平行板電容器中介質受力問題的討論

陳德智 李卓凡

(華中科技大學 電氣與電子工程學院, 武漢 430074)

許多電磁場教科書在介紹虛功原理計算靜電力時采用了這樣一道例題[1-6]:如圖1所示,介電常數不同的兩塊介質插入平行板電容器之間,求介質塊所受的靜電力。求解過程摘要如下:

圖1 插入平行板電容器的兩塊介質塊

忽略邊緣效應,電場只存在于V1、V2區域,故E1=E2=U/d,電場能量為

(1)

式中,ε1、ε2分別為兩塊介質的介電常數;V1=bdl,V2=bd(a-l),分別是進入電容器內部的兩塊介質的體積,其中U是極板電壓,d為極板間距,a為電容器長度,l為介質1進入電容器的長度,b為電容器垂直于紙面方向的深度。設介質1發生虛位移dl,采用虛功原理,得到介質受力[6]:

(2)

方向指向電容器內部,如圖1所示。

另外有一些教材經常采用靜電力導致液面升高的例子作為習題或例題(如文獻[7-8]),原理與此相仿。

題目本身并無多大討論價值,但是作為一道例題,涉及到電磁場教學中對電磁力作用機理與計算方法的正確理解。此題求解過程及結果的有趣之處在于,在忽略邊緣效應的情況下,電場只有垂直分量,但是介質塊卻受到了一個橫向的電場力。根據電磁場理論,材料所受的電磁力歸根結底是材料中的電荷與電流所受的電磁力,即洛倫茲力:

F=q(E+v×B)

(3)

那么,垂直方向的電場如何產生了橫向的作用力?

這個問題很早就被注意到,但幾十年來,圍繞這個問題的討論一直絡繹不絕,至今仍然有一些問題不夠清晰,故有必要加以討論和明確。

虛功原理是依據能量守恒原理,通過電場力虛擬做功引起的電場能量變化來計算物體的受力,它本身不涉及受力的機制。那么靜電力是如何作用的?

1 關于介質受力機制的解釋

1.1 邊緣場是介質受力的根本原因

既然產生橫向作用力必須依賴橫向電場,而橫向電場只存在于電容器極板的邊緣之外,所以我們把目光移向介質露出在電容器之外的部分V1b和V2b,從邊緣效應出發去尋找受力的解釋。

如圖2所示,考慮邊緣電場,在介質露出電容器外的部分,電場具有橫向分量且不均勻。介質極化產生的電荷效應,有兩種表達方式:一種方式是考慮介質表面的極化電荷σp,所受電場力為

(a)極化電荷受力模型

(b)電偶極矩受力模型圖2 極化介質的受力機制

f=σpE

(4)

如圖2(a)所示,極化電荷σp會受到電容器極板向右的吸引力。

另一種方式是考慮介質內部的電偶極矩(單位體積的電偶極矩用極化矢量P表示),如圖2(b)所示,在不均勻電場中,電偶極矩將受到向電場增大方向的作用力,也指向電容器方向[9-11]。

兩種方法對于力的分布有所不同,但是計算介質的整體受力是等價的。以下采用電偶極矩分析,單位體積受到的靜電力為:

f=(P·▽)E

(5)

對左側介質進行體積分,得到整體所受靜電力為

(6)

(7)

式中S=bd是介質塊右端面面積。F1是左側介質的受力,對應于式(2)中右側介質為空氣的情況。

從式(7)看,似乎是在介質右端面上受到一個單位面積為

(8)

的電場力。但是回顧式(7)的推導過程,就知道并不存在這樣的力。式(6)清楚地表明,閉合面積分是只是數學變換的結果,并不表示力存在于端面上。

實際上,從式(6)的第三個等號

(9)

可以看到,介質位于電容器內部的部分,由于電場近乎均勻,▽E2近乎為0,對積分貢獻可以忽略不計。對式(9)的貢獻主要源自介質左側露出電容器外部的區域,該區域電場不均勻,▽E2數值較大。

上述結果表明:介質塊受到的力確實是來自邊緣電場對露在電容器外的介質極化電荷的作用力。換言之:雖然虛功原理中沒有計算邊緣效應,但是邊緣效應才是受力的根本,介質必須有一部分露出在電容器外部。

為進一步驗證上述結論,采用有限元法和虛功原理計算了介質塊從外部逐漸進入電容器過程的受力變化,如圖3所示。結果表明,介質塊進入電容器之前(l< 0 m)受到很小的力;當介質塊右邊緣即將接觸電容器時(l=0 m),受力有一個極大值;隨后,隨著介質塊部分進入電容器(0 m2 m)后,電場力降為0?？梢?介質塊露在電容器外的部分才是受力的關鍵。

