實世界:進化論的視角》等著作都基于人類學的研究成果論及人類早期的數學學習問題.

人類學家認為:“人的行為方式基于人對事物的知識.……人所掌握的知識可能存在三個來源:(1)它可以來自先天機能,自父母基因遺傳過來.(2)它可以來自個體與環境互動過程中的習得.(3)它可以通過交流而習得其他個體.”[22]基于這些觀點,人類學家對知識進化現象的調查研究已經證實,數學的學習在語言之前,即兒童剛出生時大腦一片空白,在與環境的接觸中產生數感和空間感,這個時候還沒有掌握語言,但是后來語言的掌握促進了數學能力的提高.事實上,心理學家早已關注到了這一點,如西格蒙德·弗洛伊德(Sigmund Freud,1856-1939)認為:“嬰兒出生時進化已經為學習準備好了大腦,但最初大腦中沒有任何的信息.嬰兒最初通過觀察,然后通過觀察和經驗的組合來了解世界.……更抽象的學習隨后才會出現,其中伴隨著語言的發展.……他指出,數學能力與一般的知識有關,最開始只是呈現出能對數學對象的正確描述.”[23]這里的“嬰兒出生時進化已經為學習準備好了大腦”的事實類似于人類早期的進化現象,經過漫長的歲月后,已經準備好了學習的基礎,這是與其他動物的根本區別,它們不具備這種準備的條件.從人類學習數學的起源看,首先是人類的數覺的產生.“人類在進化的蒙昧時期,就已經具有一種才能,這種才能,因為沒有更恰當的名字,我姑且叫它為數覺(1)數覺:有的翻譯為數感,有的翻譯數的意識.如《西方名著入門:數學》(中國商務印書館&美國不列顛百科全書公司,1995)中翻譯為“數意識”..由于人有了這種才能,當在一個小的集合里,增加或者減去一樣東西時,盡管他未曾直接知道增減,也能夠辨認到其中有所變化.數覺和計數不能混為一談.計數似乎是很晚以后才有的一種收獲,……它牽涉到一種頗為復雜的心理過程.就我們所知,計數是一種人類獨具的特性;另一方面,有若干種動物看來也具有一種和我們相類似的原始數覺.”[24]從原始數覺到計數和計算,與人類知識的進化和心理發展密不可分,即既有知識進化過程,也有心理發展過程.

人類學家根據進化論的視角,闡述了兩個觀點:

首先,心理學研究表明[25],人類的大腦活動分為三個層次,先天的部分,被稱為本能層次;控制身體日常行為的運作部分,被稱為行為層次;大腦的思考部分,被稱為反思層次.人類簡單的算術能力是天生的,具有先天性,是屬于本能層次.本能層次無法進行推理,不能將現狀和歷史進行比較[26].根據本能層次理論,我們可以說:“人類的算術能力是遺傳的、顯然,這些操作是對未開發的大腦進行的,沒有用特定的語言來輔助,因此嬰兒不可能與父母或朋友討論結果.當孩子成長時,他將必須學習如何用日常語言來表達這種數學能力,并用來與父母交流.這種學習本身就是一個過程,但是簡單的算術能力是嬰兒天生的,而且它也不是為了各種完全不同的目的而開發的大腦的副產品.由此可以推斷,簡單的算術能力在進化競爭中提供了優勢.這并不奇怪,對于食物的那些競爭需要數學能力,比如,區分大和小,多和少,等等,甚至加法和減法,這些都給出了進化上的優勢.具有這種能力的個體將比具有較低數學能力的同一物種中的其他成員更適合于競爭性的生存環境.”[23]簡單的算術能力究竟“先天”或“天生”到什么程度?沒有明確答案.

其次,人類簡單的天生的或先天的算術能力局限于1、2、3,經過田野調查和實驗發現“一些原始部落環境中人們僅使用數字1、2和3來描述他們的生活,并且任何更大的數量都被稱為“許多”的情況是一致的.如果諸如鳥類或老鼠之類的生物能夠區分大于三的數字,人們會期望人類能夠更好地進行計算.這個問題的答案很簡單.語言在人類進化過程中發展得較晚,并強調較重要的事情與不太重要的事情相比較需要更優先的發展.這些原始部落顯然清楚地知道由五個或六個對象組成的集合之間的差異,但是他們的語言還不夠豐富,不足以描述它們,因為他們不需要將術語用于大于三的數字.”[23]人類在后來的生存和生活需要,迫使他們要學習大于三的數和加減法,于是后天的學習就開始了.

