考慮攻擊時間及空間角度約束的三維自適應滑模協同制導律設計

王雨辰, 王偉, 林時堯, 楊婧, 王少龍, 尹瞾

(1.北京理工大學 宇航學院, 北京 100081; 2.北京理工大學 中國-阿聯酋智能無人系統“一帶一路”聯合實驗室, 北京 100081;3.中國兵器科學研究院, 北京 100089; 4.西北工業集團有限公司, 陜西 西安 710043)

0 引言

隨著戰場環境及作戰形式的變化,重要目標配備的多層防御體系日漸完善,依靠單發導彈難以有效實現對目標的突防/攔截,而多彈協同飽和攻擊則是一種有效的體系化對抗策略。多彈協同攻擊可使具備不同發射初始條件的導彈同時擊中目標,實現飽和攻擊,形成多對一的攻擊態勢。作為實現協同攻擊的關鍵,協同制導律受到了廣泛關注。目前,對于制導律的研究主要包括時間一致制導、考慮空間一致制導和收斂時間的協同制導等。

時間協同制導是指多發導彈在同一時刻打擊目標,以增大對目標的攔截概率和毀傷效果。早期協同制導為時間控制制導,通過預設期望終端飛行時間,獨立導引多發導彈在同一時刻進行飽和打擊[1-4]。Jeon等[1]基于線性化的彈目相對運動模型,首次設計了一種可以控制攻擊時間的偏置比例導引,通過引入時間誤差修正項,實現在指定時間攻擊目標。Lee等[2]在此基礎上進一步設計了一種同時考慮攻擊時間和攻擊角度約束的最優制導律。Cho等[3]基于比例導引給出了剩余時間的近似解析解,設計了一種新型的攻擊時間控制制導律,并保證了系統的全局穩定性。李斌等[4]基于施瓦茲不等式推導了一種廣義最優時間角度控制制導律。上述制導方法均需要采用小角假設,當導彈初始航跡角或攻擊角度較大時制導精度將會下降。另外,對于初始發射狀態不同的導彈,難以找到一個合適的期望終端攻擊時刻。

得益于多智能體一致性控制理論的發展,基于不同通訊框架的協同制導律近幾年得到了廣泛的研究。文獻[5]將剩余飛行時間設為協調變量,基于比例導引設計了一種導引系數隨一致性誤差自適應變化的偏置比例導引。針對靜止目標,文獻[6]基于1階一致性算法設計了兩種協同制導律。文獻[7-8]選取彈目相對距離和速度前置角為協調變量,結合比例導引律設計了一種兩階段協同制導方法,保證了制導系統的漸進穩定性。文獻[9]基于狀態受限的一致性算法,設計了一種考慮視場角約束的協同制導律。以上研究均針對靜止目標展開,并且沒有考慮空間協同約束。

空間協同制導是指多發導彈從不同方向攻擊同一個目標,稱為碰撞角約束制導?？臻g協同制導能夠避免多導彈的相互碰撞,并增強戰斗部的毀傷效果[10-11]。文獻[12]基于有限時間非奇異終端滑模設計了一種考慮空間約束的制導律。文獻[13]進一步考慮導彈動力學滯后,設計了一種基于時變滑?？刂评碚摰目臻g約束制導律。文獻[14]基于2階滑模理論設計了考慮空間約束的滑模制導律,所設計的制導律對目標機動具有一定的魯棒性。文獻[15] 基于Super-Twisting算法設計了一種魯棒滑模制導律,并通過自適應擾動觀測器對目標機動進行了在線估計。文獻[16]設計了一種有限時間收斂的空間約束滑模制導律,并采用狀態重構的思想,通過擴張狀態觀測器對制導系統的擾動進行了前饋補償。

此外,由于末制導的時間較短,需要在攔截到目標前使時間和角度誤差收斂。特別是對于機動目標,更要求誤差快速收斂以滿足制導的精度要求。對于有限時間穩定的系統,其收斂時間依賴于初始條件,當初始收斂誤差較大時,收斂時間可能趨于無窮,對系統初始狀態的依賴限制了有限時間制導律的應用。固定時間穩定理論作為有限時間穩定理論的拓展,具有更強的魯棒性及更高的控制精度,且收斂時間只與設計參數有關[17-18]。文獻[19]基于固定時間收斂擾動觀測器提出了一種全局固定時間收斂協同制導律,實現了對機動目標的協同打擊,然而觀測器的引入增加了制導律設計的難度。文獻[20]基于滑?？刂评碚撛O計了一種固定時間收斂的魯棒協同制導律,所設計的視線法向制導律由于選用固定增益,在制導過程中執行機構可能出現抖振現象。文獻[21]基于分段自適應滑模設計了無向通訊拓撲下的協同制導律,實現了三維空間內的多彈協同,但是其自適應參數存在漂移現象,降低了終端制導精度。