(a)介質塊從外部進入電容的計算模型

(b)介質塊受力及系統能量隨位置的變化

(c)根據有限元結果繪制的介質表面受力分布圖3 介質塊從外部進入電容器過程中的受力變化

進一步,根據有限元計算結果,繪出了介質表面極化電荷面密度受力分布f=σpE,如圖3(c)所示。其積分結果與前文的結果吻合。該圖直觀地顯示了介質受力分布。

計算模型參數:極板寬度a=5 m,極板厚度0.1 m,板間距d=1 m,極板深度b=1 m,板間電壓為1000 V;介質塊寬度為2 m,高度為1 m。l為介質塊右邊緣至極板邊緣的距離,l<0 m表示介質塊完全在電容器外部,l>0 m表示介質塊已進入電容器;l=2 m表示介質塊剛好全部進入電容器。電場力的計算采用虛功原理。參數是隨意寫的,只作數值驗證用。

1.2 為什么忽略邊緣效應可以得到正確的結果

既然邊緣效應才是產生力的原因,為什么采用虛功原理時忽略邊緣效應卻可以得到正確的結果?關于這個問題,后續有學者做出了正確的解釋[12]。簡述如下:

回顧圖1,設介質1和介質2都有部分進入了電容器,只要介質露在電容器外部的體積(V1b,V2b)足夠大,當介質在電容器內發生微小的虛位移時,邊緣區以及外部區域的能量是不變的,變化的只是電容器內部(V1+V2)的能量,因此對總能量求導也就是對這部分能量的求導。在這種情況下,只要電容器長度、寬度遠大于極板間距,內部的電場就能夠用E=U/d計算。只要滿足這幾個條件,忽略邊緣效應就不會影響結果的正確性。

1.3 虛位移法得到的力是誰的受力

存在兩種介質的情況下,虛位移法得到的力是誰的受力?這個問題通常容易被視而不見,多數時候會被籠統地問:“計算介質受力”,或者“交界面受力”(交界面下文將談及)。但如果要深究,這個問題就必須予以明確。

發生虛位移時,兩塊介質一進一退都在運動;計算中求得的是包括兩種媒質的系統的總能量變化,因此得到的是介質1與介質2的合力。

在1.1節中,根據電偶極矩得到了左側介質1所受的電場力式(7),該計算過程與右側介質2的存在與否無關。因此可以同樣導出介質2的受力:

(10)

式中參考方向是從右側進入電容器,故為-ex。

將式(7)與式(10)相加,得到兩塊介質受的合力為

(11)

與式(2)一致,說明式(2)確實是兩種介質的合力。

1.4 關于交界面受力的討論

“交界面受力”的說法被很多經典教科書采用,例如文獻[3]。這個說法可能跟“法拉第力管”的概念有關。文獻[3]是這樣表述的:如圖4所示,平行于電場線的交界面兩側受到壓力,單位面積壓力大小為:f1=ε1E2/2,f2=ε2E2/2,合力為

圖4 交界面的受力:平行于E線的交界面受到壓力

(12)

合力fa參考方向與f2一致。

應用式(12)于圖1所示的交界面,得到界面受力為

(13)

的確與式(2)相同。

但是“交界面的受力”這個術語非常含糊。交界面是個幾何概念,不是一個物理實體,如何理解一個幾何概念受的力?在這個與E線平行的界面上,不存在極化電荷,那又如何理解它的受力?因此這種說法非常令人困惑。

在1.1節的討論中已經闡明:采用閉合邊界的面積分計算受力是數學變換的結果,不代表力存在與表面上。介質表面是否受力,要看表面上是否存在電荷的面密度(包括自由電荷面密度和極化電荷面密度),電荷面密度的受力由所在位置的電場強度決定,如洛倫茲力公式所描述。

1.5 對介質受力的一種錯誤解釋

有一種解釋,認為介質受的力來源于介質位于電容器內部的表面極化電荷受到右側極板上自由電荷的引力[13])。如圖5(a)所示,該模型假定極板外不存在電場,極板間電場均勻,在此條件下可以得到:介質表面的極化電荷密度為σp=-(ε1-ε0)U/d,極板與介質相接觸部分的自由電荷密度為σ1=ε1U/d,位于介質右側的部分自由電荷密度為σ2=ε0U/d。然后計算σ2在介質區域產生的電場,認為該電場對σp的作用力就是介質受到的力。在介質進入電容器深度l遠大于極板間距d以及電容器長度a遠大于l的情況下,得到的結果與式(7)相同。

(a)一種錯誤的解釋:極板右側的自由電荷在介質中產生橫向電場

(b)左右對稱的結構才能保持介質中電場和電荷都是均勻的圖5 極板表面的自由電荷與介質表面的極化電荷

文獻[14]、[15]對該方法的模型和推導提出了質疑,但文獻[12]又做了辯駁,否認有問題。直到新近,這種方法還被重復提起[16]。

先不論推導是否正確,這種方法明顯與1.1節電偶極矩法不相容。在電偶極矩方法中,左側介質進入電容器的部分對受力幾乎沒有貢獻,而該方法則認為受力全部來自這部分的極化電荷。兩種觀點明顯相互矛盾。很驚奇為什么同一篇文獻會兩種方法都認可。

