數學問題解答

(山東省臨清市北門里街頤清園小區19號樓7單元2樓西戶 劉繼征 252600)

(山東省鄒平雙語學校 姜坤崇 256200)

(山東省泰安市寧陽縣第一中學 劉才華 271400)

(安徽省無為中學 朱小扣 238300)

(北京中學 史嘉 100028)

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)

(廣東省中山紀念中學 鄧啟龍 528454 )

(江蘇省興化市教師發展中心教研室 張俊 225700)

(天津港職工培訓中心 黃兆麟 300456)

2023年6月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(山東省臨清市北門里街頤清園小區19號樓7單元2樓西戶 劉繼征 252600)

解連接AC、BD、OD,并作EF⊥AB、DG⊥AB,

垂足分別是點F、點G,

因為AB是⊙O的直徑,

所以∠ACB=∠ADB=90°,

所以AD=CD=12,OD⊥AC,

所以OD∥BC,又因為DE∥AB,

因此,四邊形OBED是平行四邊形,

又OB=OD,所以平行四邊形OBED是菱形.

由DE∥AB,以及EF⊥AB、DG⊥AB,

可知四邊形DEFG為矩形.

在Rt△ABD中,由勾股定理得

又在Rt△BEF中,由勾股定理得

所以在Rt△AEF中,由勾股定理得

2727設n∈N+且n≥3,k∈N+,求證:

nn+k>(n+k)n.

(山東省鄒平雙語學校 姜坤崇 256200)

證明對k(k≥1)用數學歸納法.

(1)當k=1時,即證nn+1>(n+1)n.

因為n≥3,所以(n-1)2>2,即n2-2n-1>0,

所以nn+1>(n+1)n.

(2)假設當k=m(m≥1)時所證不等式成立,

即nn+m>(n+m)n,則當k=m+1時,

所以由歸納假設及以上不等式得

nn+m+1=nn+m·n>(n+m)n·n>(n+m+1)n,

即nn+m+1>(n+m+1)n,此不等式表明,當k=m+1時所證不等式也成立.

綜合(1)、(2)知,所證不等式對一切自然數k(k≥1)都成立.

(山東省泰安市寧陽縣第一中學 劉才華 271400)

由題意得A(0,b),B(0,-b).直線PA的方程為

設過P的切線方程為y-y0=k(x-x0),

直線PM的方程為y-y0=k1(x-x0),

直線PN的方程為y-y0=k2(x-x0).

(a2k2+b2)x2+2k(y0-kx0)a2x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

由題意知上述方程是關于k的一元二次方程,

方程有兩個不同實根k1,k2,且

(安徽省無為中學 朱小扣 238300)

解

得(x+y+z)2=t2+36,

2730如圖,已知C,D是⊙O的弦AB上的兩點,滿足AC=BD.過點C,D分別作⊙O的兩條弦EF,GH,連接GE,FH分別交AB于點P,Q.求證:PC=QD.

(北京中學 史嘉 100028)

證明如圖,過點G作GG′∥AB交⊙O于點G′,連接CG′,QG′,FG′.

根據GG′∥AB,AC=BD和圓的對稱性知

∠GG′C=∠G′CD=∠GDC=∠G′GD,

GD=CG′.

由G,G′,F,H四點共圓知

∠G′GH+∠G′FH=π,

所以∠G′CQ+∠G′FQ

=∠G′CD+∠G′FH=π,

即G′,C,Q,F四點共圓,

所以∠CG′Q=∠CFQ.

由E,G,F,H四點共圓知

∠EGH=∠EFH,

所以∠EGH=∠CG′Q.

綜上知△GPD≌△G′QC,則PD=QC,

所以PD-CD=QC-CD,即PC=QD.

2023年7月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2731在△ABC中,求證:

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

2732在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AI,BI分別平分∠BAC,∠ABC,且∠ACB=60°,∠ABC=2∠BAC,求證:CI2=a2+c2-b2.

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)

2733設a,b,c>0,且a+b+c=1,證明:

(1+a)(1+b)(1+c)

(廣東省中山紀念中學 鄧啟龍 528454 )

(江蘇省興化市教師發展中心教研室 張俊 225700)

2735設△ABC的三條邊,三個旁切圓半徑,三條高線,面積和半周長分別為a,b,c,ra,rb,rc,ha,hb,hc,Δ,p,則

(天津港職工培訓中心 黃兆麟 300456)