2.3 心理學家對歷史與認知發展類似性及其符號化過程的論述

新石器時代的人類的數學學習或傳授數學知識的過程非常類似于兒童數學學習的早期階段,經過漫長時間的成長以后才進入到其智力高度發達的夏商周時代.瑞士心理學家皮亞杰的心理學研究表明:“兒童知識的增長與科學知識的增長遵循相同的機制.……兒童思維的發展和科學的發展之間存在著類似的發展過程”[26]“從一個歷史時期到下一個歷史時期的轉變機制類似于從一個心理發生階段到下一個心理發生階段的轉變機制.”[27]更具體地講,皮亞杰認為“人的認識起源于活動及活動內化成為可逆的運算活動(2)運算活動:這是從數學和邏輯學借用的概念.(內心活動).它表明兒童的思維不是雜亂無章而是有組織的;在活動和具體運算之間有一個表象思維和直觀思維的過渡階段,其中符號化活動起了重要作用,它使兒童種種的感知運動圖式內化為表象,并且學會了語言.”[28]這里的兒童的內心活動的有組織性、思維的直觀性和符號化活動是至關重要的.與此類似,新石器先民的學習和創造知識的活動呈現以下情況:

首先,他們生產生活中的思維活動也有一定組織和群體認同傾向,其記數符號和幾何圖案的前后出現具有穩定性,也就約定俗成地形成了群體認同的規范性.

其次,他們的計數、幾何思維活動是直觀經驗的,但是也有一定的抽象思維過程.可以說,這種思維活動的前期階段是屬于本能層次的認知活動,后期階段是屬于反思層次階段的認知活動.

最后,新石器時代先民的數學學習是符號化過程.他們在觀察周圍生活、制作陶器、儲存剩余生活用品等過程中學習數學并保存數學知識.保存數學知識的關鍵一環就是數學的符號化,沒有符號化就無法記錄過去掌握的數學知識.符號化過程就是建立某種符號系統,這種符號系統為人類進一步發展提供了保證.從新石器時代遺跡中發掘出的彩陶上的圖案或刻劃來看,很多都有皮亞杰發生認識論中的兒童具體運算階段和符號化活動的特征.因為符號是人的本性之提示.符號化的思維和符號化的行為是人類生活中最富于代表性的特征,并且人類文化的全部發展都依賴于這些條件,這一點是無可爭辯的[29].皮亞杰發生認識論特別強調符號化活動在表象思維和直觀思維轉化過程的重要性,沒有符號化活動就談不上思維的發展.皮亞杰以實驗研究證實了懷特的“符號是全部人類行為的和文明的基本單位”[11]的觀點,這一觀點來自于“細胞是一切生命組織的基本單位”的發現.

雖然兒童的智力發展與科學知識的增長具有類似性,但是皮亞杰理論中的兒童是在他人指導下參與活動而掌握知識,并沒有創造知識的成分,而史前先民是沒有知識的情況下創造和積累知識,這是兩者根本的不同之處.

3 彩陶上的幾何知識及其文化意涵

新石器時代先民對空間形式的認識就是對一些特殊的幾何形狀的初步認識,并用簡化的抽象形式表征實物的幾何形狀,如圓、球、魚類等.人類早期對一、二、三的認識是天生的能力,也可以說是先天性的,或者說是本能的.本能層次以認知心理學家所謂的“模式配對”原理進行工作[26].在人類的進化過程中,他們對幾何形狀的學習最先從對稱的東西、圓潤平滑的東西、美好的感覺和形狀的“模式配對”開始.因此,人類對幾何圖形——圓、三角形和四邊形的認識也是先天性的或者是本能的.從心理學觀點看,本能地掌握的東西具有持久的穩定性,也就是說它的形狀和性質一直在人類共同記憶中被保留下來.我們今天使用的多種日常用品的形狀中圓形、正三角形、正方形居多,它們的發現最晚也是新石器時代的1萬年前.特別是,新石器時代彩陶的形狀幾乎都是圓形的,其上的幾何圖案多數為圓形、三角形和四邊形,這并不是偶然的現象.

彩陶圖案有大量的幾何形紋飾,這是史前時期的先民把自身體驗到的自然現象和自己的情感用抽象的方式表達出來的結果,是偉大的原始創造.這里既有對圖騰事物的抽象,也有幾何的抽象,是將幾何思維、藝術表現和精神滿足有機融合的過程.