受上述分析啟發,本文提出一種考慮時間和空間攻擊角度約束的協同制導律。在視線方向上基于固定時間收斂的1階多智能體一致性理論設計時間協同制導律,保證各發導彈在期望的終端時刻協同攻擊目標。在視線法向基于固定時間非奇異終端滑模設計帶終端角度約束的法向制導律。采用具有修正能力的自適應滑模在線估計擾動上界,避免了因參數漂移而引起的抖振現象。通過Lyapunov穩定性理論證明了所設計制導系統的穩定性。最后建立多組仿真場景,驗證了所設計方法的優越性及有效性。值得一提的是,本文所設計的自適應時間角度控制制導律(AITACGL)采用無領彈的分布式通訊結構,避免了單點失效問題,降低了對彈間通訊距離的要求,提高了彈群的魯棒性及作戰效能。

1 問題描述

1.1 三維協同攔截幾何模型

本文考慮三維空間下N發導彈組成的集群攻擊同一機動目標的場景,其相對關系如圖1所示。圖1中,OXEYEZE表示慣性坐標系,T表示機動目標,Mi(i=1,…,N)表示彈群中的導彈。

圖1 三維多彈協同攻擊

為簡化分析,本文作如下三維協同攻擊制導律設計中的常用假設[6,22]:1)導彈和目標均為質點模型;2)導彈的駕駛儀為理想系統,沒有響應延遲;3)導彈和目標均有改變其徑向速度的能力。

導彈和目標的質心運動方程可表示為

(1)

(2)

式中:aMy和aMz分別表示導彈加速度矢量在慣性坐標系下的分量;aTy和aTz分別表示目標加速度矢量在慣性坐標系下的分量。

導彈攔截機動目標的三維模型[19-21]可表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 通訊拓撲

對于多彈協同集群網絡,可采用有向圖G(A)=〈N,ε,A〉表示其通訊拓撲,N=〈v1,v2,…,vN〉為網絡中的節點,即彈群中的每發導彈,N為節點個數,ε={(i,j)∈N×N}為網絡中的邊集,其表征相鄰2發導彈間的通訊關系。如果2發導彈i和j鄰接,即這2發導彈可以相互通訊,則{vi,vj}∈ε并且{vj,vi}∈ε。矩陣A=[aij]∈RN×N表示權系數矩陣,矩陣元素[24]表示為

(7)

定義圖G(A)對應的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈RN×N,其中矩陣的元素可表示為

(8)

1.3 協同制導問題描述

為了實現飽和攻擊,需要令具有不同發射初始條件的導彈在期望的時刻同時擊中目標。本文引入剩余飛行時間tgo作為協調變量,并采用式(9)對tgo進行估計:

(9)

在工程應用中,式(9)常用于剩余飛行時間的計算,在飛行初始階段,該式對剩余飛行時間的估計存在一定誤差,但隨著導彈逐漸接近目標,估計誤差會逐漸收斂到0。對式(9)求導,可得

(10)

第i發導彈在時刻預測的成功攔截目標的時刻表達式為

tf,i=t+tgo,i

(11)

(12)

因此,可以通過控制多發導彈剩余飛行時間一致等價于控制多發導彈預測的攔截時刻一致。聯立式(10)和式(11),可得

(13)

2 多彈分布式協同制導律設計

為了方便理論推導和分析,給出相關定義和引理,進一步分別對視線方向和視線法向進行制導律設計。

2.1 相關定義和引理

定義1[17]對于如下非線性系統:

(14)

式中:F∶U0×R→Rn在U0×R上連續,U0為一個包含原點的開鄰域;x0為初始狀態。如果穩定時間上界與初始狀態x0無關,則稱原點x=0是固定時間穩定的。

引理1[25]對于強連通的無向圖G(A)及其拉普拉斯矩陣LA具有如下定義:

1)LA是對稱且半正定的,其具有單個對應于特征向量IN的零特征值,并且其他特征向量都大于0;

引理2[18]令x1,x2,…,xn≥0,且0

(15)

(16)