仔細分析,該方法的模型設定是前后矛盾的。在預定模型中,忽略邊緣效應,即假定了介質和空氣中都只有垂直方向的均勻電場;但在計算過程中又得到了介質區域存在橫向電場。第二個矛盾在于,在圖5(a)所示模型中,極板電位為恒定值與假定電荷均勻分布是不可兼得的。只有如圖5(b)所示的對稱結構才可以同時保持極板電位恒定與電荷均勻分布,但此種情況下左右兩側的 在介質產生的橫向電場分量又相互抵消了。不過,圖5(b)可以幫助理解為什么這種不正確的方法能夠得到正確的結果。

2 電容器內兩塊介質的受力分析

為進一步理解電場中介質的受力圖像,考慮如圖6所示完全位于電容器內部的兩塊介質。

(a)兩塊“懸空”的介質

(b)兩塊與極板相接的介質

(c)計算模型,電容器參數同圖3;保持c=d/2圖6 完全位于電容器內部的兩塊介質

首先做定性分析。圖6(a)中,兩塊介質懸浮在半空,不與極板相接連。在電場作用下,介質表面出現極化電荷。按照同性相斥的原理,兩塊介質應該是相互排斥的。如果介質之間有間隙,則排斥力隨間隙的增大而迅速減小。而在圖6(b)中,兩塊介質上下表面與極板緊密接觸,根據前面的分析,這種情況下電場只有垂直方向的分量,因此介質之間應該沒有橫向力的作用。

現采用有限元法對圖6(c)所示的模型進行定量計算,改變介質間距及介質高度,觀察介質受力變化,以檢驗上文的定性分析。計算分兩部分。

2.1 “懸空”介質塊之間的作用力。

保持介質塊寬度和高度c=h=d/2不變,改變介質塊之間的間距g,得到介質塊受力大小如圖7(a)所示,方向向左。由于介質塊之間的相互作用力符合作用力與反作用力定律,因此只給出了介質塊1的受力。結果表明:兩塊懸浮的介質塊,在相互鄰近時,彼此之間出現排斥力,且斥力隨間距增大而迅速衰減,與定性分析一致。

(a)間距對懸空介質塊作用力的影響(高度h=0.5 m)

(b)介質塊高度對作用力的影響(間距g=0.05 m;h=1 m對應介質塊與極板完全接觸)

(c)根據有限元結果繪制的介質ε1表面受力分布圖7 位于電容器內部的兩塊介質的作用力

2.2 介質塊與極板間距對作用力的影響

保持介質塊寬度c=d/2和介質塊之間的間距g=0.05 m不變,改變介質塊高度h,得到介質塊受力大小如圖7(b)所示,方向向左。結果顯示,隨著介質塊高度增大,相互之間的排斥也隨之增大。這是因為介質中的電場隨介質塊高度增大而增大,極化電荷面密度也隨之增大,因此排斥力加強。但是當介質塊高度接近極板間距d(計算中取值1 m)時,介質塊之間的作用力迅速減小。這是因為此時電場的橫向分量迅速減弱。當h=d,介質塊與極板相接觸,電場橫向分量消失,介質塊之間的排斥力也隨之消失。所有變化規律都符合前面的預判。這個例子可以用來說明:介質的交界面并不必然產生電場力。

圖7(c)根據有限元結果,繪制了介質ε1表面極化電荷面密度受力的分布?？梢灶A見,如果沒有ε2,介質ε1左右兩側的受力是對稱的,因此合力為0(介質會受到一個向外膨脹的應力;但我們此處假定它是剛體,不考慮其變形)。從圖中可以看到,由于介質ε2的存在,ε1右側受力受到削弱,而左側受力基本不受影響,因此整體受到向左的力,即ε1與ε2之間相互排斥。

3 結語

對介質塊在平行板電容器內的受力這一經典例題進行了分析,圍繞著作用力的產生機制,回顧了前人學者的一些工作,對一些方法和觀點進行了剖析和討論。核心觀點可以概括為兩點:

(1)介質中的電荷與電流(含自由電荷與極化電荷、自由電流與磁化電流及極化電流)所受的洛倫茲力是介質受力的唯一機制;

(2)要將電磁力的計算方法與受力機制區分開來。計算方法可以采用各種間接方法、等效方法,只需要結果正確,不必然反映受力的物理過程。

這些討論有助于教學中對電磁作用力和相關計算方法的理解。觀點不當之處歡迎批評討論。

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