幾何學研究的對象就是空間形式,更具體地說幾何學研究的對象就是點、線、面和體.把點、線、面、體稱為幾何形狀.“彩陶上的幾何圖案,以點、線和面等形狀抽象地表現了某些自然現象或精神世界,彩陶上的這些幾何圖案雖然沒有達到幾何學的‘學’的水平,但幾何圖案的誕生反映了人類幾何思維的產生,這種幾何思維具有直覺思維和抽象思維的成分,其中直覺思維占主導地位.彩陶圖案表現的直覺思維沒有借助尺規作圖工具而通過直覺經驗畫出幾何圖案,彩陶圖案的抽象思維并不是將自然現象和精神世界的具體現象實際地表現出來,而是進行簡化和抽象后用幾何圖案形式表現出來.”[30]如,魚的圖案為軸對稱的三角形和菱形或中心對稱的三角形和矩形、河流渦旋的圖案為中心對稱的圖形,等等.

人類最早對形狀的認識也經歷了從具體到抽象的過程.中國新石器時代先民對幾何形狀的認識也經歷了漫長的過程.有學者根據彩陶上圖案的特點把幾何形狀的認識過程分為四個階段,如楊泓根據陜西臨潼姜寨出土半坡類型魚紋彩陶盆的分析得出:“開始是寫實的魚形;接著將鱗紋簡化,成為簡化寫實魚形;接著魚鰭消失,形體上下對稱,成為圖案化的魚形;最后發展的魚形,各部分解為幾何圖案紋.”[7]如圖7.這一過程說明了人類對幾何形狀的逐級抽象的思維發展過程.

圖7 半坡類型彩陶魚紋圖案演變示意圖

不同文化或不同民族早期對幾何形狀的認識過程都具有共同的特征,正如幼兒認識幾何形狀一樣,但是在時間上不一定相同,可能有先后差別,甚至在最早有幾何認識和最晚有幾何認識的文化之間差別很大.新石器時代的先民對形的認識也很早.在制造出背厚刃薄的石斧、尖的骨針、圓的石球、彎的弓等形狀各不相同的工具時有意識或無意識地均涉及到幾何形狀,后來出現的陶器的器形和紋飾,更能反映新石器時代人們具有一定的幾何圖形概念,如有圓形、橢圓、方形、菱形、弧形、等腰三角形、正五邊形、正六邊形和正三角形等多種幾何圖形,并已注意到幾何圖形的對稱、圓弧的等分等問題.制作這些必須有一定的工具和方法,工具很可能就是早期的規矩.各種工具、器皿的制作不是個體的活動,而是群體共同的活動,也是群體智慧形成的過程.這也是一種幾何教育的活動.

3.1 圓的認識

從兩個方面考慮新石器時代先民對圓的認識,一方面為對圓形狀實物的認識,另一方面為對圓形狀(圖形)形成的認識.也許人類對圓形的認識及其應用要早于直線形的認識,如從最早的建筑來看,“圓形的建筑一般要早于矩形的.如圓形的洞穴要早于矩形的地面建筑.經常移動的游牧民族也喜歡采取較省力的圓形形式,而定居的農耕民族就多采用矩形的形式.”[13]

從數學美學角度看,圓是最完美的圖形,數學教育實驗證明,如果讓學前兒童隨便畫幾何圖形,那么兒童畫圓和四邊形的多,而畫三角形的少.新石器時代的中國先民類似于現在的兒童一樣,畫得最多的幾何圖案是圓和四邊形,其次是三角形.彩陶上的圓圖案有單獨的一個圓、三個圓或者四個圓的組合圖案、同心圓的組合圖案.

中國先民對圓形狀的認識雖然有8000年的歷史,但是對圓內涵的認識只有兩千幾百年的歷史.兩千五百年前,中國人對圓的內涵有了明確的認識:“圓的定義:圜,一中同長也.(《經上》);圜:規寫交也.(《經說上》)”[31]這僅僅是文字記載,而文字記載前中國人是否對圓的內涵有明確認識無跡可查.但是從考古學研究成果看,中國人對圓的初步認識及其簡單應用早在新石器時代已經產生.

圓在數學文化中有著特殊的意義,同時在認知心理和審美心理上也具有豐富的意涵.新石器時代的先民制作的各種器皿一般的都呈現圓形,無不與之密切相關,如陶釜、陶罐等各種陶器,如圖8[6],圖中幾何形狀的名稱及出土地址如下:1.釜(城背溪)、2.釜(枝城北)、3.直口罐(枝城北)、4.直口罐(孫家河)、5.雙耳罐(城背溪)、6.支座(枝城北)、7.支座(城背溪)、8.支座(孫家河)、9.圜底缽(城背溪)、10.圜底缽(城背溪)、11.尊(枝城北)、12.花邊口盆(枝城北)、13.刻劃紋斂口折腹雙耳罐(城背溪)、14.斂口折腹雙耳罐(金子山)、15.圈足盤(城背溪)、16.圈足盤(城背溪)、17.尊(枝城北)、18.小口壺(枝城北)、19.鼎(枝城北)、20.鼎(枝城北).