引理3[24]如果存在連續的Lyapunov函數V(x),滿足

(17)

式中:a、b、p、q和k滿足pk<1、qk>1,k∈R并且Θ有界,則V(x)軌線是固定時間穩定的,其中Θ為一個有界常數。非線性系統式(14)收斂到如下領域:

(18)

式中:Ξ∈[0,1],穩定時間上界可表示為

(19)

2.2 視線方向的協同制導律設計

(20)

為同時擊中目標,設計式(20)所示改進型魯棒自適應協同制導律,以規避傳統固定時間一致性算法選用高增益帶來的控制抖振問題[18]:

(21)

定理1針對系統式(13),在通訊拓撲無向連通時,多彈間的剩余飛行時間誤差以及終端攻擊時間誤差在制導律式(21)的作用下,在固定時間內收斂到0。

證明構建如下正定Lyapunov候選函數:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

此時式(25)滿足:

(27)

進一步將證明協調變量在固定時間內實現協調一致。由拉普拉斯矩陣LA的半正定特性可知,存在半正定矩陣Q∈RN×N滿足:

LA=QTQ

(28)

當時V1(ff,i)≠0,有

(29)

(30)

為書寫方便,后續用λ2表示λ2(LA)。將式(30)代入式(27),可得

(31)

聯立式(22)和式(27),可得

(32)

經過代數變換,可得

(33)

類似可得

(34)

經過代數變換,可得

(35)

將式(33)和式(35)代入式(31),可得

(36)

(37)

式中:Θ1為任意常數,Θ1∈(0,1)。

2.3 視線法向上的制導律設計

考慮制導系統式(6)中的視線傾角方向動力學方程:

(38)

(39)

其對時間的1階導數為

(40)

針對系統式(38)和滑模變量式(39),設計如下固定時間收斂自適應滑模制導律:

(41)

式中:βθ>0,其余參數的定義與式(21)類似。

證明證明分為兩部分,分別證明閉環系統在收斂過程中一致有界,以及滑?？刂频内吔魏突瑒佣喂潭〞r間收斂。首先考慮如下Lyapunov備選函數:

(42)

沿系統式(38)軌線求V2導數,并代入制導律及自適應律式(41),可得

(43)

同理,式(43)可放縮為

(44)

(45)

1) 當|sθ|>εθ時,為保證ξθ>0,只需要滿足

(46)

(47)

重新考慮式(42)有

(48)

經過代數變換,可得

(49)

同理可得

(50)

將式(49)、式(50)代入式(47),可得

(51)

(52)

進一步證明當系統進入滑動模態后,x3,i和x4,i將在固定時間內收斂至平衡點附近的鄰域內,以此保證視線角誤差和視線角速度收斂。當sθ,i=0時有

(53)

解微分方程,可得

(54)

(55)

(56)

因此本文設計的控制律不會趨于無窮大,避免了奇異現象。

考慮視線偏角方向的子系統

(57)

(58)

其對時間的1階導數為

(59)

針對系統式(57)和滑模變量式(58),設計如下固定時間收斂自適應滑模制導律:

(60)

證明制導律式(60)的形式與式(41)相同,證明過程與定理2類似,故省略。

3 仿真驗證

以4發導彈集群分別協同攻擊同一機動目標為例驗證本文AITACGL。彈群通訊拓撲如圖3所示。

圖3 通訊拓撲

該通訊拓撲圖G(A)的鄰接矩陣可表示為

(61)

表1 初始條件

表2 目標初始條件

3.1 針對機動目標的時間約束協同打擊

(62)

仿真結果如圖4所示,終端脫靶量、攻擊時間以及角度控制誤差如表3所示。圖4(a)給出了4發導彈在本文設計AITACGL作用下的飛行軌跡。由圖4(a)可以看出,采用本文AITACGL能夠精確擊中目標,由于初始時刻4發導彈的剩余飛行時間不同,為實現剩余飛行時間協調一致,導彈需要調整其彈道以達到調整剩余飛行時間的目的。因此在初始階段,彈道彎曲程度會先呈增大過程。圖4(b)給出了4發導彈的剩余飛行時間變化曲線,從中可以看出,4發導彈的剩余飛行時間在0.7 s內達成一致,并且在終端時刻,4發導彈在期望的時刻tf=40 s同時擊中機動目標。圖4(c)、圖4(d)分別給出了視線法向的角度和角速率的變化曲線,即使初始的角度、角速率誤差不同,在本文AITACGL的作用下都將收斂到期望值,實現對機動目標的平行接近打擊。圖4(e)和圖4(f)分別給出了4發導彈3個方向上的過載曲線,由仿真結果可以看出,本文AITACGL平滑無明顯抖振。在制導初始階段,3個方向均出現了飽和現象,這是因為為實現趨近段的固定時間收斂,在設計中引入了分數次冪,前期的過載飽和充分利用了導彈的過載能力。當滑動模態建立后,制導律中的自適應變結構項用于對總擾動估計并進行前饋補償,有利于增大抵消外部擾動的控制裕度。

表3 攔截時間,脫靶量及視線角度誤差

圖4 工況1條件下的仿真結果

引入如下能量指標函數,對比本文AITACGL與固定增益協同制導律(FCGL)在能量消耗上的優越性。能量指標函數可表示為

(63)

仿真初始條件不變,能量消耗及其差值如圖5所示。由圖5(a)可知,采用本文AITACGL相較于FCGL,4發導彈的能量損耗大幅降低。這是因為本文AITACGL相較于FCGL可根據擾動的變化調節變結構項增益,在保證制導系統穩定的同時降低了高增益帶來的能量損耗。通過圖5(b)的結果可知,平均每發導彈降低了50.08 kJ,為后續執行突防及攔截任務提供基礎。

圖5 AITACGL和FCGL能量消耗與差值

3.2 仿真對比

為進一步說明本文AITACGL的優勢,與文獻[14]設計的有限時間收斂協同制導律(FTCGL)進行對比。仿真初始條件與3.1節相同,仿真結果如圖6所示。

圖6 FTCGL仿真結果

由圖6(a)和圖6(b)可知,雖然FTCGL在27.71 s實現了對目標的攔截,但是該制導律沒有時間控制能力,無法在預設時刻擊中目標。4發導彈的飛行時間大約在4.7 s實現一致,而本文AITACGL能夠控制飛行時間更快達到一致。由圖6(c)中視線角度變化曲線可以看出,對于不同的初始角度誤差,視線角度收斂的速率不同,這是因為有限時間穩定理論的特性決定的,其收斂時間受系統初始狀態影響,而本文AITACGL不受系統初始狀態影響。從圖6(c)中可以看出,在制導末端,制導系統擾動劇烈變化,彈目視線角發散,降低了彈目視線角的控制精度。由圖6(d)中的過載曲線可以看出,FTCGL在視線方向的末端將引起劇烈抖振,而在視線法向該制導律也出現了明顯抖振。與圖4(e)、圖4(f)相比,本文AITACGL平滑,更利于實際應用。表3給出了制導律攔截時間、脫靶量、視線角誤差的精確數據。由表3可以看出,本文AITACGL具有更小的脫靶量和角度控制誤差,再次證明了盡管目標具有一定機動性,采用本文所設計的制導律能夠完成較高精度的攔截。

3.3 通訊拓撲變換條件下的協同打擊

圖7 彈群的切換拓撲

圖8 視線方向上的仿真結果

由圖8(a)中的彈目相對關系可以看出,在存在通訊拓撲切換的情況下,本文AITACGL仍然能夠同時實現對目標的精確攔截,完成飽和打擊任務。如圖8(b)中剩余飛行時間變化曲線所示,4發導彈在預設時刻同時擊中目標,驗證了本文AITACGL對切換拓撲具有魯棒性。圖8(c)中的過載曲線平滑連續且具有良好的瞬態過程,證明了本文AITACGL的在拓撲切換條件下的實用性。

4 結論

本文基于固定時間收斂非奇異終端滑模以及自適應滑模設計了一種多彈協同飽和打擊制導律,并進行了仿真驗證。得出以下主要結論:

1) 針對多彈協同打擊機動目標的場景,結合一致性控制和固定時間控制理論,設計一種自適應魯棒制導律?？刂贫鄰椩谄谕麜r刻實現分布式協同打擊,并保證了閉環系統的全局固定時間收斂特性。

2) 提出的自適應滑?？刂坡?放寬了對目標機動信息的要求,并避免了觀測器的設計,簡化了制導律的形式。

3) 采用固定時間收斂的非奇異終端滑模面,實現了終端角度約束,保證了彈群間導彈按照不同平面飛行,避免了碰撞,并為提高導彈毀傷能力提供了基礎。

4) 通過仿真驗證了本文提出制導律在制導精度,能量消耗以及通訊拓撲變化下的普適性及優越性。