圖8 城背溪文化陶器

先民對圓形狀有一定的認識后,他們進而考慮作圓的問題.在規則圖形中圓是最簡單的圖形,新石器時代人們已經找到了作圓的方法和工具,否則難以解釋彩陶和其他器皿、裝飾上出現的數不勝數的圓的事實.就彩陶上的圓而言,陶釜、陶缽、陶罐的口和底座以及部分彩陶上的裝飾圓形圖案,不僅是先民用某種方法作出來的,而且其中蘊含著他們的審美、自然崇拜等各種情感和觀念.如圖9[32]為彩陶器皿口的俯視圖,圖10[32]為彩陶上圓形內花紋.

圖9 彩陶俯視圖

圖10 石嶺下類型彩陶上圓形內花紋

圓的等分也表明新石器時代人們幾何思維和方法的一大進步.從各種圓形彩陶及其上圓花紋看,單一圓的出現并不多,多為被等分的圓花紋.這說明當時人們不僅對圓有了認識,還掌握了各種等分圓的方法.如圖9、圖10所示,有三等分圓、四等分圓和多等分圓.

三等分圓.彩陶上三等分圓圖案最多.有些三等分花紋的等分更復雜,如有些馬家窯同心圓彩陶的分割更具有數學意味,最外面圓被三等分,如果連接三等分點就形成一個正三角形,其中又作一個內切圓,最后將內切圓又三等分,具體彩陶三等分如圖11[33],幾何示意圖12.

圖11 甘肅彩陶三等分圓

圖12 甘肅彩陶三等分圓示意圖

四等分圓.彩陶上四等分圓的圖案應該在等分圓圖案中居第二.如圖13[33].

圖13 甘肅彩陶四等分圓

彩陶花紋除有三等分圓、四等分圓以外,還有五等分、六等分、七等分、八等分、九等分圓等.

五等分圓.人類掌握用尺規作圖方法以后制作五等分圓是很容易的事情,但是對新石器時代的中國先民來講那是一件極其困難的事情.當時的人們是憑借經驗直覺地作了五等分圓,以滿足他們的精神需要.如圖14(1)[34]是1977年青海省樂都縣出土的彩陶(青海省考古隊藏)[32],俯視圖為簡單五等分圓,其內部圖案也是簡潔明了.圖14(2)是兩個嵌套的圓內接正五邊形,1973年甘肅省永昌縣鴛鴦池出土的馬廠類型器物俯視圖(甘肅省博物館藏)[32].圖14(3)是1975年青海省樂都縣出土的馬廠類型器物俯視圖(青海省考古隊藏)[32]、圖14(4)是青海省樂都縣出土的馬廠類型器物俯視圖,呈現為五角星形,這是一個令人振奮的發現,因為新石器時代的先民能夠作出五角星形在過去的中國數學文化研究中從未有過的.

圖14(2)

圖14(3)

圖14(4)

外國的數學文化中,古巴比倫文化中有五角星形圖案,表示生生不息,繁榮強盛;在西方文化中五角星形“象征著人類,因為五角星的五個頂點分別代表了人的頭部雙臂和雙腿.顛倒的五角星則代表邪惡,上面的兩個頂角象征魔鬼頭上的兩只角”[35].文藝復興時期的德國作家海因里?！た颇岫蚶锼埂ぐ⒏窭锱?Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim,1486-1535)將人體設想成一個微觀的世界,五角星形象征人體,其五個頂角分別代表人的頭、雙手、雙腳.如圖15[35],五角星形的五個頂點正好對應著當時已經發現的宇宙中五顆行星的位置.分別是頭對應火星,左手對應金星,右手對應木星,左腳對應水星,右腳對應土星.月亮對應男性恥骨附近.誠然,新石器時代的先民所作的五角星形并沒有像古巴比倫和西方那樣深刻的象征意義,但是它在一定程度隱含著他們的精神意蘊.我們暫且不論如何作出的五角星形狀,而它的存在就足夠讓我們認真思考兩個問題:其一為作五等分圓并在其中制作五角星幾何圖案;其二為五角星圖案的審美功能.

圖15

又如圖16[33],有九等分圓幾何圖案.除此之外,還有更多等分圓的圖案,如沙井文化中的三角垂線紋圓底雙耳彩陶罐就是圓的多等分,如圖17[36]為馬廠類型器物俯視圖.

圖16 甘肅彩陶九等分圓

圖17 三角垂線紋圓底雙耳彩陶罐

新石器時代,人們對圓除有上述認識外,還充分利用圓點來發揮它的點綴作用.從審美角度看,圓點是美的,圓點可以裝點或顯示人的美,裝飾或美化環境.點的運動產生直線和曲線.線條有表現力,能喚起人們的美感.史前先民在彩陶圖案上充分發揮了點的這種審美功能,如一個三角形、菱形或圓形圖案所占面積過大而其內部顯得空洞時就采取點綴的手法在圖形的合適位置上繪制一個點或幾個點.如以上所述各圖形中都能看到圓點的這種作用.

3.2 特殊立體的認識

從考古發現看,出土的新石器時代陶器的形狀一般為半球體、圓柱體、圓錐體,很少見到棱錐或棱柱體.這也說明先民對以圓為基礎的立體的認識及其使用較為普遍.

首先,對球的認識.考古發現,幾十萬年前的舊石器時代中國人已經制造了不規則的球[18],新石器時代,中國人制造的球更多一些,如在四川巫山大溪新石器時代遺址發現的紅色空心球[18].這也說明中國人在新石器時代對球有了較高認識,但是制作的完整球體與其他圓形容器相比少得多.原因可能是制作球的難度較大,而且在當時球形容器的使用較少,相比之下半球形或球缺形容器的使用較普遍.

其次,對球缺的認識與應用.所謂球缺是指將球的一部分截取所形成的立體.先民制作球缺形狀的容器也是對球的認識之延伸.球缺狀的彩陶十分豐富,如圖18[33]、圖19[33].

圖18 三足圓底缽

圖19 三足圓底缽

再次,與等分圓類似,也有很多球的等分,如圖18、圖19的三足缽的三足,可以看作球面的三等分.

從有足彩陶看,絕大多數都有三足,這說明先民在生活經驗中直覺地認識到不共線的三個點確定一個平面的事實,換言之,他們已經知道了“三”的穩定性作用.這也是當時人們生活環境和條件所決定的,四條腿的鼎和器皿是人類生活條件得到相當的改善后才出現的.

最后,彩陶中也有圓臺和棱臺.多數彩陶瓶和罐為圓臺,極個別的容器為棱臺,如圖20[33].

圖20 甘肅彩陶平行線紋瓶(左)、手紋樣頭形鋬杯(右)

上述圓的等分或球的等分,從另一個方面更進一步證實了新石器時代人們對數的認識的事實,即對一個整體的等分,這也許是分數觀念的起源.

3.3 直線形的認識

直線形中三角形和四邊形是最基本的幾何圖形,從學習數學的程序看,四邊形是最基本的圖形,即學完正方形、矩形和平行四邊形的面積之后,再教授三角形面積的學習.新石器時代,先民創作的各種圖案或符號中除線段(或直線)外,更多的是三角形、四邊形和多邊形.三角形呈現正三角形居多,四邊形呈現正方形、長方形和平行四邊形居多,而平行四邊形的特殊情形——菱形更多.就整體而言,有規則的圖案多,這也反映了人類認識幾何圖形的心理特點和審美意識.這方面的彩陶不計其數,它們表現直線形的方式如圖21[37],分別是三角斜線菱形彩陶罐、折帶圓點紋單耳彩陶壺、倒三角紋圓底彩陶罐.

圖21 彩陶上的等腰三角形、等邊三角形、菱形

拙文《中國彩陶上的數學文化》(《數學通報》2014年第6期)中已經論述直線形的對稱圖形——軸對稱、中心對稱、完全對稱圖案以及旋轉變換圖案和特殊比例關系的圖案,在此不贅述.

4 結語

中華文化有百萬年連綿不斷的發展歷史[38].最晚,中華民族早在八千多年以前的新石器時代就已經創造了璀璨奪目的彩陶文化,開啟了人類文明史上的革命性的進步.彩陶包蘊著中國先民的科學技術、工藝美術、審美意識、思想感情.根據考古學研究成果,基于文化人類學、文字學、心理學和藝術學等多學科對新石器時代的中國數學文化之研究是一個重要課題,這也為甲骨文、金文、竹簡上的數學文化研究提供有益的啟示.

彩陶上的數學文化的研究,對數學教育有兩點啟示.首先,彩陶上刻劃的數字符號和幾何圖案是中國數學文化的童年,每一個數字和圖案的出現也隱喻著史前先民的數學認知產生與發展之艱難歷程.對這一問題的了解和深刻認識為順利進行幼兒數學教育乃至小學數學教育提供可靠的理論依據.其次,深入系統地挖掘研究中國彩陶上的數學文化,在中國小學數學教學中融入數學文化以及培養學生民族自信心、自尊心等方面具有極為重要的教育價值.